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三角函数复习检测试题


三角函数复习检测试题
1.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第 1、第三象限角 2.已知集合 A={(x,y)|y=sinx},集合 B={(x,y)|y=tanx},则 A∩B= 2、{(x,y)|x=kπ,y=0,k∈Z} 2π 2π? 3.已知角 α 终边上一点 P? ?sin 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最小正值为 11 2π π

3 3、 π [解析] 由条件知,cosα=sin =sin = , 6 3 3 2 2π π 1 π 11π sinα=cos =-cos =- ,∴角 α 为第四象限角,∴α=2π- = ,故选 B. 3 3 2 6 6 52 ? 4.cos? ?- 3 π?= 1 4、- 2 . . . 象限角

52π? π? 52π π 1 ? cos? ?- 3 ?=cos 3 =cos?17π+3?=-cos3=-2. .

5.已知角 α 终边上一点 P(-4a,3a)(a<0),则 sinα 的值为 3 3a 3 5.- ∵a<0,∴r= ?-4a?2+?3a?2=-5a,∴sinα= =- 5 r 5

a+b 6. 函数 f(x)=sinx 在区间[a, b]上是增函数, 且 f(a)=-1, f(b)=1, 则 cos = 2 6.1 a+b π π 由条件知,a=- +2kπ (k∈Z),b= +2kπ,∴cos =cos2kπ=1. 2 2 2 .



7.已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π,则 cos(a2+a8)的值为 1 π 7.- 由条件知,π=a1+a5+a9=3a5,∴a5= , 2 3 2π π 1 ∴cos(a2+a8)=cos2a5=cos =-cos =- ,故选 A. 3 3 2 1 1 1 8.设 a=log tan70° ,b=log sin25° ,c=log cos25° ,则它们的大小关系为 2 2 2 8.a<c<b 1 ∵tan70° >cos25° >sin25° >0,log x 为减函数,∴a<c<b. 2 .



π 9.设 0<|α|< ,则下列不等式中一定成立的是 4 (1)sin2α>sinα (3)tan2α>tanα [答案] (2) (4) (2)cos2α<cosα (4)sinα<cosα

(5)

π π π 3 [解析] 当- <α<0 时,A、C、D 不成立.如 α=- ,则 2α=- ,sin2α=- ,sinα 4 6 3 2

1 3 1 3 3 3 =- ,- <- ,tan2α=- 3,tanα=- ,cot2α=- ,cotα=- 3,而- 3<- , 2 2 2 3 3 3 此时,cot2α>cotα. 10.如图所示的程序框图,运行后输出结果为( )

10.2010 [答案] C nπ π? nπ + +1=2cos +1.由 S=S+f(n)及 n=n+1 知此程序框图是 [解析] ∵f(n)=2sin? 3 2 ? ? 3 nπ 计算数列 an=2cos +1 的前 2010 项的和. 3 π 2π 3π 2010π ? 2cos +1?+?2cos +1?+?2cos +1?+?+?2cos +1 即 S=? 3 ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? π 2π 3π 2010π? π 2π 3π cos +cos +cos +?+cos =2? 3 3 3 ? + 2010 = 2×335×cos 3 + cos 3 + cos 3 + ? 3 4π 5π 6π cos +cos +cos +2010=2010. 3 3 3 二、填空题 3 11.(2010· 南京调研)已知角 α 的终边经过点 P(x,-6),且 tanα=- ,则 x 的值为 5 ________. [答案] 10 -6 3 [解析] 根据题意知 tanα= =- ,所以 x=10. x 5 12.已知△ABC 是锐角三角形,则点 P(cosB-sinA,tanB-cotC),在第________象限. [答案] 二 π [解析] ∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A< , 2 π π π π 0<B< ,0<C< ,且 A+B> ,B+C> , 2 2 2 2

π π π π ∴ >A> -B>0, >B> -C>0, 2 2 2 2 π? ∵y=sinx 与 y=tanx 在? ?0,2?上都是增函数, π ? ?π ? ∴sinA>sin? ?2-B?,tanB>tan?2-C?, ∴sinA>cosB,tanB>cotC,∴P 在第二象限. 13.在(0,2π)内使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是______. π 5π [答案] ( , ) 4 4 [解析] 由三角函数定义结合三角函数线知,在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值 π 5π 范围为( , ). 4 4 [点评] 要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中的应用.

14.(文)(2010· 上海嘉定区模拟)如图所示,角 α 的终边与单位圆(圆心在原点,半径为 1 3 cosα, ?,则 cosα-sinα=________. 的圆)交于第二象限的点 A? 5? ? 7 [答案] - 5 3 [解析] 由条件知,sinα= , 5 4 7 ∴cosα=- ,∴cosα-sinα=- . 5 5

(理)(2010· 北京延庆县模拟)直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=1 交于 A,B 两点,以 x 轴的正 方向为始边, OA 为终边(O 是坐标原点)的角为 α, OB 为终边的角为 β, 则 sin(α+β)=________.

4 [答案] - 5 [解析] 4 将 y=2x+1 代入 x2+y2=1 中得,5x2+4x=0,∴x=0 或- ,∴A(0,1), 5

4 3? 3 4 B? ?-5,-5?,故 sinα=1,cosα=0,sinβ=-5,cosβ=-5, 4 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=- . 5

π [点评] 也可以由 A(0,1)知 α= , 2 π ? 4 ∴sin(α+β)=sin? ?2+β?=cosβ=-5. 三、解答题 15.已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cosα= [解析] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 又 cosα= 3 x 3 x,∴cosα= 2 = x. 6 6 x +2 3 1 x.求 sinα+ 的值. 6 tanα

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义,有 sinα=- 6 1 , =- 5, 6 tanα

6 5+ 6 1 6 ∴sinα+ =- - 5=- ; tanα 6 6 6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sinα+ = . tanα 6 16.(文)已知 sinθ、cosθ 是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; (2)求 sinθ cosθ + 的值. 1-cotθ 1-tanθ

[解析] (1)由韦达定理可得

?sinθ+cosθ= 3-1 ① ? cosθ=m ② ?sinθ·
由①得 1+2sinθ· cosθ=4-2 3. 3 将②代入得 m= - 3,满足 Δ=( 3-1)2-4m≥0, 2 3 故所求 m 的值为 - 3. 2 sinθ cosθ sinθ cosθ (2)先化简: + = + cosθ sinθ 1-cotθ 1-tanθ 1- 1- sinθ cosθ cos2θ-sin2θ sin2θ cos2θ = + = =cosθ+sinθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ cosθ-sinθ = 3-1. (理)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ,且 θ∈(0,2π), (1)求 sinθ cosθ + 的值; 1-cotθ 1-tanθ

(2)求 m 的值; (3)求方程的两根及此时 θ 的值. [解析] (1)由韦达定理可知

?sinθ+cosθ= ? m cosθ= ?sinθ· 2


3+1 2 ②



sinθ cosθ sin2θ cos2θ + = + 1-cotθ 1-tanθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ 3+1 ; 2

=sinθ+cosθ=

2+ 3 (2)由①两边平方得 1+2sinθcosθ= , 2 将②代入得 m= (3)当 m= 3 ; 2

3 时,原方程变为 2 3 3 1 =0,解得 x1= ,x2= , 2 2 2

2x2-(1+ 3)x+

?sinθ= 23 ∴? 1 ?cosθ=2

?sinθ=2 或? 3 ?cosθ= 2

1

π π 又∵θ∈(0,2π),∴θ= 或 . 6 3 17.周长为 20cm 的扇形面积最大时,用该扇形卷成圆锥的侧面,求此圆锥的体积. [解析] 设扇形半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, ∴l=20-2r, 1 1 S= rl= (20-2r)· r=(10-r)· r, 2 2 ∴当 r=5 时,S 取最大值. 此时 l=10,设卷成圆锥的底半径为 R,则 2πR=10, 5 ∴R= , π ∴圆锥的高 h= 5?2 5 π2-1 52-? ?π? = π ,

2 2 1 π 5?2 5 π -1 125 π -1 V= πR2h= ×? · = . 2 3 3 ?π? π 3π

第4章
一、选择题

第2节

π? 1 1.(2010· 河北唐山)已知 cos? ?α-4?=4,则 sin2α=( 7 A.- 8 31 C.- 32 [答案] A π ? ? π? [解析] sin2α=cos? ?2-2α?=cos2?α-4? π? 7 ?1?2 =2cos2? ?α-4?-1=2×?4? -1=-8. 2.(2010· 福建省福州市)已知 sin10° =a,则 sin70° 等于( A.1-2a2 C.1-a2 [答案] A B.1+2a2 D.a2-1 7 B. 8 31 D. 32

)

)

[解析] 由题意可知,sin70° =cos20° =1-2sin210° =1-2a2,故选 A. 3.(2010· 广东玉湖中学月考)下列关系式中,能使 α 存在的关系式是( 5 A.sinα+cosα= 3 B.(cosα+sinα)(cosα-sinα)= 2 C. 1+cos2α=- 2cosα 1 D.1-cos2α=log 2 2 [答案] C [解析] π 5 A 选项中,sinα+cosα= 2sin(α+ )≤ 2< ,故不成立;B 选项中,(cosα+ 4 3 1 2 2 )

sinα)(cosα-sinα)=cos2α-sin2α=cos2α≤1< 2, 故不成立; D 选项中, 由 1-cos2α=log

1 3 =- , 得 cos2α= >1, 故不成立; C 选项中, 1+cos2α= 2cos2α, 当 cosα<0 时, 1+cos2α 2 2 =- 2cosα,∴C 正确. 4.(2010· 重庆一中)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且∠A=2∠B, 则 sinB 等于( sin3B b A. c b C. a [答案] A sinB sinB [解析] ∵A=2B,∴ = sin3B sin?A+B? = sinB sinB b = = . sin?π-C? sinC c ) ) c B. b a D. c

π? 5.(2010· 北京东城区)函数 y=1-2sin2? ?x-4?是( A.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的偶函数 2 π D.最小正周期为 的奇函数 2 [答案] B π? ? π? [解析] y=1-2sin2? ?x-4?=cos2?x-4?

