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定积分课件


第六章

定积分及其应用

前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数,

这是积分学的一个基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分. 本章的主要问题有: 1.定积分的概念。

2.定积分的性质。
3.定积分与不定积分的关系。 4.定积分的计算和

定积分的应用。
1

第一节 定积分的概念 一、问题的提出 实例1 求曲边梯形的面积A

曲边梯形由连续曲线

y

y ? f ( x ) ( f ( x ) ? 0) 、

y ? f ( x)

x 轴与两条直线 x ? a 、

A??
o
a b

x ? b 所围成.

x

2

用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y

o

a
(四个小矩形)

b

x o

a

(九个小矩形)

b

x

显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积.
3

在区间 [a , b]内插入若干 曲边梯形如图所示, 个分点,a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b,
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间[ xi ?1 , xi ], 长度为 ?xi ? xi ? xi ?1 ;
在每个小区间[ xi ?1 , xi ] 上任取一点? i,

y

o a

x1

x i ?1 ? i xi

xn?1 b

x

以 [ xi ?1 , xi ]为底, f (?i ) 为高的小矩形面积为
Ai ? f (? i )?xi
4

曲边梯形面积的近似值为

A ? ? f (? i )?xi
i ?1

n

当分割无限加细 ,即小区间的最大长度

? ? max{?x1 , ?x2 ,??xn }
趋近于零 (? ? 0) 时,
曲边梯形面积为 A ? lim ? f (? i )?xi
? ? 0 i ?1
n

5

实例2 (求变速直线运动的路程)

设某物体作直线运动,已知速度 v ? v ( t )是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 , 且 v ( t ) ? 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程.
思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值.

6

(1)分割

T1 ? t0 ? t1 ? t 2 ? ? ? t n?1 ? t n ? T2 ?t i ? t i ? t i ?1
部分路程值

?si ? v(? i )?t i
某时刻的速度

(2)求和

s ? ? v (? i )?t i
i ?1

n

(3)取极限 ? ? max{?t1 , ?t 2 ,?, ?t n } 路程的精确值 s ? lim ? v (? i )?t i
? ? 0 i ?1
7

n

二、定积分的定义

定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界, 在[a , b ]中任意插入
若干个分点

a ? x 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 ? x n ? b

n 个小区间,各小区间的长度依次为 把区间[a , b] 分成

?x i ? x i ? x i ?1 ,( i ? 1,2,?) ,在各小区间上任取
一点? i (? i ? ?xi ),作乘积 f (? i )?x i ( i ? 1,2,?)

并作和 S ? ? f (? i )?x i ,

n

记? ? max{?x1 , ?x 2 ,? , ?x n },如果不论对[a , b ]
8

i ?1

怎样的分法, 也不论在小区间[ x i ?1 , x i ] 上
点? i 怎样的取法,只要当? ? 0 时,和 S 总趋于

I , 我们称这个极限 确定的极限 I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的定积分, 记为
积分上限

f (? i )?x i ? ?a f ( x )dx ? I ? lim ? ? 0 i ?1
被 积 函 数
被 积 表 达 式

b

n

积分和

积分下限

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

9

注意:

(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量的字母无关.

?a f ( x )dx ? ?a f (t )dt ? ?a f (u)du
(2)定义中区间的分法和? i 的取法是任意的.

b

b

b

[a , b] 上的定积分存在时, (3)当函数 f ( x ) 在区间
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
10

(4) 在定积分定义中,实际假定了a ? b,为了今后使用方便,我们

规定:

当a ? b时, ?
当a ? b时,

b

a

f ( x) dx ? ?? f ( x) dx
b

a

这表示,定积分的上下限互换时,定积分变号

?

a

b

f (x)dx ? 0

11

三、定积分存在定理

定理1 若函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续,
则 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.

[a , b] 上有界, 定理2 设函数 f ( x ) 在区间
且只有有限个间断点, 则 f ( x ) 在

区间[a , b ]上可积.

