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三元算术几何平均值不等式的加细


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数学通讯 — 2014 年第 6 期 ( 下半月)

·专论荟萃·

是同一个点, 即四面体 N1 N2 N3 N4 与 Q1 Q2 Q3 Q4 有共 同的欧拉球心. 命题得证. 定理 2 就是本文得到的主要结论, 其内涵是颇 为丰富的. 考察它的种种特例, 将会得到许多花样翻 2, 3, 新的有趣命题. 例如,

在定理 2 中令 k = 1 , 可得 命题 1 设四面体 A1 A2 A3 A4 的外心为 O, 其侧 2, 3, 4) , 面△ j 的 1 号心为 H j ( 1 , 则四面体 A1 A2 A3 A4 与 H1 H2 H3 H4 有共同的欧拉球面. 命题 2 设四面体 A1 A2 A3 A4 的外心为 O, 其侧 2, 面△ j 的 2 号心为 E j , 线段 OA j 的中点为 B j ( j = 1 , 3, 4) , 则四面体 B1 B2 B3 B4 与 E1 E2 E3 E4 有共同的欧 拉球面. 命题 3 设四面体 A1 A2 A3 A4 的外心为 O, 其侧 线段 OA j 的第一个 3 等分点为 面△ j 的 3 号心为 G j , Cj ( j = 1, 2, 3, 4) , 则四面体 C1 C2 C3 C4 与 G1 G2 G3 G4 有共同的欧拉球面. 这些耐人寻味的四面体命题, 在以往的几何著

命题 2 与定理 1 惟妙惟肖 作中似未见过. 容易看出, 地类同或相似. 由此可知, 定理 2 是定理 1 在四面体 中的一种多方位的类比推广. 定理 2 的发现过程使我们深深体会到: 类比是 : “没 发现真理的重要手段. 正如数学家波利亚所说 在初等或高等数学中也许就不会有发现 , 在 有类比, 其他学科中也不会出成果的. ” 参考文献:
[ 1] 梁绍鸿. 初等数学复习及研究 ( 平面几何) [M] . 赵慈 1958 : 223. 庚校. 北京: 人民教育出版社, [ 2] R. A. 约翰逊. 近代欧氏几何学[ M] .单 1999 : 170 - 171. 海教育出版社, [ 3] 熊曾润. 四面体的欧拉球面及其性质[ J] . 中国初等数 2009 ( 1 ) : 40 - 43 . 学研究, ( 收稿日期: 2014 - 01 - 22 ) 译. 上海: 上

三元算术几何平均值不等式的加细
安振平
( 陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 , 712000 )

b, c, 对于任意实数 a, 都有不等式 2 2 2 a + b + c ≥ab + bc + ca

+[ c2 - ① =

c( a2 + b2 ) ] a +b

这是一道常见的不等式, 上海熊斌先生在他的 《不等式的解题方法与技巧》 ( P43 , 华东师大出版社, 2005 年第一版) 中, 将不等式①加强为: b, c > 0, 设 a, 求证: a 2 + b 2 + c2 ≥ + a ( b 2 + c2 ) b ( c2 + a 2 ) + b +c c+a ②

ab( a - b) ca( c - a) bc( b - c) - + b +c b +c c+a - ab( a - b) ca( c - a) bc( b - c) + - c+a a +b a +b

ab( a - b) ab( a - b) bc( b - c) =[ - ]+ [ b +c c+a c+a - = bc( b - c) ca( c - a) ca( c - a) ]+ [ - ] a +b a +b b +c

c( a2 + b2 ) a +b

不同于原书的证明, 只要进行恒等变形, 构造恒 等式, 便可给出不等式②的一种轻巧、 简单的证法. 事实上, 通过作差比较, 得 2 a ( b + c2 ) b ( c2 + a 2 ) ( a 2 + b 2 + c2 ) - [ + b +c c+a + c( a2 + b2 ) ] a +b a ( b 2 + c2 ) b ( c2 + a 2 ) ]+ [ b2 - ] b +c c+a

ab( a - b) 2 bc( b - c) 2 + ( b + c) ( c + a ) ( c + a ) ( a + b ) + ca( c - a) 2 ≥0 , ( a + b ) ( b + c)

