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高中数学必修5精品课件2.3等差数列前n项和1


新 知

?an ? 1、定义:设数列{an }为a1,a2 ,a3 ,
我们把a1+a2 + a3 + … + an叫做 数列{ an }的前n项和,记作Sn.

情景一 高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家,他研究的内 容涉及数学的各个领域,被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一,他与阿基米德、牛顿齐

名,是数学史上一颗光芒四射 的巨星,被誉为“数学王子”.

1+2+3+…+98+99+100=?
高斯10岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢?

情景一 计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

情景二
泰姬陵坐落于印度古都阿格, 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝 沙杰罕为纪念其爱妃所建 , 她宏伟壮观,纯白大理石砌 建而成的主体建筑叫人心醉 神迷,成为世界七大奇迹之 一。陵寝以宝石镶饰,图案 之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案,以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有 100 层,奢靡 之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多 少宝石吗?

思考:图案中,第1层到第21层一共有多少颗 宝石?
借助几何图形之 直观性,把这个“全 等三角形”倒置,与 原图补成平行四边形。

思考:图案中,第1层到第21层一共有多少颗 宝石?
2 1 21 20 19

3

获得算法:

(1 ? 21) ? 21 s21 ? 2
1

1

倒序相加法

探究新知
设等差数列 ?an ?的前 n项和为 Sn ,即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
其中

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ? an ? a1

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

Sn ? an ? an?13 ? an?2 ? ??? a1
?2Sn ? ? a 1? an ? ? ? a 1? an ? ? ? a 1? an ? ??? ? a 1? an ?

?
n个

等差数列的前n项和公式
n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) d ????? ? Sn ? na1 ? 2
an ?a1 ? (n?1)d

如:根据下列条件,求相应的等差数列{an }的Sn , (1)a1 ? 5,an ? 95,n ? 10; (2)a1 ? 10,d ? ?2,n ? 5;
Sn=500

Sn=30

例1、在等差数列中: (1)已知a1 ? 14.5,d ? 0.7,an ? 32,求S n ; (2)已知d ? 3,an ? 20,S n ? 65,求a1和n;
五个元素 a1, an, n, d, Sn ,知 三 求 二
你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗?

变式训练:

(1)a1 ? 20, an ? 54, sn ? 999, 求d , n
1 (2)d ? , n ? 37, sn ? 629 , 求a1, an 3
5 1 (3)a1 ? , d ? ? , sn ? ?5, 求n, an 6 6

(4)d ? 2, n ? 15, an ? ?10, 求a1,sn

例2.等差数列-10,-6, -2,2,…前多少项和是54?

解:∵a1=-10,d=-6-(-10)=4 ∴-10n+[n(n-1) /2] ×4=54 解得n=9,n=-3(舍) ∴前9项的和是54
变式训练:求等差数列13,15,17,…81的各项和 1645

典例剖析
例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间, 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了 保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么,从2001年起的未来10年内,该 市在“校校通”工程中的总投入是多少?
分析:①找关键句;②求什么,如何求;
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2

典例剖析
例 4. 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 ,前 20 项的和是 1220 ,由此可以确定求其前 n 项和的公式 吗?

n(n ? 1) d 又S10 ? 310, S20 ? 1220 解:? Sn ? na1 ? 2
? a1 ? 4 ?10a1 ? 45d ? 310 ?? ?? ?d ? 6 ? 20a1 ? 190d ? 1220

?Sn ? 4n ? n(n ?1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2


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