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3.4基本不等式(经典)

时间:2012-11-01


3.4基本不等式:
ab ?

a?b 2

一、问题引入
2002年国际数学大会 (ICM-2002)在北京召开,此 届大会纪念封上的会标图案,其 中央正是经过艺术处理的“弦 图”。 它标志着中国古代的数学成 就,又像一只转动着的风车,欢 迎来自世界各地的数学家。

情景设置

新课探究
D

G

F

C

a + b > 2ab
S四个三角形 ? 2ab S大正方形 ? a ? b
2 2

2

2

A

a
a ?b
2

H
2

E

b
B

新课探究
特 别 地 , 当 a = b时 又 有 怎 样 的 结 论 ?
D

a + b = 2 ab
A

2

2

a

F G HE

C

b
B

一般地,对于任意实数 a , b ,我们有

a ? b ? 2 ab
2 2

当且仅当 a ? b

时等号成立

思考:如何证明?

证明:
? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) ? 0
2 2 2

? a ? b ? 2 ab
2 2

( 当且仅当 a ? b 时,a ? b ) ? 0 此时
2

a ? b ? 2 ab
2 2

若 a ? 0, b ? 0, 则 a ? b ? 2 ab 当 且 仅 当 a ? b时 取 等 号

D

D

G

F

C
A

a
a?b

F G HE

C

A

a
a?b

H

E

b
B

b

B

当 a ? 0, b ? 0时 , a ? b ? 2 当 且 仅 当 a ? b时 等 号 成 立
变形式:

ab

ab ?

a?b 2

平方

?a?b? ab ? ? ? ? 2 ?

2

小组合作:
ab ? a?b 2 ( a ? 0, b ? 0)

当且仅当a=b时,取“=”号
能否用不等式的性质进行证明?

a?b 要证: ? ab 2 2 ab 只 要 证 : a ? b ? _______
2 ab 只 要 证 : a ? b ? _______ ? 0

只 要 证 : ( __-__) ? 0 a b
2

显然上式成立.

P98探究
在右图中,AB是圆的直径, 点C是AB上的一点, 设 AC = a , BC = b 。 过点C作垂直于AB的弦DE, 连接AD、BD。 ? Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
? a CD
2

E

?

CD b

? CD ? ab ? CD ?
? a?b 2 ? ab

ab

(当 且 仅 当 a ? b时 , 取 " ? " 号 )

基本不等式的几何意义是:“半径不小于半弦。”

二、新课讲解
1.思考:如果当 a ? 0 , b ? 0 用 a , b 去替换 2 2 a ? b ? 2 a ? b 中的 a, b ,能得到什么结论?

ab ?

a?b 2

( a ? 0, b ? 0)
基本不等式

(当且仅当a=b时,等号成立)
几何平均数 算术平均数

2.代数意义:几何平均数小于等于算术平均数 2.代数证明:
3.几何意义:半弦长小于等于半径 3.几何证明:

从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项

重要不等式: 2 a

? b ? 2ab(a、b ? R)
2

当且仅当a=b时,等号成立. 基本不等式: ab ?

a?b 2

( a ? 0, b ? 0)

当且仅当a =b时,等号成立.

注意:
(1)不同点:两个不等式的适用范围不同。 (2)相同点:当且仅当a=b时,等号成立。

1.重要不等式
如果 a,b ? R,那么a ? b ? 2ab
2 2

(当且仅当a ? b时,取 " ? "号)

2.基本不等式(均值定理)
如果a ? 0,b ? 0,那么 a?b 2 (当且仅当a ? b时,取 " ? " 号) ? ab ( ? a ? b ? 2 ab)

注意:基本不等式成立的要素:
(1):看是否均为正数 (2):看不等号的方向 (3):看等号是否能取到

简言之:一正二定三相等

基本不等式
时等号成立 a ? b ? 2 ab 当且仅当a ? b
2 2

a ? b ? 2 ab
当且仅当a
ab ? a?b 2

( a ? 0, b ? 0)
?a?b? ab ? ? ?( a ? 0, b ? 0) ? 2 ?
2

时等号成立 ? b

(a>0,b>0)

结论1:两个正数积为定值,则和有最小值

结论2:两个正数和为定值,则积有最大值

例题讲解

例1:
已知x>1,求 x+ 解:∵x>1 1 ∴x+ x ?1

通过加减项的方法配凑 成基本不等式的形式.
1 x ?1
的最小值以及取得最小值时x的值。

∴x-1>0 =(x-1)+

构造积为定值
1 ( x ? 1)
+1

≥2
1

( x ? 1) ?

1 ( x ? 1)
+1=3

当且仅当x-1= x ? 1

时取“=”号.于是x=2或者x=0(舍去)

答:最小值是3,取得最小值时x的值为2

例2.(1)用篱笆围一个面积为100 m 2 的矩形菜园,问这 个矩形的长宽各为多少时,所用篱笆最短?最短的篱笆 是多少?
解 : 设 矩 形 菜 园 的 长 为 xm , 宽 为 ym ,

则 xy ? 100, 篱 笆 的 长 为 2( x ? y ) m
由 x? y 2 ? 2( x ? y ) ? 40 ? xy 可 得 : x ? y ? 2 100

等 号 当 且 仅 当 x ? y时 成 立 ,
此 时 x ? y ? 10
因 此 这 个 矩 形 的 长 、 宽 都 为 10m时 , 所 用 篱 笆 最 短 , 最 短 篱 笆 是 40m.