12

四、定积分的几何意义

f ( x ) ? 0, f ( x ) ? 0,

?a f ( x )dx ? A
b

b

曲边梯形的面积
的负值

?a f ( x )dx ? ? A 曲边梯形的面积
A3

A1

A2

A4

?a f ( x )dx ? A1 ?A2 ?
b

A3 ? A4

13

例1 利用定义计算定积分 ? x 2dx.
0

1

i 解 将[0,1]n 等分,分点为 x i ? ,(i ? 1,2,? , n ) n 1 小区间[ x i ?1 , x i ]的长度?x i ? ,(i ? 1,2,? , n ) n 取? i ? x i ,(i ? 1,2,?, n )

?
i ?1

n

f (? i )?xi ? ? ? i ?xi ? ? xi2 ?xi ,
2 i ?1
i ?1

n

n

14

1 n 2 1 n( n ? 1)(2n ? 1) ?i? 1 ? ?? ? ? ? 3 ?i ? 3 ? n n i ?1 n 6 i ?1 ? n ?
n

2

1? 1 ?? 1? ? ? 1 ? ?? 2 ? ? , 6? n ?? n?

? ?0 ?n??
2

? ?0 x dx ? lim ? ? 0 i ?1
2

1

n

? i ?x i

1? 1 ?? 1? 1 ? lim ? 1 ? ?? 2 ? ? ? . n? ? 6 ? n ?? n? 3
15

五、 定积分的性质 性质1
b

函数的和 (差)的定积分等于它们的定积
b

分的和(差),即

? [ f ( x) ? g( x)]dx ? ?
a

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx
a

b

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx.(k是常数)
b
16

a

性质3 如果将积分区间分成两部分,则在整个区间上 的定积分等于这两部分区间上定积分之和,即设a<c <b,则 b c b

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

另外,按定积分的补充规定,不论a,b,c的相对位置 如何,总有等式

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c

c

b

性质4 如果在区间[a,b]上f(x)≡1,则

?

b

a

f ( x )dx ? b ? a
17

[a , b]上, f ( x ) ? 0, 则 性质5 如果区间

?
推论1

b

a

f ( x )dx ? 0 (a ? b)

如果在区间[a,b] 上f(x)≥g(x),则

?
推论2 性质6

b

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx
a
b a

b

?

b

a

f ( x )dx ? ? | f ( x ) | dx

设M,m分别是函数 f(x)在区间[a,b]上的最

大值及最小值,则

m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a )
a
18

b

性质7(定积分中值定理)

如果f ( x )在闭区间 [a , b]上连续, 则在积分区间 [a , b ] 上至少存在一点 ?使下式成立:

?

b

a

f ( x )dx ? f (? )( b ? a )

积分中值公式的几何解释:

19

x 例2 估计定积分? 2 dx的值. 1 x ?1 x 在[1,2]上连续,因而可积. 解 f ( x) ? 2 x ?1 2 1? x f ?( x ) ? 2 ? 0 (1 ? x ? 2) 2 ( x ? 1)
2

所以f(x)在[1,2] 上单调减少

2 1 ? f ( x) ? 5 2 2 2 1 ? ? f ( x )dx ? 5 1 2
20

例3


2 3 ? x2 证明 4 ? ? e dx ? 3 ?1 e ? x2 设 f ( x) ? e
? x2

则 f ' ( x) ? ?2xe 令f '( x) ? 0,得唯一驻点x ? 0,且为极大值点,也是最大
值点,最大值M ? f (0) ? e0 ? 1,又f (-1) ? e-1,f (2) ? e-4所以

最小值为m ? e-4 . 由定积分性质3可知

?


2

?1

e dx ? ? e dx ? ? 1dx
-4 ? x2 ?1 ?1

2

2

3 2 ? x2 ? ? e dx ? 3 4 ?1 e
21

例4 求 lim 解

n? ?? 0

?

