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北京市西城区2013届高三第二次模拟考试--数学文


北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试

数学(文)试题
2013.5 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.复数 i ? (1 ? i) ? A. 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i D. ? 1 ? i

>
2.已知向量 a ? (? 3,1) , b ? ( 3, ? ) .若 a 与 b 共线,则实数 ? ? A. ?1 B. 1 C. ?3 D. 3

3.给定函数:① y ? x2 ;② y ? 2x ;③ y ? cos x ;④ y ? ? x3 ,其中奇函数是 A.① 4.若双曲线 x ?
2

B.②

C.③

D.④

y2 ? 1的离心率是 2 ,则实数 k ? k
B. ?3 C.

A. 3

1 3

D. ?

1 3

5.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ?17 ” 之值, 则判断框内可以填入 A. k ? 10 B. k ? 16 C. k ? 22 D. k ? 34 6.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 A. m ? n , n ∥ ? B. m ∥ ? , ? ? ? C. m ? ? , n ? ? , n ? ? D. m ? n , n ? ? , ? ? ?

7.已知函数 f ( x) ? e|x| ? | x | .若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围 是 A. (0,1) B. (1, ??) C. (?1, 0) D. (??, ?1)

8.已知集合 {1, 2,3, 4,5} 的非空子集 A 具有性质 P :当 a ? A 时,必有 6 ? a ? A .则具有性质 P 的 集合 A 的个数是 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知直线 l1 : x ? 3 y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 .若 l1 ∥ l2 ,则实数 m ? ______. 10.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据 的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 , 则 x甲 ______ x乙 . (填入:“ ? ”,“ ? ”,或“ ? ”) 11.在△ ABC 中, BC ? 2 , AC ? 7 , B ?

? ,则 AB ? ______;△ ABC 的面积是______. 3

12.设 a , b 随机取自集合 {1, 2,3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点的概率是 ______.
2 13. 已知命题 p : 函数 y ? (c ? 1) x ? 1在 R 上单调递增; 命题 q : 不等式 x ? x ? c ? 0 的解集是 ? . 若

p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是______.

??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OA ? 1, ? 14.在直角坐标系 xOy 中,已知两定点 A(1, 0) , B(1,1) .动点 P( x, y ) 满足 ? 则点 ??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2. ?
P 构成的区域的面积是______;点 Q( x ? y, x ? y) 构成的区域的面积是______.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的各项均为正数, a2 ? 8 , a3 ? a4 ? 48 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log4 an .证明: {bn } 为等差数列,并求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

16. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点

? ? ? A , ? ?? , ). 且 将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 , 交单位圆于点 B . A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 记 3 6 2 1 (Ⅰ)若 x1 ? ,求 x2 ; 3
(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为侧棱 PD 上 一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ? 0 . 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值.

19. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 (0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点, m

点 P 与点 A 关于点 M 对称. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 Sn ? {( x1 , x2 ,?, xn ) | x1, x2 ,?, xn 是正整数 1, 2,3,?, n 的一个排列 } (n ? 2) ,函数

?1, x ? 0, g ( x) ? ? ??1, x ? 0.
对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn ,定义: bi ? g (ai ? a1 ) ? g (ai ? a2 ) ? ?? g (ai ? ai ?1 ), i ?{2,3,?, n} ,

b1 ? 0 ,称 bi 为 ai 的满意指数.排列 b1 , b2 ,?, bn 为排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列.
(Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列;

? ? ? (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,?, an ,进行如下操作:将排列 a1 , a2 ,?, an 从左至右第一个满意 指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各 项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 .


北京市西城区2013届高三第二次模拟考试数学理试题(Word解析版)

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