π? =cos? ?2x-2?=sin2x 为奇函数且周期 T=π. π? π 6.(2010· 重庆南开中学)已知 2tanα· sinα=3,- <α<0,则 cos? ?α-6?的值是( 2 A.0 C.1 [答案] A [解析] ∵2tanαsinα=3,∴ 2?1-cos2α? 即 =3, cosα ∴2cos2α+3cosα-2=0, 1 ∵|cosα|≤1,∴cosα= , 2 π π 3 α- ? ∵- <α<0,∴sinα=- ,∴cos? ? 6? 2 2 π π 1 3 3 1 =cosαcos +sinαsin = × - × =0. 6 6 2 2 2 2 7. (2010· 河南南阳调研)在△ABC 中, 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1, 则 C 等于( A.30° C.30° 或 150° [答案] A 1 [解析] 两式平方后相加得 sin(A+B)= , 2 ∴A+B=30° 或 150° , 2 1 又∵3sinA=6-4cosB>2,∴sinA> > , 3 2 ∴A>30° ,∴A+B=150° ,此时 C=30° . π ? ?3π ? 8.(2010· 山东枣庄模考)对于函数 f(x)=cos? ?2+x?sin? 2 +x?,给出下列四个结论:①函 π 数 f(x)的最小正周期为 π;②若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2;③f(x)的图象关于直线 x=- 对 4 π 3π? 称;④f(x)在? ?4, 4 ?上是减函数,其中正确结论的个数为( A.2 [答案] D π ? 1 ?3π ? [解析] ∵cos? ?2+x?=-sinx,sin? 2 +x?=-cosx,∴f(x)=sinxcosx=2sin2x,∴f(x)的 B.4 C.1 D.3 ) B.150° D.60° 或 120° ) 2sin2α =3, cosα B. 3 2 )

1 D. 2

2π π kπ π π 周期为 T= =π,①正确;由 2x=kπ+ ,k∈Z 得 x= + ,令 k=-1 得,x=- ,故③ 2 2 2 4 4 π 3π π 3π π 3π 正确;由 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z 得, +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,令 k=0 得, ≤x≤ , 2 2 4 4 4 4 π 1 1 故④正确.取 x1= ,x2=-π,则 f(x1)= sinπ=0,f(x2)= sin(-2π)=0 满足 f(x1)=-f(x2), 2 2 2 但 x1≠-x2,故②错. π? ? π? 9.(2010· 广东佛山调研)已知函数 f(x)=sin? ?x+2?,g(x)=cos?x-2?,则下列结论中正确 的是( )

A.函数 y=f(x)· g(x)的最小正周期为 2π B.函数 y=f(x)· g(x)的最大值为 1 π C.将 f(x)的图象向左平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π D.将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 [答案] D π? 1 ? π? [解析] f(x)=sin? g(x)= sin2x,最小正 ?x+2?=cosx,g(x)=cos?x-2?=sinx,则 y=f(x)· 2 π 1 π x- ?的图象. 周期为 π, 最大值为 ;将 f(x)=cosx 的图象向右平移 个单位后得到 g(x)=cos? ? 2? 2 2 10.(2010· 安徽铜陵一中)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、 b、c 成等比数列,且 a+c=3,tanB= A. C. 7 4 7 2 7 ,则△ABC 的面积为( 3 B. D. 5 4 5 2 )

[答案] A [解析] ∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac, ∵tanB= 7 7 3 ,∴sinB= ,cosB= , 3 4 4

∵a+c=3,b2=a2+c2-2accosB,∴ac=2, 1 7 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4 二、填空题 11.(文)(2010· 苏北四市)设 α 是第三象限角,tanα= [答案] 12 13 5 ,则 cos(π-α)=________. 12

5 [解析] ∵α 为第三象限角,tanα= , 12 12 12 ∴cosα=- ,∴cos(π-α)=-cosα= . 13 13 3π 2 ? 3 (理)(2010· 浙江杭州质检)若 sin? ? 2 -2x?=5,则 tan x 等于________. [答案] 4 3π 3 2 2 ? [解析] sin? ? 2 -2x?=-cos2x=sin x-cos x=5,

?sin x=5 又 sin x+cos x=1,∴? 1 ?cos x=5
2 2 2 2

4

sin2x ,∴tan2x= 2 =4. cos x

π ? 1 ?π ? 12.已知 sin? ?6-α?=4,则 sin?6+2α?=______. [答案] 7 8

π ? ?π π ? [解析] sin? ?6+2α?=cos?2-6-2α? π 2?π ? ? 7 =cos? ?3-2α?=1-2sin ?6-α?=8. 13.(2010· 浙江宁波十校)若 sin76° =m,则 cos7° =______. [答案] 2m+2 2

[解析] ∵sin76° =m,∴cos14° =m, 即 2cos27° -1=m,∴cos7° = 2+2m . 2

?2cosπx x≤2000 ? 3 14.(2010· 深圳市调研)已知函数 f(x)=? ,则 f[f(2010)]=________. ?x-100 x>2000 ?
[答案] -1 π ? ?2cos3x x≤2000 由 f(x) = ? ? ?x-100 x>2000

[解析]

得 , f(2010) = 2010 - 100 = 1910 , f(1910) =

π 2π 2π ×1910?=2cos(636π+ )=2cos =-1,故 f[f(2010)]=-1. 2cos? ?3 ? 3 3 三、解答题 1 3 10 15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tanA= ,cosB= . 2 10 (1)求 tanC 的值;

(2)若△ABC 最长的边为 1,求 b. 3 10 [解析] (1)∵cosB= >0, 10 ∴B 为锐角,sinB= 1-cos2B= sinB 1 ∴tanB= = . cosB 3 ∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) 1 1 + 2 3 tanA+tanB =- =- =-1. 11 1-tanA· tanB 1- · 23 (2)由(1)知 C 为钝角,所以 C 是最大角,所以最大边为 c=1 ∵tanC=-1,∴C=135° ,∴sinC= b c 由正弦定理: = 得, sinB sinC 10 1· 10 csinB 5 b= = = . sinC 5 2 2 3π? 16.(文)(2010· 北京东城区模拟)已知向量 a=(cosα,1),b=(-2,sinα),α∈? ?π, 2 ?, 且 a⊥b. (1)求 sinα 的值; π? (2)求 tan? ?α+4?的值. [解析] (1)∵a=(cosα,1),b=(-2,sinα),且 a⊥b. ∴a· b=(cosα,1)· (-2,sinα)=-2cosα+sinα=0. 1 ∴cosα= sinα. 2 4 ∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α= . 5 3π? 2 5 ∵α∈? ?π, 2 ?,∴sinα=- 5 . (2)由(1)可得 cosα=- 5 ,则 tanα=2. 5 2 . 2 10 10

π? tanα+1 tan? ?α+4?=1-tanα=-3. (理)已知向量 m=(-1,cosωx+ 3sinωx),n=(f(x),cosωx),其中 ω>0,且 m⊥n,又

3 函数 f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为 π. 2 (1)求 ω 的值; π α+ ? sin? 4? ? 3 π 23 ? (2)设 α 是第一象限角,且 f? ?2α+2?=26,求cos?4π+2α?的值. [解析] (1)由题意得 m· n=0,所以, f(x)=cosωx· (cosωx+ 3sinωx) = 1+cos2ωx π 1 3sin2ωx 2ωx+ ?+ , + =sin? 6? 2 ? 2 2

根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π. 1 又 ω>0,所以 ω= . 3 2 π? 1 (2)由(1)知 f(x)=sin? ?3x+6?+2. 3 π? ? π? 1 所以 f? ?2α+2?=sin?α+2?+2 1 23 =cosα+ = , 2 26 5 解得 cosα= , 13 12 因为 α 是第一象限角,故 sinα= , 13 π? 2 sin? ?α+4? 2 ?sinα+cosα? 2 1 13 2 所以, = = = · =- . cos2α 2 cosα-sinα 14 cos?4π+2α? cos2α-sin2α 17.(2010· 南充市模拟)已知三点:A(4,0),B(0,4),C(3cosα,3sinα). → → (1)若 α∈(-π,0),且|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· BC=0,求 的值. 1+tanα → → [解析] (1)由题得AC=(3cosα-4,3sinα),BC=(3cosα,3sinα-4) → → 由|AC|=|BC|得, (3cosα-4)2+9sin2α=9cos2α+(3sinα-4)2 ?sinα=cosα 3π ∵α∈(-π,0),∴α=- . 4 → → (2)由AC· BC=0 得,3cosα(3cosα-4)+3sinα(3sinα-4)=0, 3 7 解得 sinα+cosα= ,两边平方得 2sinαcosα=- 4 16 π? sin? ?α+4?



2sin2α+sin2α 2sin2α+2sinαcosα = sinα 1+tanα 1+ cosα

7 =2sinαcosα=- . 16

第4章

第3节

一、选择题 π ? 1.(2010· 枣庄模考)下列函数中,以 π 为最小正周期的偶函数,且在? ?2,π?上为减函数 的是( ) B.y=|sinx| D.y=tanx

A.y=sin2x+cos2x C.y=cos2x [答案] B

π ? [解析] 由函数为偶函数,排除 A、D;由? ?2,π?上为减函数,排除 C. 2.(文)为了使函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则 ω 的最小值 是( ) A.98π 199 C. π 2 [答案] B 1 1 197 2π [解析] 由题意至少出现 50 次最大值即至少需用 49 个周期,∴49 · T= · ≤1,∴ 4 4 4 ω 197 ω≥ π,故选 B. 2 π ? (理)有一种波,其波形为函数 y=sin? ?2x?的图象,若在区间[0,t](t>0)上至少有 2 个波峰 (图象的最高点),则正整数 t 的最小值是( A.3 [答案] C π ? ?π ? [解析] ∵y=sin? ?2x?的图象在[0,t]上至少有 2 个波峰,函数 y=sin?2x?的周期 T=4, 5 ∴t≥ T=5,故选 C. 4 B.4 C.5 ) D.6 197 B. π 2 D.100π

π ? 3.(2010· 深圳中学)函数 y=lgsin? ?6-2x?的单调递减区间是( π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π 5π B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π π C.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 6 12 7π 5π D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 12 6 [答案] C π π? ? ? [解析] ∵sin? ?6-2x?>0,∴sin?2x-6?<0, π ∴2kπ-π<2x- <2kπ,k∈Z, 6 5π π ∴kπ- <x<kπ+ ,k∈Z, 12 12 π? 5π π 又在(kπ- ,kπ- ]上 u=sin? ?2x-6?单减, 12 6 π? π π 在[kπ- ,kπ+ )上,u=sin? ?2x-6?单增, 6 12 π ? ∴函数 y=lg sin? ?6-2x?的单调减区间为 π π [kπ- ,kπ+ ),k∈Z. 6 12

)

4.(文)将函数 y=sinx- 3cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a(a>0)个单位长度,所得函数的 图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值是( 7π A. 6 [答案] C [解析] π x- ?,经平移后函数图象所对应的函数解析式为 y ∵y=sinx- 3cosx=2sin? ? 3? π B. 2 π C. 6 ) π D. 3

π π π x-a- ?,且其图象关于 y 轴对称,∴-a- = +kπ(k∈Z), =2sin? 3? ? 3 2 π ∴amin= .故选 C. 6 [点评] 考虑到偶函数的图象关于 y 轴对称,又 y=cosx 为偶函数,故可直接化 y=sinx π? π - 3cosx=-2cos? ?x+6?,故只须向右平移6个单位即可. (理)(2010· 广东六校)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周 π π 期是 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( 2 3 )

π? A.y=4sin? ?4x+6?

π? B.y=2sin? ?2x+3?+2

π? π? ? C.y=2sin? ?4x+3?+2 D.y=2sin?4x+6?+2 [答案] D π [解析] 由函数最小正周期是 ,排除 B 选项;由最大值为 4,最小值为 0 可排除 A 选 2 项; π 由 x= 为其一条对称轴可知选 D. 3 π 5.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象与 x 轴的交点中, 2 2π π ? 相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上的一个最低点为 M? ? 3 ,-2?. 则 f(x)的解析式为 2 ( ) π? A.f(x)=2sin? ?2x+6? π? C.f(x)=sin? ?2x+3? [答案] A 2π ? [解析] 由最低点为 M? ? 3 ,-2?得 A=2. π T π 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 得, = , 2 2 2 2π 2π 即 T=π,∴ω= = =2. T π 2π 4π ? ? 2π ? ?4π ? 由点 M? ? 3 ,-2?在函数图象上得,2sin?2× 3 +φ?=-2,即 sin? 3 +φ?=-1,故 3 + π? π 11π π φ=2kπ- ,k∈Z,∴φ=2kπ- .又 φ∈? ?0,2?,∴φ=6, 2 6 π? 故 f(x)=2sin? ?2x+6?. 6.(文)(2010· 福建三明一中)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如 图所示,则( ) π? B.f(x)=2cos? ?2x+6? π? D.f(x)=cos? ?2x+3?