1/ 2

x
2

n

x ?1

dx .

由积分中值定理,有

lim

n ?? 0

?

12

1 ?n dx ? lim ? 0. 2 2 n ?? 2 x ?1 ? ?1 xn

1 ? ? (0, ). 2

22

§6.2

微积分基本定理

Fundamental theorems of calculus 由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过

求积分和的极限来得到定积分的值, 却非常困难; 下面
寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 :牛顿——莱布 尼兹公式(Newton-Leibniz Formula)计算法.

23

一、 积分上限函数 设函数f(x)在[a,b]上可积,对于x∈[a,b],则函数f(x) 在[a,x]上可积.定积分对每一个取定的x值都有一个对 应值,记为 x

?( x) ? ? f (t )dt
a

a? x?b

? (x)是积分上限x的函数,称为积分上限函数,或称变
上限函数或变上限积分.
注1 ?(a) ? 0, ?(b) ? f ( x)dx. ?
a
24

b

定理1(原函数存在定理) 设函数f(x)在[a,b]上连续,则
积分上限函数 ?( x) ? 一个原函数.

?

x

a

f (t )dt 就是f(x)在[a,b]上的

证 取??x?充分小,使x+?x∈(a,b),则

?? ? ?( x ? ?x) ? ?( x) ? ? ? ? f (t )dt ? ?
a x x ? ?x x

x ? ?x

a x

f (t )dt ? ? f (t )dt
a x ? ?x x

x

f (t )dt ? ? f (t )dt ? ?
a

f (t )dt

? f (? )?x, ?介于x与x ? ?x之间 .
于是

?? ? f (? ) ?x
25

由于? x→0时, ? →x,而f(x)是连续函数,上式两边取 极限有

?? lim ? lim f (? ) ? lim f (? ) ? f ( x) ?x ?0 ?x ?x ?0 ? ?x

即 ??( x) ? f ( x)
亦即 或

[ ? f ( x)dx]? ? f ( x).
a

x

[? f (t )dt]? ? f ( x).
a
26

x

注2 对于变上限的复合函数有以下推论 推论 若?(x)在[a, b]上连续, ?(x)在[a, b]上可导, 则

d ? ( x) f (t )dt ? f [? ( x)] ? ? ?( x) ? dx a
证 变上限函数?
? ( x)
a

f (t )dt 可看成 Y ? ?(u), u ? ? ( x)复合而成,



d ? ( x) dY dY du ? ? f (t )dt ? ? a dx dx du dx

? f (u ) ? ? ?( x) ? f [? ( x)] ? ? ?( x)
27

例1
(2)

d x3 ? t e dt 2 ? dx x



x3 d x3 ? t d ? 0 ?t ? ?t e dt ? ? ? 2 e dt ? ? e dt ? (2) 2 ? x 0 dx dx ? x ?

d x2 ?t d x3 ? t ? ? ? e dt ? ? e dt dx 0 dx 0

? ?2xe

? x2

? 3x e

2 ? x3
28

d x (3) ? 2 sin t 2 dt dx x ?1
d x 2 2 2 2 2 解 sin t dt ? sin x ? sin( x ? 1) ? ( x ? 1)? 2 ? x ? 1 dx 2 2 2 ? sin x ? 2 x sin( x ? 1) x 2 ( ? et dt )2 (4) lim 0x 2 x ?0 2t te ? dt
0

解 lim
x ?0

( ? e dt )2
t2

x

? te
0

0 x

2t

2

dt

? lim
x ?0

2? e dt ? e
t2 0

x

x2

xe
x2

2 x2
x2 x2

? lim
x ?0

2? e dt
t2 0

x

xe

x2

? lim
x ?0

2e

e ? xe ? 2 x

29

例2 设f(x)∈C((?∞,+∞)),且满足方程
16 18 x x 2 f ( t ) dt ? t ?x ?0 f (t )dt ? 8 ? 9 , 求 f(x). 解 在方程两端对变量 求导得 0 x

x

f ( x) ? ? x2 f ( x) ? 2x15 ? 2x17

30

例3

求 lim ?
x ?0

x

0

f (t )( x ? t )dt x
2

,其中f(x)是(-∞,+∞)内的连续函数.
x x

解 由于

?

