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上海市西南模范中学2013届高三上学期期中考试数学试题


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西南模范中学高三数学期中考试
文科均分 69; 理科均分 80 一.填空题: (每小题 4 分) 1、已知全集 U ? R , A ? x | x 2 ? 3x ? 0 , B ? ?x | x ? 2?,则 A ? CU B ? _______ 。 2、 ( x ? 2)6 的展开式中

x 2 项的系数为_____________。
2 1 3、若实数 a,b,m 满足 2a ? 5b ? m ,且 ? ? 2 ,则 m ? ________。 a b
学号____________

?

?

4、设 x,y ? R ? ,且满足 4 x ? y ? 40 ,则 lg x ? lg y 的最大值是________。 5、已知集合 A ? {x |
ax ? 1 3 ? 0} ,且 2 ? A,? A ,则实数 a 的取值范围是________。6、 x?a

2, 4 四个不同的小球放入编号 1, 3, 的四个盒子中,则恰有一个空盒的方法共有______种

(用数字作答)
姓名__________
2 an ? n 2 7、设等差数列 {an } 的公差为 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 lim ? ________。 n?? Sn

8、已知 a ? 0,b ? 0 ,不等式 ? b ?
1 1 a

1 ? a 的解集是_______________。 x

班级_____________

9、已知命题“ 1 a 1 ? 0 ”是命题“ a ? A ”的必要非充分条件,请写出一个满足条 1 2 3 件的非空集合 A ________。 10、不等式 0 ? x 2 ? mx? 5 ? 3 恰好有一个实数解,则实数 m 的取值范围是________。 11、已知二次函数 y ? f (x) 的图像为开口向下的抛物线,且对任意实数 x ? R 都有
f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 若向量 a ? ( m,?1),? ( m,?2) , 则满足不等式 f (a ? b) ? f (?1) 的 m b

的取值范围是________。 12、 定义区间 [ x1,x2 ](x1 ? x2 ) 的长度为 x2 ? x1 , 已知函数 y ? log1 x 的定义域为 [a,b] ,
2

2 值域为 [0,] ,则区间 [a,b] 长度的最大值与最小值的差为________。

13、 f (x) 是连续的偶函数, x ? 0 时, f (x) 是单调函数,则满足 f ( x) ? f ( 设 当 所有 x 之和为___________。
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x?3 )的 x?4

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14、已知 a 为常数, a ? 0 且 a ? 1 ,指数函数 f ( x) ? a x 和对数函数 f ( x) ? loga x 的图像 分别为 C1,C2 ,点 M 在曲线 C1 上,线段 OM ( O 为坐标原点)与曲线 C1 的另一个交 点为 N ,若曲线 C2 上存在一点 P ,且点 P 的横坐标与点 M 的纵坐标相等,点 P 的纵 坐标是点 N 的横坐标的 2 倍,则点 P 的坐标为___________。 二.选择题(每小题 5 分) : 15、若 a,b ? R ? ,且 a ? b ? 4 ,则下面不等式中恒成立的是( (A) ab ? 2 (B)
1 ?1 ab



1 1 1 1 ? (D) ? ? 1 a?b 4 a b 1 16、定义在全体实数上的奇函数 f ( x) ? a ? x ,要使 f ?1 ( x) ? 1 , x 的取值范围是 2 ?1

(C)




1 1 (A) (? , ) 2 6 1 (B) ( ,?? ) 2 1 (C) (?? ,? ) 2 1 (D) ( ,?? ) 6

17、若不等式 4x ? x 2 ? ax 的解集是 {x | 0 ? x ? 4} ,则实数 a 的取值范围是 ( (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) a ? 4 (D) a ? 0 )



sin sin 18、已知 ?ABC 内接于单位圆,则长为 sin A, B, C 的三条线段(

(A)能构成一个三角形,其面积大于 ?ABC 面积的一半; (B)能构成一个三角形,其面积等于 ?ABC 面积的一半; (C)能构成一个三角形,其面积小于 ?ABC 面积的一半; (D)不一定能构成一个三角形。

三.解答题 19、已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 , x ? R
2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值.

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20、已知 P : | 1 ?

x ?1 |? 2 , Q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,且 P 是 Q 的充分不必要条 3

件,求实数 m 的取值范围。

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1) 21、已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 有最小正周期 2 ,且当 x ? (0, 时, f ( x) ? 1] (1)求 f (x) 在 [ ?1, 上的解析式; 1) (2)证明: f (x) 在 (0, 上为减函数。

2x 。 4x ?1

学号____________

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22、已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2n?1 , n ? N * .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , n ? N * , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an an?1

(1)求数 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (3)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围。

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23 、(

理)

若 函 数 f ( x) 定 义 域 为 R , 满 足 对 任 意 x1,x2 ? R , 有

;若函数 g ( x) 定义域为 R , g ( x) 恒 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 f ( x) 为“ V 形函数” 大于 0, 且对任意 x1,x2 ? R , lg g ( x1 ? x2 ) lg g ( x1 ) ? lg g ( x2 ) ,则称 g ( x) 为“对数 V 形 有 函数” 。 (1)当 f (x) = x2 时,判断 f ( x) 是否为 V 形函数,并说明理由; (2)当 g (x) = x2 + 2 时,证明: g ( x) 是对数 V 形函数; (3)若 f ( x) 是 V 形函数,且满足对任意 x ? R ,有 f ( x) ? 2 ,问 f ( x) 是否为对数 V 形 函数?证明你的结论。

(文) 若函数 f ( x) 定义域为 R , 满足对任意 x1,x2 ? R , f ( x1 ? x2 ) ? 有
则称 f ( x) 为“ V 形函数” 。 (1)当 f (x) = x2 时,判断 f ( x) 是否为 V 形函数,并说明理由;
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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

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(2)当 f ( x) = lg (x2 + 2) 时,证明: f ( x) 是 V 形函数; (3)当 f ( x) = lg ( 2x + a) 时,若 f ( x) 为 V 形函数,求实数 a 的取值范围。

简略答案: 1. ?0,2? 2.60 3. 2 5 4.2
?1 1 ? 5. ? , ? ? ?2,3? 6.144 7.-3 ?3 2 ?

1? ?1 ? ? 8. ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? 9. ? ?or?4? 1 b? ?a ? ?

10. m ? ? 2 2

?

?

11. ?0,1?

12.3

13.-8

14. ?4, log4 a ?

15.D 16.A 17.A 18.C 三.解答 19.(6+6=12 分) (1)T= ? (2)a=1,b=2

20.(14 分) P= ?? ?,?2? ? ?10,??? Q= ?? ?,1 ? m? ? ?1 ? m,???
?m ? ?0,3?
? 2x , x ? (0,1) ? x ?4 ?1 ? 2x , x ? (?1, ,0) 21.(1) f ( x) ? ?? x 4 ?1 ? ?0, x ? 0,?1 ? ?

(2)证明略

22.16 分=4+5+6 (1) an ? 2n ? 1 (2) Tn ?
(3)当 n 偶数时, ? ? 25 当 n 奇数时, ? ? ?21

n 2n ? 1

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? ? ? ?21

23.(4+6+8) 理(1)举反例: (2)是 V 形函数 文: (1)举反例: (2)是 V 形函数 (3)作差或作商 (3) a ? 1ora ? 0

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