π π A.ω= ,φ= 2 4 π π B.ω= ,φ= 3 6 π π C.ω= ,φ= 4 4 π 5π D.ω= ,φ= 4 4

[答案] C 2π π [解析] 由图可知函数的最小正周期是 8,根据最小正周期 T= 可得 ω= ,排除 A、 ω 4 π B,再根据 0≤φ≤2π 且当 x=1 时 y=1,可知 φ= ,故选 C. 4 (理)(2010· 安徽马鞍山二中)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图所示, 则 f(1)+f(2)+? +f(2009)的值为( A.2008 C.2009 [答案] D 1 [解析] 由 f(x)的图象可以得到 A= ,b=1,T=4, 2 π 1 π 所以 ω= ,故 f(x)= sin( x+φ)+1, 2 2 2 3? 再由点? ?1,2?在 f(x)的图象上,可得 φ=2kπ,k∈Z, 1 πx 所以 f(x)= sin +1. 2 2 1 1 所以 f(1)= +1,f(2)=0+1,f(3)=- +1,f(4)=0+1,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4, 2 2 4019 所以 f(1)+f(2)+?+f(2009)=2008+f(2009)=2008+f(1)= . 2 π 7. (2010· 山东东营模考)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(|φ|< )的最小正周期为 π, 且其图象向左平 2 π 移 个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象( 6 π ? A.关于点? ?12,0?对称 5π ? C.关于点? ?12,0?对称 [答案] B 2π π [解析] ∵周期 T= =π,∴ω=2,将 y=sin(2x+φ)的图象左移 个单位后得到图象对 ω 6 π π π π 2x+ +φ?为奇函数,∴φ=- ,∴y=sin?2x- ?,令 2x 应函数为 y=sin[2(x+ )+φ]=sin? 3 3? ? ? ? 6 3 π π kπ 5π 5π - =kπ+ (k∈Z)得,x= + ,取 k=0 知 x= 为其一条对称轴,故选 B. 3 2 2 12 12 8.(2010· 浙江金华十校)M、N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个不同的交点,则 |MN|的最小值为( ) ) ) 4017 B. 2 4019 D. 2

5π B.关于直线 x= 对称 12 π D.关于直线 x= 对称 12

A.π C. 3π [答案] C

B. 2π D.2π

π 2π? 5π 2π ? [解析] 其中与原点最近的两交点 M? , ,N? ,∴|MN|= 3π. ?4 2 ? ? 4 ,- 2 ? π? ?π? 9.(文)已知函数 f(x)=x· sinx,x∈R.则 f? ?-4?,f(1)及 f?3?的大小关系为( π? ?π? A.f? ?-4?>f(1)>f?3? π? ? π? B.f(1)>f? ?3?>f?-4? π? ? π? C.f? ?3?>f(1)>f?-4? π? ? π? D.f? ?3?>f?-4?>f(1) [答案] C π? [解析] ∵f(x)为偶函数,且在? ?0,2?上为增函数, π? ?π? π π ∴f? ?-4?=f?4?,由于3>1>4, π? ?π?=f?-π?,故选 C. ∴f? > f (1)> f 3 ? ? ?4? ? 4? π π - , ?时,f(x)=x+sinx,则( (理)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π-x),且当 x∈? ? 2 2? A.f(1)<f(2)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(1) C.f(3)<f(2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2) [答案] D [解析] ∵f(x)=f(π-x), π ∴f(x)的图象关于直线 x= 对称, 2 π π? 由条件知,f(x)在? ?-2,2?上单调递增, π 3π? ∴f(x)在? ?2, 2 ?上单调递减, π 3π ∵ <2<π-1<3< ,∴f(2)>f(π-1)>f(3), 2 2 ∴f(3)<f(1)<f(2).故选 D. π π 10.(2010· 山东肥城联考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(其中 ω>0,- <φ< )的图象如图所示, 2 2 ) )

若点 A 是函数 f(x)的图象与 x 轴的交点,点 B、D 分别是函数 f(x)的图象的最高点和最低点, π → → ? 点 C? BD的值是( ?12,0?是点 B 在 x 轴上的射影,则AB· )

A.8 π C. -8 8 [答案] C
2

B.-8 π2 D.- +8 8

T π π π [解析] 由图可知 = - = ,∴T=π,∴ω=2, 4 3 12 4 π π 由 2·+φ=π 知,φ= , 3 3
2 π π 7π π π → → → → π - ,0?,B? ,2?,D? ,-2?,AB=? ,2?,BD=? ,-4?,∴AB· 从而 A? BD = ? 6 ? ?12 ? ?12 ? ?4 ? ?2 ? 8

-8. 二、填空题 π 11.(文)(2010· 山师大附中模考)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 4 个单位,所得图象的函数解析式是________. [答案] y=2cos2x [解析] y=sin2x错误! π 向上平移 ?x+π?+1, x+ ? ― y=sin2? ― → y = sin2 4 1 个单位 ? ? ? 4? 即 y=cos2x+1=2cos2x. 答案不惟一,只要结果可化为 y=2cos2x 的都正确. (理)(2010· 福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,0<ω<2, π π - <φ< )的图象,列出的部分数据如下表: 2 2 x y 0 1 1 0 2 1 3 -1 4 -2

经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数 y=Asin(ωx +φ)的解析式应是________. π π? [答案] y=2sin? ?3x+6? [解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线 x=1 对称,故 x=1 与函数图象的交点应是最高点或最

π π 低点, 故数据(1,0)错误, 从而由(4, -2)在图象上知 A=2, 由过(0,1)点知 2sinφ=1, ∵- <φ< , 2 2 π ∴φ= , 6 π? ∴y=2sin? ?ωx+6?,再将点(2,1)代入得, π? 2sin? ?2ω+6?=1, π π π 5π ∴2ω+ = +2kπ 或 2ω+ = +2kπ,k∈Z, 6 6 6 6 π ∵0<ω<2,∴ω= , 3 π π? ∴解析式为 y=2sin? ?3x+6?. π π π π π 12.已知 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0),f( )=f( ),且 f(x)在区间( , )上有最小值,无最大值, 3 6 3 6 3 则 ω=________. [答案] 14 3

π π [解析] ∵f( )=f( ), 6 3 π π π π ∴sin( ω+ )=sin( ω+ ), 6 3 3 3 π π π π ∴ ω+ = ω+ +2kπ (k∈Z)① 3 3 6 3 π π π π 或 ω+ =π-( ω+ )+2kπ (k∈Z)② 3 3 6 3 由①得 ω=12k,∵ω>0,k∈Z, 2π π ∴取 k=1,ω=12,周期 T= = , ω 6 π π 故在( , )上既有最大值也有最小值,舍去. 6 3 2 由②得 ω=4k+ ,∵ω>0,k∈Z, 3 14 2π 3π ∴取 k=1,ω= ,周期 T= = ,满足题设要求. 3 ω 7 π 13.(2010· 山师大附中模考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如 2 图所示,则函数 f(x)的解析式为________.

π? [答案] y=2sin? ?2x+6? π ? [解析] 由图象最高点? ?6,2?知 A=2, T 5π π π 又 = - = ,∴T=π,∴ω=2, 4 12 6 4 π ? π? π ?π ? ∵|φ|≤π, ∴y=2sin(2x+φ), 将? ∴φ= , ∴y=2sin? ?6,2?代入得 2=2sin?3+φ?, ?2x+6?. 2 6 π π? → → → 14. (2010· 上海大同中学模考)函数 y=tan? AB ?4x-2?的部分图象如图所示,则(OA+OB)· =________.

[答案] 6 π π? π π π [解析] y=tan? ?4x-2?=-cot4x,其周期 T=π=4,∴A(2,0),由-cot4x=1 及 0<x<4 4 得,x=3, → → → ∴B(3,1),∴OA=(2,0),OB=(3,1),AB=(1,1), → → → ∴(OA+OB)· AB=(5,1)· (1,1)=6. 三、解答题 1 15.(文)已知函数 f(x)=( 3sinωx+cosωx)cosωx- (ω>0)的最小正周期为 4π. 2 (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间. 1 [解析] (1)f(x)= 3sinωxcosωx+cos2ωx- 2 = π? 3 1 1 1 sin2ωx+ cos2ωx+ - =sin? ?2ωx+6? 2 2 2 2

2π 1 ∵T= =4π,∴ω= . 2ω 4 1 π? (2)∵f(x)=sin? ?2x+6? π 1 π π ∵- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈Z 2 2 6 2 4 2 ∴- π+4kπ≤x≤ π+4kπ,k∈Z 3 3 ∴f(x)的单调递增区间为[- 4π 2π +4kπ, +4kπ](k∈Z). 3 3

(理)(2010· 湖北黄冈)已知函数 f(x)=2acos2x+bsinxcosx(a>0, b>0), f(x)的最大值为 1+a, 1 最小值为- . 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. b [解析] (1)f(x)=a(1+cos2x)+ sin2x 2 = b2 a2+ sin(2x+φ)+a, 4 b2 a2+ =1,a- 4 b2 1 a2+ =- , 4 2

由题设知

1 所以 a= ,b= 3 2 所以 f(x)= 3 1 1 sin2x+ cos2x+ 2 2 2

π 1 2x+ ?+ , =sin? 6? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 得, 2 6 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z 3 6 π π 所以 f(x)单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 16.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、 C 的对边,向量 m=(b,2a-c), n=(cosB, cosC),且 m∥n. (1)求角 B 的大小; B? π (2)设 f(x)=cos? ?ωx- 2 ?+sinωx(ω>0),且 f(x)的最小正周期为 π,求 f(x)在区间[0,2]上 的最大值和最小值. [解析] (1)由 m∥n 得,bcosC=(2a-c)cosB,

∴bcosC+ccosB=2acosB. 由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, 即 sin(B+C)=2sinAcosB. 又 B+C=π-A,∴sinA=2sinAcosB. 1 又 sinA≠0,∴cosB= . 2 π 又 B∈(0,π),∴B= . 3 π (2)由题知 f(x)=cos(ωx- )+sinωx 6 = 3 3 π cosωx+ sinωx= 3sin(ωx+ ), 2 2 6

2π π 由已知得 =π,∴ω=2,f(x)= 3sin(2x+ ), ω 6 π π π 7π π 1 当 x∈[0, ]时,(2x+ )∈[ , ],sin(2x+ )∈[- ,1]. 2 6 6 6 6 2 π π 因此,当 2x+ = , 6 2 π 即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 π 7π π 3 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值- . 6 6 2 2 (理)(2010· 广东佛山顺德区检测)已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I=Asin(ωt+φ). π (1)如图是 I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象,根据图中数据求 I=Asin(ωt 2 +φ)的解析式;

(2)如果 t 在任意一段

1 秒的时间内, 电流 I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值, 那 100

么 ω 的最小正整数值是多少? [解析] (1)由图可知 A=300,周期 T=2×[ 1 1 1 -(- )]= 180 900 75

2π ∴ω= =150π. T

又当 t=

1 1 ? 时,I=0,即 sin? ?150π·180+φ?=0 180

π π 而|φ|< ,∴φ= . 2 6 π 故所求的解析式为 I=300sin(150πt+ ). 6 1 2π 1 (2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ ,(ω>0), 100 ω 100 ∴ω≥200π>628, 又 ω∈N*,∴ωmin=629. 17.(2010· 湖北黄冈)已知 a=( 3,cosx),b=(cos2x,sinx),函数 f(x)=a· b- (1)求函数 f(x)的单调递增区间; π? (2)若 x∈? ?0,4?,求函数 f(x)的取值范围; (3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数? [解析] (1)函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- = 3? 3 2 3 . 2

?