x

0

f (t )( x ? t )dt ? x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt
x 0

所以

? lim
x ?0
x ?0

f (t )( x ? t )dt x2

x? ? ? lim
x ?0

0

0

x

0

f (t )dt ? ? tf (t )dt
0

x

?

?
x

( x 2 )?

? ? lim
? ? lim
x ?0 0

x

0

f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) 2x
f (t )dt 2x f ( x) 1 ? lim ? f (0) x ?0 2 2
31

x

二、微积分基本公式 定理2 设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一 个原函数,则 b ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a

证 因F(x)与 f ( t )dt 都是f(x)在[a,b]上的原函数, a 只能相差一个常数C,即

?

x

?
a a

x

a

f ( t )dt ? F ( x ) ? C

令x ? a, ? f (t )dt ? 0, 得C ? ? F (a ).
32

?

x

a

f ( t )dt ? F ( x ) ? F (a )

令x ? b, 得
b a

?

b

a

f ( x )dx ? F (b) ? F (a )

记F ( x) ? F (b) ? F (a)


?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a)

b

----微积分基本公式 或牛顿-莱布尼茨公式
33

由牛顿—莱布尼兹公式知: 要求?(x)在[a, b]上的定积分

?

b

a

f ( x)dx,

只须先求出?(x)在[a, b]上的一个原函数F(x),再 计算F(x)在[a , b]上的改变量F(b) – F(a)即可.

34

例4

计算下列定积分
4 b 1 4 4 x 3 解 ? x dx ? ? (b ? a ) a 4 a 4 b

(1)? x3 dx
a

b

1 (2)? dx ?3 x
?1

?1 1 解 ? dx ? ln x ? ln1 ? ln3 ? ? ln3 ?3 x ?3
?1

35

例5

求 ? ( 2 cos x ? sin x ? 1)dx .
0

? 2



原式 ? ?2 sin x ? cos x ? x ?0
?
2

2 ?2 x 0 ? x ? 1 例6 设 f ( x ) ? ? , 求 ?0 f ( x )dx . 1? x ? 2 ?5

? ? 3? . 2



?0

2

f ( x )dx ? ?0 f ( x )dx ? ?1 f ( x )dx

1

2

y

在[1,2]上规定当x ? 1 时, f ( x ) ? 5 ,

原式 ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? 6.
0 1

1

2

o

1

2

x
36

2. 利用定积分的几何意义求定积分:
(2)

?

a

0

a ? x dx (a>0).
2 2

解 根据定积分的几何意义知,

?

a

0

a 2 ? x 2 dx

表示由曲线 y ? a 2 ? x2 , x ? 0, x ? a 及x轴所围成的
1 4

1 圆的面积,而此 4

1 2 π a ,所以 圆面积为 4
2

?

a

0

1 a ? x dx ? π a 2 4
2

37

3. 求由方程

?

y

0

e dt ? ? cos tdt ? 0 所确定的隐函数y=y(x)的导数.
t 0

x

y e ? y? ? cos x ? 0 解 方程两边对x求导数得:

? y? ? ?

cos x ey

y x 又由已知方程有 et 0 ? sin t 0 ? 0 ,即

e y ? 1 ? sin x ? sin 0 ? 0
.

e ? 1 ? sin x
y

于是有

y? ? ?

cos x cos x ? y e sin x ? 1
38

4. 当x为何值时,I(x)= 解

?

x

0

te dt 有极值?

?t 2

I ?( x) ? xe
x?0

? x2

,令

I ?( x) ? 0

得驻点

I ??( x) ? e (1 ? 2x2 ), I ??(0) ? 1 ? 0
, 所以当x=0时,I(x)有极小值 ,且极小值为I(0)=0.