(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这 个矩形的长宽各为多少时,菜园面 积最大?最大面积是多少?
解法一:
解 : 设 矩 形 菜 园 的 长 为 xm , 宽 为 ym , 则 2( x ? y ) ? 36 ? x ? y ? 18,
矩 形 菜 园 的 面 积 为 S= xym x ? y 18 ? xy ? = =9 2 2
2

? xy ? 81
当 且 仅 当 x ? y时 等 号 成 立 ,
? 这 个 矩 形 的 长 、 宽 都 为 9m时 , 菜 园 面 积 最 大 , 最 大 面 积 是 81m .
2

解法二: (2)设矩形菜园的宽为xm,则长为(36-2x)m,其中 0<x<18 ,
其面积为:
S ? x ( 36 ? 2 x ) ? 1 2 ? 2 x ( 36 ? 2 x )
2

1 2 x ? 36 ? 2 x 2 36 ? ( ) ? ? 162 . 2 2 8

当且仅当2x=36-2x,即x=9时菜园面积最大, 即菜园长18m,宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.

【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3, 深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为 120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 设水池底面一边的长度为xm, 则水池的宽为 1600 ,水池的 解: x 总造价为y元,根据题意,得
y ? 150 ? 4800 3 ? 120(2 ? 3 x ? 2 ? 3 ? 1600 x )

? 240000 ? 720( x ?

1600 x
1600 x

)

? 240000 + 720 ? 2 x ?

? 240000 +720 ? 2 ? 40 ? 297600 .

x?

1600 x

, 即 x ? 40时 , y 有 最 小 值 2976000.

因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池

的总造价最低,最低总造价是297600元

例1 (1) : 已知x ? 0,求x ?
( 2) 已知x ? 0,求x ? 1

1 x
1

的最值 ;

x ( 3 )若 x ? 3 , 函数 y ? x ?

的最值 ;
x?3 ,当 x 为何值时,函数

有最值,并求其最值。

解: x ?

1 x

? 2 x? 1

1 x

?2

当且仅当x ? 即x ? 1时原式有最小值 . 2 结论1:两个正数积为定值,则和有最小值 x

2、解 : x ?

1 x

? ?[( ? x ) ? ( ? 1

1 x

)] ? ?2 ( ? x ) ? ( ?

1 x

) ? ?2

 当且仅当? x ? ? 即x ? ?1时有最大值? 2. x
3、解 :   x ? 3 ? ?y ? x ? 1 x?3 ? ( x - 3) ? 1 x?3 1 x-3 ?3

   2 ( x ? 3) ? ?

?3?5

当且仅当 x ? 3 ? 最大值为 5。

1 x?3

,即 x ? 4时,函数有最大值,

例题讲解
(1)基本不等式取等号 例3 已知x>0,y>0,且x+y=1 的条件 求

1

错 解 ? x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1
?2 xy ? x ? y ? 1 ? xy ?

正确? ? 的最小值. (2) “1”的代换在不等 式中的应用 x y
1 4 xy , 1 ? 4,

9

1 x

?

9 y

? 2

9 xy

? 2

9 ? 4 ? 12

? 当且仅当 x ? y 时,有最小值 12

综合应用

赵老师花10万元购买了一辆家用汽车,如 果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为 0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后 逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时, 它的年平均费用最少?

分析:
“年平均费用”的含义?

解:设使用x年后,年平均费用为y万元,则 x ( x ? 1) 0 .9 x ? 0 .2 x ? ? 0 . 2 ? 10 2 y ? x 2 10 0 . 1 x ? x ? 10 ? 0 .1 x ? ? 1 ? x x
当且仅当 0.1 x ? 10 x 时, y 有最小值 2 0.1x ? 10 x ?1

即当x=10时,y有最小值3万元 答:使用10年后,年平均费用最少。

变式训练
当 点 ( x , y )在 直 线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上 移 动 时 , 求 y ? 3 ? 27 ? 1的 最 小 值 .
x y

解 : y ? 3 ? 27 ? 1 ? 3 ? 3
x y x

3y

?1

? 2 3 ?3
x

3y

?1 ? 2 3
x 3y

x ?3 y

?1

? 2?3 ?1 ? 7 当 且 仅 当 3 = 3 即 x ? 3 y时 取 得 等 号 此 时 x ? 1, y ? 1 3 ? 最 小 值 为7

课堂总结
? 知识要点: 基本不等式的条件: 结构特征:

一正、二定、三相等

和、积

? 思想方法技巧:
(1)数形结合思想 (2)换元法

.理解均值不等式的关系:
若 a, b ? R , 则
?

2 ab a?b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

2


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