1+cos2x? 1 3 2 ?+2sin2x- 2



π? 3 1 cos2x+ sin2x=sin? ?2x+3? 2 2

π π π ∴由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z 得 2 3 2 - 5π π +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z 12 12

5π π ? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?-12+kπ,12+kπ?,(k∈Z) π? π ?π 5π? (2)∵x∈? ?0,4?,∴2x+3∈?3, 6 ? π π π ∴当 2x+ = 即 x= 时 f(x)max=1 3 2 12 π 5π π 1 1 当 2x+ = 即 x= 时,f(x)min= ,∴ ≤f(x)≤1. 3 6 4 2 2 π (3)将 f(x)的图象上所有的点向右平移 个单位长度得到 y=sin2x 的图象,则其对应的函 6 数即为奇函数.(答案不唯一)

第4章

第4节

一、选择题 4 5 1.在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC 的值是( 5 13 16 A. 65 [答案] A 4 5 3 12 [解析] 在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,cosA= ,cosB= ,∴sinA= ,sinB= , 5 13 5 13 所以 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =sinA· sinB-cosA· cosB 3 12 4 5 16 = × - × = ,故选 A. 5 13 5 13 65 2.(2010· 烟台中英文学校质检)sin75° cos30° -sin15° sin150° 的值为( A.1 [答案] C [解析] sin45° = 2 . 2 ) sin75° cos30° - sin15° sin150° = sin75° cos30° - cos75° sin30° = sin(75° - 30° )= 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 ) 56 B. 65 16 56 C. 或 65 65 )

16 D.- 65

3.(2010· 吉林省质检)对于函数 f(x)=sinx+cosx,下列命题中正确的是( A.?x∈R,f(x)< 2 C.?x∈R,f(x)> 2 [答案] B π? [解析] ∵f(x)= 2sin? ?x+4?≤ 2, ∴不存在 x∈R 使 f(x)> 2且存在 x∈R,使 f(x)= 2,故 A、C、D 均错. B.?x∈R,f(x)< 2 D.?x∈R,f(x)> 2

4. (文)(2010· 北京东城区)在△ABC 中, 如果 sinA= 3sinC, B=30° , 那么角 A 等于( A.30° [答案] D [解析] ∵△ABC 中,B=30° ,∴C=150° -A, ∴sinA= 3sin(150° -A)= 3 3 cosA+ sinA, 2 2 B.45° C.60° D.120°

)

∴tanA=- 3,∴A=120° . (理)已知 sinα= 5 10 ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于( 5 10 )

5π A. 12 [答案] C

π B. 3

π C. 4

π D. 6

π π [解析] ∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< , 2 2 3 10 ∴cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= , 10 ∴sinα= 5 ,∴cosα= 5 1-? 5?2 2 5 = . 5 ?5?

∴sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= π π ∵0<β< ,∴β= ,故选 C. 2 4 π ? 5.(文)(2010· 广东惠州一中)函数 y=sin? ?3-2x?+sin2x 的最小正周期是( π A. 2 [答案] B [解析] y= π? 3 1 cos2x- sin2x+sin2x=sin? ?2x+3?, 2 2 B.π C.2π D.4π ) 2 . 2

∴周期 T=π. (理)函数 f(x)=(3sinx-4cosx)· cosx 的最大值为( A.5 [答案] C [解析] f(x)=(3sinx-4cosx)cosx 3 =3sinxcosx-4cos2x= sin2x-2cos2x-2 2 5 4 = sin(2x-θ)-2,其中 tanθ= , 2 3 5 1 所以 f(x)的最大值是 -2= .故选 C. 2 2 6.(文)(2010· 温州中学)已知向量 a=(sin75° ,-cos75° ),b=(-cos15° ,sin15° ),则|a -b|的值为( A.0 ) B.1 C. 2 D.2 9 B. 2 1 C. 2 5 D. 2 )

[答案] D [解析] ∵ |a - b|2 = (sin75° + cos15° )2 + ( - cos75° - sin15° )2 = 2 + 2sin75° cos15° +

2cos75° sin15° =2+2sin90° =4,∴|a-b|=2.

π? (理)(2010· 鞍山一中)已知 a=(sinα,1-4cos2α),b=(1,3sinα-2),α∈? ?0,2?,若 a∥b, π? 则 tan? ?α-4?=( 1 A. 7 [答案] B [解析] ∵a∥b,∴1-4cos2α=sinα(3sinα-2), ∴5sin2α+2sinα-3=0, π? 3 3 ∴sinα= 或 sinα=-1,∵α∈? ?0,2?,∴sinα=5, 5 π? tanα-1 3 1 ∴tanα= ,∴tan? ?α-4?=1+tanα=-7. 4 3π 7.(文)(2010· 河南许昌调研)已知 sinβ= ( <β<π),且 sin(α+β)=cosα,则 tan(α+β)= 52 ( ) A.1 [答案] C 3 π 4 [解析] ∵sinβ= , <β<π,∴cosβ=- , 5 2 5 ∴sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ 4 3 =- cos(α+β)+ sin(α+β), 5 5 2 4 ∴ sin(α+β)=- cos(α+β),∴tan(α+β)=-2. 5 5 2 2 (理)(2010· 杭州模拟)已知 sinx-siny=- ,cosx-cosy= ,且 x,y 为锐角,则 tan(x- 3 3 y)=( ) 2 14 B.- 5 5 14 D.± 28 B.2 C.-2 8 D. 25 ) 1 B.- 7 2 C. 7 2 D.- 7

2 14 A. 5 2 14 C.± 5 [答案] B

5 [解析] 两式平方相加得:cos(x-y)= , 9 ∵x、y 为锐角,sinx-siny<0,∴x<y, 2 14 ∴sin(x-y)=- 1-cos2?x-y?=- , 9

sin?x-y? 2 14 ∴tan(x-y)= =- . 5 cos?x-y? cosα-sinα 8.已知 α、β 均为锐角,且 tanβ= ,则 tan(α+β)的值为( cosα+sinα A.-1 [答案] B cosα-sinα 1-tanα π ? -α , [解析] tanβ= = =tan? 4 ? ? cosα+sinα 1+tanα π π? π ? π π? ∵ -α,β∈? ?-2,2?且 y=tanx 在?-2,2?上是单调增函数, 4 π π π ∴β= -α,∴α+β= ,∴tan(α+β)=tan =1. 4 4 4 α 1+tan 2 4 9.(2010· 全国新课标理,9)若 cosα=- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 [答案] A 4 [解析] ∵cosα=- 且 α 是第三象限的角, 5 3 ∴sinα=- , 5 α α cos +sin 2 2 α α α α cos 1+tan cos +sin 2 2 2 2 ∴ = = α α α α α 1-tan cos -sin cos -sin 2 2 2 2 2 α cos 2 1 B. 2 C .2 D.-2 B.1 C. 3 D.不存在 )

)

?cosα+sinα?2 2? ? 2 = α α ?cos -sin ??cosα+sinα? 2 ?? 2 2? ? 2
3 1- 5 1+sinα 1+sinα 1 = = = =- ,故选 A. cosα 4 2 2α 2α cos -sin - 2 2 5 α α α [点评] 本题解题思路广阔,由 cosα 可求 sinα,也可求 sin 及 cos ,从而求出 tan .也 2 2 2 π α? 可以利用和角公式将待求式变形为 tan? ?4+2?,再用诱导公式和二倍角公式等等.

A+B 10.(2011· 浙江五校联考)在△ABC 中,已知 tan =sinC,给出以下四个论断: 2 ① tanA =1; tanB

②1<sinA+sinB≤ 2; ③sin2A+cos2B=1; ④cos2A+cos2B=sin2C. 其中正确的是( A.①③ [答案] D A+B π-C C [解析] 因为在三角形中 A+B=π-C,所以 tan =tan =cot = 2 2 2 C C =2sin cos , 2 2 C cos 2 A+B C C C C C 1 ∵tan =sinC,∴ =2sin cos .因为 0<C<π,∴cos ≠0,sin >0,故 sin2 = , 2 C 2 2 2 2 2 2 sin 2 C 2 π π ∴sin = ,∴C= ,A+B= , 2 2 2 2 π? ∴sinA+sinB=sinA+cosA= 2sin? ?A+4?∈(1, 2],排除 A、C; cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C,故选 D. 二、填空题 π? 1 ? 7π? 1 11.(2010· 哈三中)已知 tan? ?α+6?=2,tan?β- 6 ?=3,则 tan(α+β)=________. [答案] 1 [解析] tan(α+β)=tan(α+β-π) 1 1 + 2 3 π 7π =tan[(α+ )+(β- )]= =1. 6 6 1 1 1- × 2 3 12. (2010· 重庆南开中学)已知等差数列{an}满足: a1005= [答案] - 3 [解析] 由等差数列的性质知,tan(a1+a2009) π? 8π =tan(2a1005)=tan =tan? ?-3?=- 3. 3 4π , 则 tan(a1+a2009)=________. 3 C cos 2 ,而 sinC C sin 2 ) B.②③ C.①④ D.②④

3 π 1 π 13. (2010· 山师大附中模考)若 tan(x+y)= , tan(y- )= , 则 tan(x+ )的值是________. 5 3 3 3 [答案] 2 9

π π [解析] tan(x+ )=tan[(x+y)-(y- )] 3 3 π 3 1 tan?x+y?-tan?y- ? - 3 5 3 2 = = = . π 3 1 9 1+tan?x+y?· tan?y- ? 1+ × 3 5 3 π π 14.(2010· 上海奉贤区调研)已知 α,β∈(0, ),且 tanα· tanβ<1,比较 α+β 与 的大小, 2 2 用“<”连接起来为________. π [答案] α+β< 2 π 0, ?, [解析] ∵tanα· tanβ<1,α,β∈? ? 2? ∴ sinα· sinβ <1,∴sinα· sinβ<cosα· cosβ, cosα· cosβ

∴cos(α+β)>0, π ∵α+β∈(0,π),∴α+β< . 2 三、解答题 15.(2010· 福建福州市)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a- c)cosB=bcosC. (1)求角 B 的大小; → → (2)若|BA-BC|=2,求△ABC 的面积的最大值. [解析] (1)在△ABC 中,∵(2a-c)cosB=bcosC, 根据正弦定理有(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(C+B),即 2sinAcosB=sinA. 1 ∵sinA>0,∴cosB= , 2 π 又∵B∈(0,π),∴B= . 3 → → → (2)∵|BA-BC|=2,∴|CA|=2,即 b=2. 根据余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,有 4=a2+c2-ac. ∵a2+c2≥2ac(当且仅当 a=c 时取“=”号), ∴4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,

1 3 即 ac≤4,∴△ABC 的面积 S= acsinB= ac≤ 3, 2 4 即当 a=b=c=2 时,△ABC 的面积的最大值为 3. π? π? 2 ? 16.(文)(2010· 北京延庆县模考)已知函数 f(x)=sin? ?2x+6?+sin?2x-6?-2cos x. (1)求函数 f(x)的值域及最小正周期; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. [解析] (1)f(x)= =2? 3 1 3 1 sin2x+ cos2x+ sin2x- cos2x-(cos2x+1) 2 2 2 2

3 1 ?-1 ? 2 sin2x-2cos2x?