? x2

39

(4)

?
2

2

?2

max ?1, x ? dx
2



?

2

?2

max{1, x }dx ? ? x dx ? ? 1dx ? ?
2 ?2 ?1

?1

1

2

1

1 3 ?1 1 3 2 20 1 x dx ? x ?2 ? x ?1 ? x 1 ? 3 3 3
2

40

6. 已知f(x)连续,且f(2)=3,求 lim
x ?2

?

x

2

? 2 f (u)du ? dt ? ? ? ?t ? ( x ? 2)2



lim
x ?2

?

x

2

? 2 f (u)du ? dt ? ? ? ?t ? ( x ? 2)2
2

? ? lim
x ?2

x

? f ( x) 1 3 ? lim ? ? f (2) ? ? x ?2 2( x ? 2) 2 2 2.
.

f (u )du

41

§6.3 定积分的计算方法
由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分

?

b

a

f ( x)dx

的关键在于求出?(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 而由 第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、 换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几 种方法来计算定积分 .

42

一.凑微分法 例1 计算
1

(1)? x 1 ? x2 dx
0

1

3 1 2 1 2 2 1 2 2 2 ? ? (1 ? x ) 解 ? x 1 ? x dx ? ? (1 ? x ) d (1 ? x ) 0 0 2 3 2 0

1

1 2

例2 计算 解

?

?

1 1 2 2 2 2 ? [(1 ? 1 ) ? (1 ? 0 ) ] ? (2 2 ? 1) 3 3

3

3

2 0

cos x?sin x ? dx
3 2

3. 2

?
??

?

? 2 0

2 0

cos x?sin x ? dx

2 ?sin x ? d sin x ? ?sin x ? 5
3 2

5 2

? 2

0

2 ? . 5
43

二.换元积分法
定理1 若?(x)在[a, b]上连续, 而 x =?(t) 又满足
(1) 在[α,β]上单调连续且具有连续导数;

(2) ?(α)= a, ?(β)= b, 则

?
b a

b

a

f ( x)dx ? ? f (? (t ))? ?(t )dt
?

?

证 设F(x)是?(x)的一个原函数, 即 F ?( x) ? f ( x)
故 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
d 而 F [? (t )] ? F ?[? (t )] ? ? ?(t ) ? f [? (t )] ? ? ?(t ) dt

F[? (t )] 是 f [? (t )] ? ? ?(t )的一个原函数,且

44

??

?

? f [? (t )] ? ? ?(t )dt ? F [? (t )] ? F[? ( ? )] ? F[? (? )] ? F (b) ? F (a) ?
b

?

a

f ( x)dx ? ? f [? (t )] ? ? ?(t )dt
?

?

——此式称为定积分的换元公式. 在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题: (1) 所选择的代换式x=?(t)必须满足定理中的两个条件; (2) 换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;

(3) 求出 f [? (t )] ? ? ?(t )的一个原函数?(t ) ? F[? (t )] 后,不必象
求不定积分那样把 ?(t)还原成 x 的函数, 而只须直接将 t

的上、下限代入相减即可.
45

例1 当 a > 0时, 计算

?

a

0

dx 1? x

解 令 x ? t 2 (t ? 0), 则有t ? x , dx ? 2tdt , 且
x ? 0, t ? 0, x ? a, t ? a
a 2t dx 故? ?? dt 0 1? x 0 1? t a

? 2? (1 ?
0

a

1 a )dt ? 2[t ? ln(1 ? t )] 1? t 0

? 2[ a ? ln(1 ? a )]

46

例2 (1)

?

4

0

x?2 dx. 2x ?1



t2 ?1 设t ? 2 x ? 1 , 则x ? , dx ? tdt , 2 当x ? 0时, t ? 1,当x ? 4时, t ? 3.

?