所以, 不等式②成立. 通过学习不等式 ②, 联系到三元算术几何平均 值不等式: b, c > 0, 设 a, 求证: a3 + b3 + c3 ≥3 abc ③ 类似于不等式 ② 的形式, 笔者获得了三元算术

=[ a2 -

·专论荟萃·

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几何平均值不等式③的一种加细. b, c > 0, 定理 设 a, 求证: a 3 + b 3 + c3 ≥ a 2 ( b 2 + c2 ) b 2 ( c2 + a 2 ) c2 ( a 2 + b 2 ) + + b +c c+a a +b a b c + + ) ≥3 abc b +c c+a a +b
3 3 3 先 证: a + b + c ≥

+

ca( c - a) 2 ( a + b + c) ( a + b ) ( b + c)

≥0 , 所以不等式⑤成立. 结合均值不等式, 立即可得: ④ a 2 ( b 2 + c2 ) b 2 ( c2 + a 2 ) c2 ( a 2 + b 2 ) + + b +c c+a a +b ≥2 abc( 又因为 2 ( a + b + c) ( 1 1 1 + + ) b +c c+a a +b a b c + + ). b +c c+a a +b

≥2 abc( 证明

a 2 ( b 2 + c2 ) + b +c ⑤

b 2 ( c2 + a 2 ) c2 ( a 2 + b 2 ) + c+a a +b 采用作差比较法, 得 a 2 ( b 2 + c2 ) b 2 ( c2 + a 2 ) ( a 3 + b 3 + c3 ) - [ + b +c c+a c2 ( a 2 + b 2 ) + ] a +b =[ a3 - a ( b +c ) b ( c +a ) ]+ [ b3 - ] b +c c+a c2 ( a 2 + b 2 ) ] a +b
2 2 2 2 2 2

=[ ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) ] ·(
3

1 1 1 + + ) b +c c+a a +b
3

( b + c) ( c + a ) ( a + b ) ≥3 槡 ·3 = 9,

+[ c3 - =



1 1 1 · · b +c c+a a +b a b c 3 + + ≥ . b +c c+a a +b 2

a2 b( a - b) - ca2 ( c - a) b +c + + b2 c( b - c) - ab2 ( a - b) c+a c2 a( c - a) - bc2 ( b - c) a +b
2 2 2

整理可得

这是常见的 Nesbitt 不等式. a b c + + ) ≥3 abc. 于是可得 2 abc( b +c c+a a +b 综合可知: 不等式④成立. 参考文献:
[ 1] 安振平. 三元均值不等式的加强及其应用[ J] . 中学数 1998 ( 10 ) . 学教学参考, [ 2] 安振平. 一个代数不等式的加强[J ] , 数学通讯 ( 教师 2010 ( 9 ) . 刊) , ( 收稿日期: 2014 - 01 - 01 )

a b( a - b) ab ( a - b) b c( b - c) =[ - ]+ [ b +c c+a c+a - = bc ( b - c) c a( c - a) ca ( c - a) ]+ [ - ] a +b a +b b +c
2 2 2 2

ab( a - b) ( a + b + c) ( b + c) ( c + a ) bc( b - c) 2 ( a + b + c) + ( c + a) ( a + b)

一个关于椭圆切线的猜想的另证及推广
高文启
( 安徽省阜阳市第五中学 , 236000 )

1] 文[ 给出一个猜想, 摘抄如下: x2 y2 B 分别是椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 猜想 若 A, a b P 为椭圆上任意一点 ( 不与 A, B 0 ) 一直径两端点, PB 与 AB 的共轭直径所在的直线 重合) , 直线 PA,

D, 分别交于 C , 则椭圆在点 P 处的切线平分线段 CD. 2] 文[ 给出了上述猜想的证明, 并把这一性质 进行了再推广. 本文中, 笔者利用椭圆的参数方程来证明该猜


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