π? =2sin? ?2x-6?-1. π? 由-1≤sin? ?2x-6?≤1 得, π? -3≤2sin? ?2x-6?-1≤1. 可知函数 f(x)的值域为[-3,1]. 且函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)解得, 2 6 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 3 π π 所以 y=f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 → → (理)(2010· 辽宁锦州)已知△ABC 中, |AC|=1, ∠ABC=120° , ∠BAC=θ, 记 f(θ)=AB· BC, (1)求 f(θ)关于 θ 的表达式; (2)求 f(θ)的值域. [解析] (1)由正弦定理有: |BC| 1 |AB| = = , sinθ sin120° sin?60° -θ? ∴|BC|= sin?60° -θ? sinθ ,|AB|= sin120° sin120°

→ → → → ∴f(θ)=AB· BC=|AB|· |BC|cos(180° -∠ABC) 2 = sinθ· sin(60° -θ) 3 2 3 1 = ( cosθ- sinθ)sinθ 3 2 2

1 π 1 π = sin(2θ+ )- (0<θ< ) 3 6 6 3 π π π 5π (2)∵0<θ< ,∴ <2θ+ < , 3 6 6 6 1 π ∴ <sin(2θ+ )≤1, 2 6 1 1 ∴0<f(θ)≤ ,即 f(θ)的值域为(0, ]. 6 6 17.(文)(2010· 湖北黄冈)如图,平面四边形 ABCD 中,AB=13,三角形 ABC 的面积为 3 → → S△ABC=25,cos∠DAC= ,AB· AC=120. 5

(1)求 BC 的长; (2)cos∠BAD 的值. [解析] (1)由 S△ABC=25 得, 1→ → |AC||AB|· sin∠CAB=25 2 → → → → 由AC· AB=120 得,|AC|· |AB|· cos∠CAB=120,以上两式相除得, 5 5 12 tan∠CAB= ,∴sin∠CAB= ,cos∠CAB= , 12 13 13 → → ∴|AC||AB|=130, → → 又∵|AB|=13,∴|AC|=10, 在△ABC 中,由余弦定理得, 12 → |BC|2=102+132-2×10×13× =29, 13 → ∴|BC|= 29,即 BC= 29 3 4 (2)∵cos∠DAC= ,∴sin∠DAC= , 5 5 ∴cos∠BAD=cos(∠BAC+∠CAD) =cos∠BAC· cos∠CAD-sin∠BACsin∠CAD = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65

x x (理)(2010· 江西新余一中)已知函数 f(x)=sin +2cos2 . 2 4

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若(2a-c)cosB=bcosC,求 f(A) 的取值范围. x x 2cos2 -1?+1 [解析] (1)f(x)=sin +? 4 ? 2 ? x π? x x =sin +cos +1= 2sin? ?2+4?+1 2 2 ∴f(x)的最小正周期为 T=4π. (2)由(2a-c)cosB=bcosC 得, (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA, 1 π 2π ∵sinA≠0,∴ocsB= ,∴B= ,∴A+C= , 2 3 3 A π? 2π 又∵f(A)= 2sin? ? 2 +4?+1,∴0<A< 3 , π A π 7π ∴ < + < , 4 2 4 12 A π? π 7π 2 + 又∵sin <sin ,∴ <sin? 2 4?≤1, ? 4 12 2 ∴2<f(A)≤ 2+1.

第4章
一、选择题

第5节

π π 1.(文)(2010· 山师大附中模考)设函数 f(x)=cos2(x+ )-sin2(x+ ),x∈R,则函数 f(x) 4 4 是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 [答案] A π 2π [解析] f(x)=cos(2x+ )=-sin2x 为奇函数,周期 T= =π. 2 2 (理)(2010· 辽宁锦州)函数 y=sin2x+sinxcosx 的最小正周期 T=( )

A.2π [答案] B

B.π

π C. 2

π D. 3

[解析] y=sin2x+sinxcosx=

1-cos2x 1 + sin2x 2 2

π? 1 2 = + sin? ?2x-4?,∴最小正周期 T=π. 2 2 2.(2010· 重庆一中)设向量 a=(cosα, 1 A.- 4 [答案] B [解析] ∵|a|2=cos2α+? 1 3 2?2 =cos2α+ = , 2 4 2 ? ? 1 B.- 2 2 3 )的模为 ,则 cos2α=( 2 2 D. 3 2 )

1 C. 2

1 1 ∴cos2α= ,∴cos2α=2cos2α-1=- . 4 2 α 3.已知 tan =3,则 cosα=( 2 4 A. 5 [答案] B α α [解析] cosα=cos2 -sin2 = 2 2 α α cos2 -sin2 2 2 α α cos2 +sin2 2 2 4 B.- 5 ) 4 C. 15 3 D.- 5

α 1-tan2 2 1-9 4 = = =- ,故选 B. α 5 1 + 9 1+tan2 2 C 4.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 ,则△ABC 是( 2 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角的三角形 [答案] B C [解析] ∵sinAsinB=cos2 , 2 1 1 ∴ [cos(A-B)-cos(A+B)]= (1+cosC), 2 2 ∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC, )

∴cos(A-B)=1, ∵-π<A-B<π,∴A-B=0, ∴△ABC 为等腰三角形. π 5.(2010· 绵阳市诊断)函数 f(x)=2sin(x- )+|cosx|的最小正周期为( 2 π A. 2 [答案] C [解析] f(x)=-2cosx+|cosx|
?-cosx cosx≥0 ? =? ,画出图象可知周期为 2π. ? ?-3cosx cosx<0

)

B.π

C.2π

D.4π

1 6.(2010· 揭阳市模考)若 sinx+cosx= ,x∈(0,π),则 sinx-cosx 的值为( 3 A.± 17 3 B.- 17 3 1 C. 3 D. 17 3

)

[答案] D π ? 1 1 8 [解析] 由 sinx+cosx= 两边平方得, 1+2sinxcosx= , ∴sin2x=- <0, ∴x∈? ?2,π?, 3 9 9 17 ∴(sinx-cosx)2=1-sin2x= 且 sinx>cosx, 9 ∴sinx-cosx= 17 ,故选 D. 3 )

7.(文)在锐角△ABC 中,设 x=sinA· sinB,y=cosA· cosB,则 x,y 的大小关系是( A.x≤y C.x≥y [答案] D B.x<y D.x>y

π [解析] ∵π>A+B> ,∴cos(A+B)<0,即 cosAcosB-sinAsinB<0,∴x>y,故应选 2 D. (理)(2010· 皖南八校)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,如果 cos(2B+C) +2sinAsinB<0,那么 a、b、c 满足的关系是( A.2ab>c2 C.2bc>a2 [答案] B [解析] ∵cos(2B+C)+2sinAsinB<0,且 A+B+C=π, ∴cos(π-A+B)+2sinA· sinB<0, ∴cos(π-A)cosB-sin(π-A)sinB+2sinAsinB<0, )

B.a2+b2<c2 D.b2+c2<a2

∴-cosAcosB+sinAsinB<0,即 cos(A+B)>0, π π ∴0<A+B< ,∴C> , 2 2 a2+b2-c2 由余弦定理得,cosC= <0, 2ab ∴a2+b2-c2<0,故应选 B. 8.(2010· 吉林省调研)已知 a=(cosx,sinx),b=(sinx,cosx),记 f(x)=a· b,要得到函数 y=sin4x-cos4x 的图象,只需将函数 y=f(x)的图象( π A.向左平移 个单位长度 2 π B.向左平移 个单位长度 4 π C.向右平移 个单位长度 2 π D.向右平移 个单位长度 4 [答案] D [解析] y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos2x, π? π? π ? 将 f(x) = a· b = 2sinxcosx = sin2x ,向右平移 个单位得, sin2 ? ?x-4? = sin ?2x-2? =- 4 π ? sin? ?2-2x?=-cos2x,故选 D. π ? 9.(2010· 浙江金华十校模考)已知向量 a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈? ?4,π?, 2 若 a· b= , 5 π? 则 tan? ?α+4?的值为( 1 A. 3 [答案] C 2 3 [解析] a· b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα= ,∴sinα= , 5 5 π 4 3 ∵ <α<π,∴cosα=- ,∴tanα=- , 4 5 4 π? 1+tanα 1 ∴tan? ?α+4?=1-tanα=7. 5π 7π 10.(2010· 湖北黄冈模拟)若 ≤α≤ ,则 1+sinα+ 1-sinα等于( 2 2 α A.-2cos 2 α B.2cos 2 ) 2 B. 7 ) 1 C. 7 2 D. 3 )

α C.-2sin 2 [答案] C 5π 7π 5π α 7π [解析] ∵ ≤α≤ ,∴ ≤ ≤ . 2 2 4 2 4 ∴ 1+sinα+ 1-sinα = = α α 1+2sin cos + 2 2 α α ?sin +cos ?2+ 2 2 α α 1-2sin cos 2 2 α α ?sin -cos ?2 2 2

D.2sin

α 2

α α α α =-(sin +cos )-(sin -cos ) 2 2 2 2 α =-2sin . 2 二、填空题 π ? 3 11.(2010· 广东罗湖区调研)若 sin? ?2+θ?=5,则 cos2θ=________. 7 [答案] - 25 π ? 3 3 [解析] ∵sin? ?2+θ?=5,∴cosθ=5, 7 ∴cos2θ=2cos2θ-1=- . 25 tanx-tan3x 12. (2010· 江苏无锡市调研)函数 y= 的最大值与最小值的积是________. 1+2tan2x+tan4x 1 [答案] - 16 tanx-tan3x tanx?1-tan2x? [解析] y= 2 4 = 1+2tan x+tan x ?1+tan2x?2 =
2 cos2x-sin2x tanx 1-tan x sinxcosx · = + 1+tan2x 1+tan2x cos2x+sin2x cos2x+sin2x

1 1 = sin2x· cos2x= sin4x, 2 4 所以最大与最小值的积为- 1 . 16

13. (2010· 浙江杭州质检)函数 y=sin(x+10° )+cos(x+40° ), (x∈R)的最大值是________. [答案] 1 [ 解析 ] y = sinxcos10° + cosxsin10° + cosxcos40° - sinxsin40° = (cos10° - sin40° )sinx +

(sin10° +cos40° )cosx,其最大值为 ?cos10° -sin40° ?2+?sin10° +cos40° ?2

= 2+2?sin10° cos40° -cos10° sin40° ? = 2+2sin?-30° ?=1.