4

0

x?2 1 3 2 1 t 22 dx ? ? ( t ? 3)dt ? ( ? 3t ) ? 2 1 2 3 3 2x ? 1 1
2

3

47

(2) ?

a

0

a 2 ? x 2 dx

解 令 x ? a sin t, 有 a2 ? x2 ? a cos t , dx ? a cos tdt
? 且x ? 0, t ? 0; x ? a, t ? 2 ?
a ? x dx ?
2 2
? 2

?

a

0

?

2

0

a cos t ? a cos tdt ? a 2 ? cos2 tdt
0
2 ? a 1 2 2 1 ? cos 2t dt ? 4 (2t ? sin 2t ) 0 ? 4 ? a 2

?a

? 2 2 0

?

注 由几何意义知, 此定积分

?

a

0

a 2 ? x 2 dx 即为圆

x 2 ? y 2 ? a 2 在第Ι象限的面积.
48

例3 设?(x)在[?a, a]上连续, 则

?

a

?a

a ? ?2?0 f ( x)dx, 当f ( x)为偶函数时 f ( x)dx ? ? ? 0, 当f ( x)为奇函数时 ?

证 因

?

a

?a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
?a 0

0

a

(1)若为?(x)偶函数, 则有?(x)=?(? x) 令x = ?t, 则 d x = ?d t, 且

?

0

?a

f ( x)dx ? ? f (?t )d (?t )
a

0

? ?? f (t )dt ? ? f ( x)dx
a 0

0

a

从而

?

a

?a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
0 0 0
49

a

a

a

(2)若?(x)为奇函数, 则有?(x)=??(? x) 令x = ?t, 则 d x = ?d t, 且

?

0

?a

f ( x)dx ? ? f (?t )d (?t )
a

0

? ? f (t )dt ? ?? f ( x)dx
a 0

0

a

从而

?

a

?a

f ( x)dx ? ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? 0
0 0

a

a

注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区 间上的定积分的计算.

50

例4 计算

??1
1

1

2 x 2 ? x cos x dx . 2 1? 1? x
1 x cos x 2x dx dx ? ??1 2 2 1? 1? x 1? 1? x

解 原式 ? ??1

2

偶函数

奇函数

? 4?0

1

2 2 x 1 x (1 ? 1 ? x ) dx ? 4 ? dx 2 2 0 1? 1? x 1 ? (1 ? x )

2

? 4?0 (1 ? 1 ? x )dx ? 4 ? 4?0
2

1

1

1 ? x 2 dx

? 4 ? ?.

单位圆的面积
51

例5

若 f ( x ) 在[0,1]上连续,证明
? 2 ? 2

(1) ? f (sin x )dx ? ? f (cos x )dx ;
0 0

? ? (2) ? xf (sin x )dx ? ? f (sin x )dx . 0 2 0 ? x sin x dx . 由此计算 ? 2 0 1 ? cos x ? 证 (1)设 x ? ? t ? dx ? ?dt, 2 ? ? x ? ? t ? 0, x ? 0? t ? , 2 2
?
52

?0

? 2

f (sin x )dx ? ? ??
2
? 2 ? 2

0

? ? ? ?? f ?sin? ? t ? ? dt ? ? 2 ??

? ? f (cos t )dt ? ? f (cos x )dx;
0 0

(2)设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt ,

x ? 0 ? t ? ?,
? 0

x ? ? ? t ? 0,

?0 xf (sin x )dx ? ? ?? ( ? ? t ) f [sin(? ? t )]dt
? ? ( ? ? t ) f (sin t )dt ,
0
53

?

?0 xf (sin x )dx
? 0
?

?

? ? ? f (sin t )dt ?
0 ?

?

?0 tf (sin t )dt

?

