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空间中的垂直关系 (2)


1.2.3 空间中的垂直关系(1)

一. 直线与平面垂直的定义

1. 两直线互相垂直:
如果两条直线相交于一点或经过平移 后相交于一点,并且交角为直角,则称这 两条直线互相垂直。

观察旗杆与地面内的每一条 直线有什么关系,旗杆与地面的 关系呢?

2. 直线与平面垂直: 如果一条

直线(l)和一个平面(α)相 交于点A,并且a和这个平面内过点A的任 何直线都垂直,则该直线垂直于这个平面, 记作l⊥α,这条直线叫做平面的垂线,这 个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足。

l

A b α

a

在几何中,定义兼具两重性,既是 判定又是性质。

判定是指:如果一条直线垂直一个平面内 的任意一条直线,那么这条直线与这个平 面垂直,这是判定证明直线与平面垂直的 一种方法; 性质是指:如果一条直线垂直于一个平面, 那么这条直线垂直于这个平面内的任意一 条直线。

?a ? ? ?a?b 即? ?b ? ?

这是在线面垂直问题中经常要用到的 一个结论。 判断正误:

如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直 线都垂直,则直线 l和平面 α互相垂直.

二. 直线与平面垂直的判定定理 1.定理: ①文字语言:如果一条直线与平面内的两 条相交直线垂直,则这条直线与这个平面 l 垂直. ②图形语言:
?
b O a

③符号语言:a ?α,b ? l⊥a,l⊥b, l⊥α.

α,a∩b=O, ?

实验:过△ABC 的顶点A 翻折纸片,得到折 痕AD ,且使折痕AD⊥BC,将翻折后的纸片 竖起放置在桌面上,(BD、DC 与桌面接触).
A

B

D

C

推论1 :如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面,那么另一条也垂直于这个 平面.
已知: a ? ? , 求证: b ? ? .

a /. /b

证明:设m是α 内的任意一条直线.

? a ?? ? ? ? ? ? a ? m? m ??? ??b ? m ? ??b ?? ? a / /b ? ? m ??? ?

推论2:如果两条直线垂直于同一个平 面,那么这两条直线平行 。 已知:直线l⊥平面α,直线m⊥平面α, 垂足分别为a,b,求证:l//m.

证明:假设直线m与直线l不
平行。过直线m与平面α的交

点B作直线m’//l,

由直线与平面垂直的判定定理的推论1可 知m’⊥α. 设m和m’确定的平面为β,α与β的交线 为a, 因为直线m和m’都垂直于平面α, 所以 直线m和m’都垂直于交线a, 因为在同一平面内,通过直线上一点并 与已知直线垂直的直线不可能有两条, 所以直线m与m’必重合, 即有l //m.

例1.过一点和已知平面垂直的直线只有 一条。 已知:平面α和一点P. 求证:过点P与α垂直的直线只有一条。

证明:不论P点在α外或内,设PA⊥α,垂 足为A(或P), 如果过P点,除直线PA⊥α外,还有一条直 线PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β, 且α∩β=a, 于是在平面β内过点P有两条直线PA, PB垂直于交线a, 这是不可能的。所以过点P与α垂直的直 线只有一条。

例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂 有一条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的 下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一 条直线上)C、D, 如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为 A 什么?

?

C

B

D

解:在△ABC和△ABD中,因为AB=8, BC=BD=6,AC=AD=10, 所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2.

AB2+BD2=82+62=102=AD2. 所以∠ABC=∠ABD=90°, 即AB⊥BC,AB⊥BD,
又知B,C,D三点不共线, 因此AB⊥平面BCD,即旗杆和地面垂直。

例3.已知:直线l⊥平面α,垂足为A,直 线AP⊥l. 求证:AP在α内。
证明:设AP与l 确定的平面为β,假设AP 不在α内, 则设α与β相交于直线AM。 因为l⊥α,AM 所以l⊥AM,

?α,

又已知AP⊥l,于是在平面β内,

过点A有两条直线垂直于l,
这是不可能的, 所以AP一定在α内。

直线与平面垂直的判定方法 1.定义:如果一条直线垂于一个平面内的 任何一条直线,则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面 内的两条相交直线,那么此直线垂直于这 个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直

练习题:
1 、如果平面外的一条直线上有两

点到这个平面的距离相等,则这条直线
和平面的位置关系是( C ) A.平行 B.相交 C.平行或相交

2、在空间,下列命题
(1)平行于同一直线的两条直线互相平行; (2)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (3)平行于同一平面的两条直线互相平行; (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行。

正确的是( B )
A. (1)(3)(4) B. (1)(4)

C. (1)

D.四个命题都正确。

3. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, O是底面ABCD的中心,B1H⊥D1O,H为 垂足,求证:B1H⊥平面AD1C.
D1 C1

证明:连接B1D1, ∵ B1B⊥AB,B1B⊥BC, ∴ B1B⊥平面ABCD, ∴ B1B⊥AC,
A A1 B1 H D O B C

∵ 又AC⊥BD, ∴ AC⊥平面BB1D1D,

又B1H平面BB1D1D,∴ AC⊥B1H,
又B1H⊥D1O,∴ B1H⊥平面AD1C.


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