14.(文)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB 于点 D,且 AD=3DB, θ 设∠COD=θ,则 tan2 =________. 2

[答案]

1 3

3r r 3 [解析] 设 OC=r,∵AD=3DB,且 AD+DB=2r,∴AD= ,∴OD= ,∴CD= r, 2 2 2 ∴tanθ= CD = 3, OD 2tan θ 2

θ 3 ∵tanθ= ,∴tan = (负值舍去), θ 2 3 1-tan2 2 θ 1 ∴tan2 = . 2 3 3tan12° -3 (理) =________. ?4cos212° -2?sin12° [答案] -4 3 [解析] = 3tan12° -3 3?sin12° - 3cos12° ? = sin12° cos12° ?4cos 12° -2?sin12° 2cos24°
2

2 3sin?12° -60° ? =-4 3. 1 sin48° 2

三、解答题 15.(文)(2010· 北京理)已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. π (1)求 f( )的值; 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值. π 2π π π 3 9 [解析] (1)f( )=2cos +sin2 -4cos =-1+ -2=- . 3 3 3 3 4 4 (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx =3cos2x-4cosx-1 2 7 =3(cosx- )2- ,x∈R 3 3

2 因为 cosx∈[-1,1],所以当 cosx=-1 时,f(x)取最大值 6;当 cosx= 时,f(x)取最小值 3 7 - . 3 (理)(2010· 广东罗湖区调研)已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设 f(x)= a· b. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? (2)当 x∈? ?0,2?时,求函数 f(x)的最大值及最小值. [解析] (1)f(x)=a· b=(cosx+sinx)· (cosx-sinx)+sinx· 2cosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx =cos2x+sin2x= 2? π? = 2sin? ?2x+4?. ∴f(x)的最小正周期 T=π. π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ , 2 4 4 4 π π π π 5π π ∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2;当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最小值 4 2 8 4 4 2 -1. π 2x+ ?+sin2x. 16.(文)设函数 f(x)=cos? 3? ? (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 C 1 (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,若 cosB= ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA 的 3 2 4 值. π? π π 1-cos2x 1 3 2 [解析] (1)f(x)=cos? ?2x+3?+sin x=cos2xcos3-sin2xsin3+ 2 =2- 2 sin2x, 1+ 3 所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期为 π. 2 C 1 3 1 3 (2)f( )= - sinC=- ,所以 sinC= , 2 2 2 4 2 π 因为 C 为锐角,所以 C= , 3 1 2 2 在△ABC 中,cosB= ,所以 sinB= , 3 3 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = 2 2 1 1 3 2 2+ 3 × + × = . 3 2 3 2 6 2 2 ? ? 2 cos2x+ 2 sin2x?

→ → (理)已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角,OM=(sinB+cosB,cosC),ON=(sinC,sinB 1 → → -cosB),OM· ON=- . 5 (1)求 tan2A 的值; A 2cos2 -3sinA-1 2 (2)求 的值. π? ? 2sin?A+4? → → [解析] (1)∵OM· ON=(sinB+cosB)sinC+ 1 cosC(sinB-cosB)=sin(B+C)-cos(B+C)=- , 5 1 ∴sinA+cosA=- ① 5 24 两边平方并整理得:2sinAcosA=- , 25 π ? 24 ∵- <0,∴A∈? ?2,π?, 25 7 ∴sinA-cosA= 1-2sinAcosA= ② 5 3 4 3 联立①②得:sinA= ,cosA=- ,∴tanA=- , 5 5 4 3 - 2 2tanA 24 ∴tan2A= = =- . 9 7 1-tan2A 1- 16 3 (2)∵tanA=- , 4 A 2cos2 -3sinA-1 2 cosA-3sinA 1-3tanA ∴ = = π cosA+sinA 1+tanA A+ ? 2sin? ? 4? 3? 1-3×? ?-4? 3? 1+? ?-4?



=13.

17.(文)(2010· 厦门三中阶段训练)若函数 f(x)=sin2ax- 3sinaxcosax(a>0)的图象与直线 π y=m 相切,相邻切点之间的距离为 . 2 (1)求 m 和 a 的值; π? (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中心,且 x0∈? ?0,2?,求点 A 的坐标. [解析] (1)f(x)=sin2ax- 3sinaxcosax



1-cos2ax π? 1 3 - sin2ax=-sin? ?2ax+6?+2, 2 2

由题意知,m 为 f(x)的最大值或最小值, 1 3 所以 m=- 或 m= , 2 2 π 由题设知,函数 f(x)的周期为 ,∴a=2, 2 1 3 所以 m=- 或 m= ,a=2. 2 2 π 1 4x+ ?+ , (2)∵f(x)=-sin? 6? 2 ? π π 4x+ ?=0,得 4x+ =kπ(k∈Z), ∴令 sin? 6? ? 6 kπ π ∴x= - (k∈Z), 4 24 kπ π π 由 0≤ - ≤ (k∈Z),得 k=1 或 k=2, 4 24 2 5π 1? ?11π 1? 因此点 A 的坐标为? ?24,2?或? 24 ,2?. (理)(2010· 广东佛山顺德区检测)设向量 a=(sinx,1),b=(1,cosx),记 f(x)=a· b,f ′(x) 是 f(x)的导函数. (1)求函数 F(x)=f(x)f ′(x)+f 2(x)的最大值和最小正周期; 1+2sin2x (2)若 f(x)=2f ′(x),求 2 的值. cos x-sinxcosx [解析] (1)f(x)=sinx+cosx, ∴f ′(x)=cosx-sinx, ∴F(x)=f(x)f ′(x)+f 2(x) =cos2x-sin2x+1+2sinxcosx π? =cos2x+sin2x+1=1+ 2sin? ?2x+4?, π π π ∴当 2x+ =2kπ+ ,即 x=kπ+ (k∈Z)时,F(x)max=1+ 2. 4 2 8 2π 最小正周期为 T= =π. 2 (2)∵f(x)=2f ′(x),∴sinx+cosx=2cosx-2sinx, 1 ∴cosx=3sinx,∴tanx= , 3 ∴ 1+2sin2x 3sin2x+cos2x 3tan2x+1 = = =2. cos2x-sinxcosx cos2x-sinxcosx 1-tanx

第4章
一、选择题

第6节

1.(2010· 聊城市、银川模拟)在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则角 C 等于( π A. 6 5π C. 6 [答案] B [解析] 由正弦定理得 a2-c2=(a-b)· b, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cosC= = , 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C= . 3 2.(文)(2010· 泰安模拟)在△ABC 中,若 A=60° ,BC=4 3,AC=4 2,则角 B 的大小 为( ) A.30° C.135° [答案] B [解析] ∵AC· sin60° =4 2× 4 2 4 3 = , sinB sin60° ∴sinB= 2 ,∵4 2<4 3,∴B<A,∴B=45° . 2 ) 3 =2 6<4 2<4 3,故△ABC 只有一解,由正弦定理得, 2 B.45° D.45° 或 135° π B. 3 2π D. 3 )

π (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,A= ,a= 3,b=1,则 c=( 3 A.1 C. 3-1 [答案] B [解析] ∵bsinA= 3 <1< 3,∴本题只有一解. 2 B.2 D. 3

π ∵a= 3,b=1,A= , 3 b2+c2-a2 1+c2-3 1 ∴根据余弦定理,cosA= = = , 2bc 2c 2

解之得,c=2 或-1, ∵c>0,∴c=2.故选 B. 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b=2 2,且三角形有 两解,则角 A 的取值范围是( π 0, ? A.? ? 4? π 3π? C.? ? 4, 4 ? [答案] A [解析] 由条件知 bsinA<a,即 2 2sinA<2,∴sinA< π ∵a<b,∴A<B,∴A 为锐角,∴0<A< . 4 [点评] 如图,AC=2 2,以 C 为圆心 2 为半径作⊙C,则⊙C 上任一点(⊙C 与直线 AC 交点除外)可为点 B 构成△ABC,当 AB 与 π π ⊙C 相切时,AB=2,∠BAC= ,当 AB 与⊙C 相交时,∠BAC< , 4 4 π 因为三角形有两解,所以直线 AB 与⊙C 应相交,∴0<∠BAC< . 4 4.(2010· 湖南理)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c.若∠C=120° ,c = 2a,则( A.a>b C.a=b [答案] A [解析] ∵∠C=120° ,c= 2a,c2=a2+b2-2abcosC ∴a2-b2=ab, 又∵a>0,b>0,∴a-b= ab >0,所以 a>b. a+b ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定 2 , 2 ) π π? B.? ?4,2? π π? D.? ?4,3?

5.(文)(2010· 天津理)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a2-b2= 3 bc,sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° C.120° [答案] A b2+c2-a2 [解析] 由余弦定理得:cosA= , 2bc ∵sinC=2 3sinB,∴c=2 3b,∴c2=2 3bc, ) B.60° D.150°

又∵b2-a2=- 3bc,∴cosA=

3 , 2

又 A∈(0° ,180° ),∴A=30° ,故选 A. (理)(2010· 山东济南)在△ABC 中,角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB = 3ac,则角 B 的值为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 [答案] D [ 解析 ] 由 (a2 + c2 - b2)tanB = 3 ac 得, a2+c2-b2 · tanB = 3 ,再由余弦定理 cosB= ac ) π B. 3 π 2π D. 或 3 3

a2+c2-b2 3 π 2π 得,2cosB· tanB= 3,即 sinB= ,∴角 B 的值为 或 ,故应选 D. 2ac 2 3 3 6.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B =30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 [答案] C [解析] 1 1 acsinB= ,∴ac=2, 2 2 ) B.3+ 3 D.2+ 3

又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 3+ 3 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= . 3 7.(2010· 厦门市检测)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、 B、C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC 等于( A. 2 C. 3 2 B. 3 D.2 )

[答案] C [解析] ∵A、B、C 成等差数列,∴B=60° , b a asinB = ,∴sinA= = sinB sinA b 1× 3 2 1 = , 2 3



∴A=30° 或 A=150° (舍去),∴C=90° , 1 3 ∴S△ABC= ab= . 2 2

B a+c 8.(2010· 山师大附中模考)在△ABC 中,cos2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对 2 2c 边),则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等腰三角形 [答案] A 1+cosB sinA+sinC B a+c [解析] ∵cos2 = ,∴ = , 2 2c 2 2sinC ∴sinCcosB=sinA, ∴sinCcosB=sin(B+C),∴sinBcosC=0, π ∵0<B,C<π,∴sinB≠0,cosC=0,∴C= ,故选 A. 2 1 3 10 9.(2010· 四川双流县质检)在△ABC 中,tanA= ,cosB= ,若最长边为 1,则最短 2 10 边的长为( 4 5 A. 5 2 5 C. 5 [答案] D [解析] 由 tanA>0,cosB>0 知 A、B 均为锐角, 1 π 3 10 3 ∵tanA= <1,∴0<A< ,cosB= > , 2 4 10 2 π ∴0<B< ,∴C 为最大角, 6 3 10 1 由 cosB= 知,tanB= ,∴B<A,∴b 为最短边, 10 3 由条件知,sinA= 1 2 1 ,cosA= ,sinB= , 5 5 10 ) 3 5 B. 5 D. 5 5 ) B.正三角形 D.等腰三角形或直角三角形

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB = 1 3 2 1 2 × + × = , 5 10 5 10 2 b c b 1 5 = 知, = ,∴b= . sinB sinC 1 5 2 10 2

由正弦定理

→ → → → ? AB AC ? → AC· BC → → → + 10.(2010· 山东烟台)已知非零向量AB,AC和BC满足? · BC=0,且 = ? → → → → ?|AB| |AC|? |AC|· |BC| 2 ,则△ABC 为( 2 )

A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 [答案] D → → AC· BC 2 [解析] ∵ =cos∠ACB= , 2 → → |AC|· |BC| ∴∠ACB=45° , → → ? AB AC ? → + 又∵? · BC=0, → →? ?|AB| |AC|? ∴∠A=90° ,∴△ABC 为等腰直角三角形,故选 D. 二、填空题 11.(文)判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________. ①a=1,b= 2,B=45° ; ②a= 5,b= 15,A=30° ; ③a=6,b=20,A=30° ; ④a=5,B=60° ,C=45° . [答案] ①④ [解析] ①一解,asinB= ②两解,b· sinA= 2 <1< 2,有一解. 2

15 < 5< 15,有两解; 2

③无解,b· sinA=10>6,无解. ④一解,已知两角和一边,三角形唯一确定. (理)在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2,则边长 c 的取值范围是________. [答案] 3<c< 5

[解析] 边 c 最长时: a2+b2-c2 1+4-c2 cosC= = >0, 2ab 2×1×2 ∴c2<5.∴0<c< 5. a2+c2-b2 1+c2-4 边 b 最长时:cosB= = >0, 2ac 2c ∴c2>3.∴c> 3. 综上, 3<c< 5. 12.(2010· 上海模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶点

sinA+sinC x2 y2 B 在椭圆 + =1 上,则 的值为________. 4 3 sinB [答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 = =2. sinB AC 13.(文)(2010· 沈阳模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 b2+c2= → → a2+bc,且AC· AB=4,则△ABC 的面积等于________. [答案] 2 3 b2+c2-a2 1 [解析] ∵b2+c2=a2+bc,∴cosA= = , 2bc 2 → → ∵AC· AB=4,∴b· c· cosA=4,∴bc=8, 1 1 ∴S= AC· ABsinA= ×bc· sinA=2 3. 2 2 (理)(2010· 北京延庆县模考)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a=c 4 3 =2b 且 sinB= ,当△ABC 的面积为 时,b=________. 5 2 [答案] 2 [解析] ∵a+c=2b,∴a2+c2+2ac=4b2(1) 1 2 3 15 ∵S△ABC= acsinB= ac= ,∴ac= (2) 2 5 2 4 4 3 ∵sinB= ,∴cosB= (由 a+c=2b 知 B 为锐角), 5 5 ∴ a2+c2-b2 3 9 = ,∴a2+c2= +b2(3) 2ac 5 2

由(1)、(2)、(3)解得 b=2. sinA-sinB 2sinA-sinC 14.(2010· 合肥市质检)在△ABC 中, = ,则角 B=________. sin?A+B? sinA+sinB [答案] π 4

[解析] 依题意得 sin2A-sin2B=sin(A+B)( 2sinA-sinC)= 2sinAsinC-sin2C, 由正弦定理知:a2-b2= 2ac-c2, ∴a2+c2-b2= 2ac, a2+c2-b2 2 由余弦定理知:cosB= = , 2ac 2 π ∴B= . 4 三、解答题

A 15. (文)(2010· 广州六中)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 且满足 cos 2 2 5 → → = ,AB· AC=3. 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. A 2 5 [解析] (1)∵cos = , 2 5 A 3 4 ∴cosA=2cos2 -1= ,sinA= . 2 5 5 → → 又由AB· AC=3 得,bccosA=3,∴bc=5, 1 ∴S△ABC= bcsinA=2. 2 (2)∵bc=5,又 b+c=6,∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=20,∴a=2 5. (理)(2010· 山东滨州)已知 A、 B、 C 分别为△ABC 的三边 a、 b、 c 所对的角, 向量 m=(sinA, sinB),n=(cosB,cosA),且 m· n=sin2C. (1)求角 C 的大小; → → → (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且CA· (AB-AC)=18,求边 c 的长. [解析] (1)m· n=sinA· cosB+sinB· cosA=sin(A+B). 在△ABC 中,由于 sin(A+B)=sinC. ∴m· n=sinC. 又∵m· n=sin2C, ∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC. 1 π 又 sinC≠0,所以 cosC= .而 0<C<π,因此 C= . 2 3 (2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列得, 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得,2c=a+b. → → → → → ∵CA· (AB-AC)=18,∴CA· CB=18. 1 即 abcosC=18,由(1)知,cosC= ,所以 ab=36. 2 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab. ∴c2=4c2-3×36,∴c2=36. ∴c=6.

16.(文)在△ABC 中,已知 AB= 3,BC=2. (1)若 cosB=- 3 ,求 sinC 的值; 6

(2)求角 C 的取值范围. [解析] (1)在△ABC 中,由余弦定理知, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB =3+4-2×2 3×?-

?

3? =9. 6?

所以 AC=3. 又因为 sinB= 1-cos2B= AB AC 由正弦定理得 = . sinC sinB AB 11 所以 sinC= sinB= . AC 6 (2)在△ABC 中,由余弦定理得, AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC, ∴3=AC2+4-4AC· cosC, 即 AC2-4cosC· AC+1=0. 由题意知,关于 AC 的一元二次方程应该有解, 1 1 令 Δ=(4cosC)2-4≥0,得 cosC≥ ,或 cosC≤- (舍去,因为 AB<BC) 2 2 π π 0, ?. 所以,0<C≤ ,即角 C 的取值范围是? ? 3? 3 [点评] 1.本题也可用图示法,如图:A 为⊙B 上不在直线 BC 上的任 π? π 一点, 由于 r=AB= 3, 故当 CA 与⊙B 相切时∠C 最大为 , 故 C∈? ?0,3?. 3 2.高考命题大题的第一题一般比较容易入手,大多在三角函数的图 象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制,这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方 法的落实. (理)(2010· 东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分 1 别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围. 1 [解析] (1)由 acosC+ c=b 得 2 1-?-

?

33 3?2 = , 6 6?

1 sinAcosC+ sinC=sinB 2 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 1 ∴ sinC=cosAsinC, 2 1 ∵sinC≠0,∴cosA= , 2 π 又∵0<A<π,∴A= . 3 (2)解法 1:由正弦定理得: asinB 2 2 b= = sinB,c= sinC sinA 3 3 l=a+b+c=1+ =1+ 2 (sinB+sinC) 3

2 (sinB+sin(A+B)) 3 3 1 ?=1+2sin?B+π? ? 6? ? 2 sinB+2cosB?

=1+2?

2π? π π ?π 5π? ∵A= ,∴B∈? ?0, 3 ?,∴B+6∈?6, 6 ?, 3 π? ?1 ? ∴sin? ?B+6?∈?2,1?. 故△ABC 的周长 l 的取值范围是(2,3]. 解法 2:周长 l=a+b+c=1+b+c 由(1)及余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, ∴b2+c2=bc+1, ∴(b+c)2=1+3bc≤1+3? b+c?2 ? 2 ? ,∴b+c≤2,

又 b+c>a=1,∴l=a+b+c∈(2,3], 即△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 17.(文)△ABC 中内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m=(2sinB,- 3),n= B (cos2B,2cos2 -1)且 m∥n. 2 (1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. [分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数, 利用三角恒等变换 知识解决;(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决. [解析] (1)∵m∥n,

2B ? ∴2sinB? ?2cos 2 -1?=- 3cos2B

∴sin2B=- 3cos2B,即 tan2B=- 3 2π π 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B= ,∴B= . 3 3 π (2)∵B= ,b=2, 3 a2+c2-b2 ∴由余弦定理 cosB= 得, 2ac a2+c2-ac-4=0 又∵a2+c2≥2ac,∴ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 S△ABC= acsinB= ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立), 2 4 [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起,题目新疑精巧,难度也 不大,即符合在知识“交汇点”处构题,又能加强对双基的考查,特别是向量的坐标表示及 运算, 大大简化了向量的关系的运算, 该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算 后转化为三角函数问题,然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解. (理)(2010· 山师大附中模考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 sinB 5 = ,且 a、b、c 成等比数列. 13 (1)求 1 1 + 的值; tanA tanC

(2)若 accosB=12,求 a+c 的值. [解析] (1)依题意,b2=ac 5 25 由正弦定理及 sinB= 得,sinAsinC=sin2B= . 13 169 1 1 cosA cosC sin?A+C? sinB 13 + = + = = = . tanA tanC sinA sinC sinAsinC sinAsinC 5 (2)由 accosB=12 知 cosB>0, 5 12 ∵sinB= ,∴cosB= (b 不是最大边,舍去负值) 13 13 12 从而,b2=ac= =13. cosB 由余弦定理得,b2=(a+c)2-2ac-2accosB. 12 1+ ?. ∴13=(a+c)2-2×13×? ? 13? 解得:a+c=3 7.

第4章

第7节

一、选择题 1.(2010· 广东六校)两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm,灯塔 A 在观察 站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( )km.( A.a C.2a [答案] D [解析] 依题意得∠ACB=120° . 由余弦定理 AC2+BC2-AB2 cos120° = 2AC· BC ∴AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° 1? 2 =a2+a2-2a2? ?-2?=3a ∴AB= 3a.故选 D. 2.(文)(2010· 广东佛山顺德区质检)在△ABC 中,“sinA> A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 在△ABC 中,若 sinA> 5π 5π π 1 = 时,sinA=sin =sin = . 6 6 6 2 (理)在△ABC 中, 角 A、B 所对的边长为 a、b,则“a=b”是“acosA=bcosB”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 当 a=b 时,A=B, ∴acosA=bcosB; 当 acosA=bcosB 时, 由正弦定理得 sinA· cosA=sinB· cosB, ∴sin2A=sin2B, ) 3 π π 3 ,则∠A> ,反之∠A> 时,不一定有 sinA> ,如 A 2 3 3 2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3 π ”是“∠A> ”的( 2 3 ) ) B. 2a D. 3a

∴2A=2B 或 2A=π-2B, π ∴A=B 或 A+B= . 2 则 a=b 或 a2+b2=c2. 所以“a=b”?“acosA=bcosB”, “acosA=bcosB”?/ “a=b”,故选 A. 3.已知 A、B 两地的距离为 10km,B、C 两地的距离为 20km,观测得∠ABC=120° , 则 AC 两地的距离为( A.10km C.10 5km [答案] D [解析] 如图,△ABC 中,AB=10,BC=20,∠B=120° ,由余弦 定理得, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos120° 1 - ?=700, =102+202-2×10×20×? ? 2? ∴AC=10 7km.∴选 D. A c-b 4.(文)在△ABC 中,sin2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对应边),则△ABC 的 2 2c 形状为( ) B.直角三角形 D.等腰三角形 ) B. 3km D.10 7km

A.正三角形 C.等腰直角三角形 [答案] B

A 1-cosA c-b b [解析] sin2 = = ,∴cosA= , 2 2 2c c ∴ b2+c2-a2 b = ,∴a2+b2=c2,故选 B. 2bc c

(理)(2010· 河北邯郸)在△ABC 中,sin2A+cos2B=1,则 cosA+cosB+cosC 的最大值为 ( ) 5 A. 4 C.1 [答案] D [解析] ∵sin2A+cos2B=1,∴sin2A=sin2B, ∵0<A,B<π,∴sinA=sinB,∴A=B. 故 cosA+cosB+cosC=2cosA-cos2A B. 2 3 D. 2

1 3 =-2cos2A+2cosA+1=-2(cosA- )2+ , 2 2 π 1 3 ∵0<A< ,∴0<cosA<1,∴cosA= 时,取得最大值 . 2 2 2 5.(文)(2010· 广东汕头一中)已知△ABC 的外接圆半径为 R,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sinB,那么角 C 的大小为( π A. 3 π C. 4 [答案] C [解析] 由正弦定理得,a2-c2= 2ab-b2, a2+b2-c2 2 ∴cosC= = , 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C= . 4 1 (理)已知 a、b、c 是△ABC 三内角 A、B、C 的对边,且 A 为锐角,若 sin2A-cos2A= , 2 则( ) A.b+c<2a C.b+c=2a [答案] B 1 1 [解析] ∵sin2A-cos2A= ,∴cos2A=- , 2 2 又 A 为锐角,∴A=60° ,∴B+C=120° , b+c sinB+sinC ∴ = = 2a 2sinA 2sin B+C B-C cos 2 2 3 B.b+c≤2a D.b+c≥2a π B. 2 2π D. 3 )

B-C =cos ≤1,∴b+c≤2a. 2 5 3 6. (2010· 北京顺义一中月考)在△ABC 中, 已知 cosA= , sinB= , 则 cosC 的值为( 13 5 16 A. 65 16 56 C. 或 65 65 [答案] A 5 12 3 [解析] ∵cosA= ,∴sinA= > =sinB,∴A>B, 13 13 5 3 4 ∵sinB= ,∴cosB= ,∴cosC=cos[π-(A+B)] 5 5 56 B. 65 16 D.- 65 )

16 =-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= . 65 [点评] 在△ABC 中,有 sinA>sinB?A>B. 7.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45° ,再向塔底方向前进 100m,又测得塔 尖的仰角为 60° ,则此电视塔高约为________m.( A.237 C.247 [答案] A [解析] 如图,∠D=45° ,∠ACB=60° ,DC=100,∠DAC=15° , DC· sin45° ∵AC= , sin15° ∴AB=AC· sin60° = 100· sin45° · sin60° sin15° 100× = 2 3 × 2 2 ≈237.∴选 A. 6- 2 4 B.227 D.257 )

π 8.(文)(2010· 青岛市质检)在△ABC 中,∠B= ,三边长 a、b、c 成等差数列,且 ac=6, 3 则 b 的值是( A. 2 C. 5 [答案] D [解析] 由条件 2b=a+c,∴4b2=a2+c2+2ac=a2+c2+12,
2 2 2 a2+c2-b2 1 a +c -b 又 cosB= ,∴ = , 2ac 2 12

) B. 3 D. 6

∴a2+c2=6+b2, ∴4b2=18+b2,∴b= 6. (理)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a, 则 cosB=( 1 A. 4 C. 2 4 ) 3 B. 4 D. 2 3

[答案] B [解析] ∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,又∵c=2a, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 ∴b2=2a2,∴cosB= = = . 2ac 4 2a×2a

[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则.本题融数列与三角函数于一体, 集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识.同时也体现了数列、三角函数等内容 是高考中的热点问题,复习时要注意强化. 9.如图所示的曲线是以锐角△ABC 的顶点 B、C 为焦点,且经过点 A 的双曲线,若△ csinA 3 ABC 的内角的对边分别为 a、 b、 c, 且 a=4, b=6, = , 则此双曲线的离心率为( a 2 )

3+ 7 A. 2 C.3- 7 [答案] D [解析]

3- 7 B. 2 D.3+ 7

csinA 3 a c c 3 π = ? = = ?sinC= ,因为 C 为锐角,所以 C= , a 2 sinA 2 3 3 sinC 2

1 由余弦定理知 c2=a2+b2-2abcosC=42+62-2×4×6× =28,∴c=2 7 2 a 6 ∴e= = =3+ 7. b-c 6-2 7 x2 y2 10.(文)(2010· 山东济南)设 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 在双曲 a b → → → → 线上,若PF1· PF2=0,|PF1|· |PF2|=2ac(c 为半焦距),则双曲线的离心率为( A. 3-1 2 B. D. 3+1 2 5+1 2 )

C.2 [答案] D [解析]

由条件知,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,根据双曲线定义得:4a2=(|PF1|-|PF2|)2=

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=|F1F2|2-4ac=4c2-4ac, ∴a2+ac-c2=0,∴1+e-e2=0, ∵e>1,∴e= 5+1 . 2

C 1 → → → → → (理)(2010· 安徽安庆联考)如图,在△ABC 中,tan = ,AH· BC=0,AB· (CA+CB)=0, 2 2 经过点 B 以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )

A.

5+1 2

B. 5-1 D. 5-1 2

C. 5+1 [答案] A

→ → [解析] ∵AH· BC=0,∴AH⊥BC, C 2tan 2 C 1 4 AH ∵tan = ,∴tanC= = = , 2 2 C 3 CH 1-tan2 2 → → → 又∵AB· (CA+CB)=0,∴CA=CB, ∴tanB=tan?

?

180° -C? C AH 2 ?=cot 2 =2=BH,

3 设 BH=x,则 AH=2x,∴CH= x,AB= 5x,由条件知双曲线中 2C=AH=2x,2a=AB 2 -BH=( 5-1)x, 5+1 c 2 ∴e= = = ,故选 A. a 2 5-1 二、填空题 11.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A,B 和对岸标记物 C,测得∠CAB =30° ,∠CBA=45° ,AB=120 米,则河的宽度为________米.

[答案] 60( 3-1) [解析] 过 C 点作 CD⊥AB 于 D,设 BD=x,则 CD=x,AD=120-x,又∵∠CAB= 30° ,



x 3 = ,解之得,x=60( 3-1). 120-x 3

12.(2010· 福建三明一中)如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于 灯塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° 方向,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘轮船 之间的距离为________海里.

[答案]

13

[解析] 如图可知,∠ABC=60° ,AB=BC,

∴AC=5,∠BAC=60° ,从而∠DAC=45° , 又 AD=3 2,∴由余弦定理得, CD= AD2+AC2-2AD· AC· cos45° = 13. 13.(文)(2010· 山东日照模拟)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, π 已知 c=2,C= ,△ABC 的面积等于 3,则 a+b=________. 3 [答案] 4 1 π [解析] 由条件知, absin = 3,∴ab=4, 2 3
2 2 π a +b -4 ∵cos = , 3 2ab

∴a2+b2=8,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=8+8=16, ∴a+b=4. 1 (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积 S= (b2+c2-a2),若 a=10, 4 则 bc 的最大值是______. [答案] 100+50 2 1 1 [解析] 由题意得, bcsinA= (b2+c2-a2), 2 4

π ∴a2=b2+c2-2bcsinA,结合余弦定理得,sinA=cosA,∴∠A= ,又根据余弦定理得 4 100 100=b2+c2- 2bc≥2bc- 2bc,∴bc≤ =100+50 2. 2- 2 14.(文)(2010· 山东日照)一船向正北匀速行驶,看见正西方两座相距 10 海里的灯塔恰 好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上,另一 灯塔在南偏西 75° 方向上,则该船的速度是________海里/小时. [答案] 10 v 3 [解析] 设该船的速度为 v 海里/小时,如图由题意知,AD= ,AC= v, 2 2

tan45° +tan30° ∵tan75° = =2+ 3, 1-tan45° tan30° 3v 10+ 2 AB 又 tan75° = ,∴2+ 3= ,解得 v=10. v AD 2 (理)(2010· 合肥质检)如图, 一船在海上自西向东航行, 在 A 处测得某岛 M 的方位角为北 偏东 α 角,前进 mkm 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围 nkm 范围内 (包括边界)有暗礁,现该船继续东行.当 α 与 β 满足条件________时,该船没有触礁危险.

[答案] mcosαcosβ>nsin(α-β) [解析] ∠MAB=90° -α,∠MBC=90° -β=∠MAB+∠AMB=90° -α+∠AMB,∴∠ AMB=α-β, BM m mcosα 由题可知,在△ABM 中,根据正弦定理得 = ,解得 BM= , sin?90° -α? sin?α-β? sin?α-β? mcosαcosβ 要使船没有触礁危险需要 BMsin(90° -β)= >n,所以 α 与 β 满足 mcosαcosβ>nsin(α sin?α-β? -β)时船没有触礁危险. 三、解答题 15. (2010· 河北唐山)在△ABC 中, a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 所对的边, 且 acosB+bcosA =1.

(1)求 c; → → (2)若 tan(A+B)=- 3,求CA· CB的最大值. [解析] (1)由 acosB+bcosA=1 及正弦定理得, csinA csinB · cosB+ · cosA=1, sinC sinC ∴csin(A+B)=sinC, 又 sin(A+B)=sin(π-C)=sinC≠0, ∴c=1. 2π (2)∵tan(A+B)=- 3,0<A+B<π,∴A+B= , 3 π ∴C=π-(A+B)= . 3 由余弦定理得, 12=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab → → → → 1 =2CA· CB,∴CA· CB≤ , 2 当且仅当 a=b=1 时取“=”号. 1 → → 所以,CA· CB的最大值是 . 2 16.(文)(2010· 广东玉湖中学)如图,要计算西湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的 限制,需要在岸上选取 A 和 D 两点,现测得 AD⊥CD,AD=10km,AB=14km,∠BAD= 60° ,∠BCD=135° ,求两景点 B 与 C 的距离(精确到 0.1km).参考数据: 2=1.414, 3= 1.732, 5=2.236.

[解析] 在△ABD 中,设 BD=x, 则 BA2=BD2+AD2-2BD· AD· cos∠BDA, 即 142=x2+102-2· 10x· cos60° , 整理得:x2-10x-96=0, 解之得,x1=16,x2=-6(舍去), 由正弦定理得, BC BD = , sin∠CDB sin∠BCD

∴BC=

16 · sin30° =8 2≈11.3(km) sin135°

答:两景点 B 与 C 的距离约为 11.3km. (理)(2010· 湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调 研确定,棚改规划建筑用地区域可近似为半径是 R 的圆面.该圆的内接四边形 ABCD 是原 棚户建筑用地,测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米.

(1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2)因地理条件的限制,边界 AD、CD 不能变更,而边界 AB、BC 可以调整.为了提高 棚户区改造建筑用地的利用率,请在 ABC 上设计一点 P,使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大,并求出其最大值. [解析] (1)因为四边形 ABCD 内接于圆,所以∠ABC+∠ADC=180° ,连接 AC,由余 弦定理: AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC =42+22-2×2×4cos∠ADC. 1 ∴cos∠ABC= .∵∠ABC∈(0,π),∴∠ABC=60° . 2 1 1 则 S 四边形 ABCD= ×4×6×sin60° + ×2×4×sin120° 2 2 =8 3(万平方米). 在△ABC 中,由余弦定理: AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos∠ABC 1 =16+36-2×4×6× =28,故 AC=2 7. 2 由正弦定理得, AC 2 7 4 21 2 21 2R= = = ,∴R= (万米). 3 3 sin∠ABC 3 2 (2)S 四边形 APCD=S△ADC+S△APC, 1 S△ADC= AD· CD· sin120° =2 3. 2 设 AP=x,CP=y, 1 3 则 S△APC= xy· sin60° = xy. 2 4 又由余弦定理:AC2=x2+y2-2xycos60°

=x2+y2-xy=28. ∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当 x=y 时取等号. ∴S
四边形

APCD=2

3+

3 3 xy≤2 3+ ×28=9 3,即当 x=y 时面积最大,其最大面积 4 4

为 9 3万平方米. 17.(2010· 上海松江区模拟)如图所示,在一条海防警戒线上的点 A、B、C 处各有一个 水声监测点,B、C 两点到点 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米.某时刻,B 收到发自静止 目标 P 的一个声波信号,8 秒后 A、C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度 是 1.5 千米/秒.

(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B、C 到 P 的距离,并求 x 的值. (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离(结果精确到 0.01 千米). [解析] (1)依题意,有 PA=PC=x, PB=x-1.5×8=x-12. 在△PAB 中,AB=20 PA2+AB2-PB2 x2+202-?x-12?2 cos∠PAB= = 2PA· AB 2x· 20 = 3x+32 5x

同理,在△PAC 中,AC=50 PA2+AC2-PC2 x2+502-x2 25 cos∠PAC= = = , 2PA· AC 2x· 50 x ∵cos∠PAB=cos∠PAC, ∴ 3x+32 25 = ,解之得,x=31. 5x x

(2)作 PD⊥AC 于 D,在△ADP 中, 25 由 cos∠PAD= 得, 31 4 21 sin∠PAD= 1-cos2∠PAD= , 31 4 21 ∴PD=PAsin∠APD=31· =4 21≈18.33 千米, 31 答:静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 18.33 千米.


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