? ? ? f (sin x )dx ?
0

x sin x ? ? sin x dx ?0 1 ? cos 2 x ? 2 ?0 1 ? cos 2 x dx ? ? 1 ? ? ?? ? d (cos x ) ? ? ? ? arctan(cos x ) 0 2 0 1 ? cos 2 x 2 ? ? ? ?2 ? ? (? ? ) ? . 2 4 4 4
?

?0 xf (sin x )dx, ? ? ? xf (sin x )dx ? ? f (sin x )dx. 2
? 0

54

例6 设f ( x )是( ??,??)内的连续函数 , 且满足

?

x

0

tf ( x-t )dt ? 1 ? cos x , 求f ( x ).

解 设u ? x ? t , 则t ? x ? u, dt ? ?du,

当t ? 0时, u ? x ,当t ? x时, u ? 0.

?

x

0

tf ( x-t )dt ? ? ? ( x-u) f (u)du ? x ? f (u)du ? ? uf (u)du
0 0 0

x

x

x

x ? f (u)du ? ? uf (u)du ? 1 ? cos x
0 0

x

x

上式两边对x求导,得
两边对x求导,得

?

x

0

f ( u)du ? sin x
55

f ( x ) ? cos x

解 设u?x?2,则当x?1时,u??1;当x?4时,u?2.于是

? 1 , ?1 ? x ? 0 ? 例7 设函数f(x)? ?1 ? cos x ,求 ? x2 ? xe , x ? 0 ?

?

4

1

f ( x ? 2)dx

?

4

1
0

f ( x ? 2)dx ? ? f (u)du
?1

2

2 du ?u 2 ?? ? ? ue du ?1 1 ? cos u 0 .

u ? tan 2


0 ?1

1 ?u2 ? e 2

2 0

1 1 1 ? tan ? e ?4 ? 2 2 2

56

三.分部积分法

定理2 若u = u(x)及v = v(x)在[a, b]上有连续导数, 则

?
? udv ? ?
a b b

b

a

udv ? uv

b a

? ? vdu
a

b

证 因d(uv) = udv + vdu, 两边积分得
a

d (uv) ? ? vdu ? uv ? ? vdu. a a a

b

b

b

例8 计算

? x arctanxdx
0
57

1

1 1 解 ? x arctan xdx ? ? arctan xdx 2 0 2 0
1

1 1 2 1 2 ? [ x arctan x ? ? x d arctan x] 0 0 2
2 1 x 1 ? ? [ ?? dx] 2 0 2 4 1? x
1 1 1 1 ? ? [ ? dx ? ? dx] 2 0 0 8 2 1? x

?

1 ? 1 1 1 ? ? ? arctan x ? ? 0 4 2 8 2 2

?

58

例9

xdx . 计算 ?0 1 ? cos 2 x
? 4



?1 ? cos 2 x ? 2 cos x ,
2
? ? xdx xdx 4 4 x ?? ?? ? ? d ?tan x ? 2 0 1 ? cos 2 x 0 2 cos x 0 2
? 4 ? ? 1 1 4 4 ? ? x tan x ? 0 ? ? tan xdx 2 0 2 ? ? 1 ? ln 2 4 ? ? ?ln sec x ? 0 ? ? . 8 2 8 4

59

例10 计算

?

1

0

ln(1 ? x) dx. 2 (1 ? x)



?

1

0

1 1 ln(1 ? x) dx ? ? ?0 ln(1 ? x)d 2 1? x (1 ? x)
1

? ln(1 ? x) ? ? ?? ? ? 1? x ?0

??

1

0

1 d ln(1 ? x) 1? x

ln 2 ? 1 1 ? 1 dx ?? ? 0 1? x 1? x 2
1 ? ln 2 ln 2 ? 1 ? ? ?? ? ?? ? 2 2 ? 1? x ?0
1
60

例11 解

设 f ( x ) ? ?1

x2

sin t 因为 没有初等形式的原函数, t 无法直接求出 f ( x ) ,所以采用分部积分法

sin t 1 dt , 求 ? xf ( x )dx. 0 t

1 1 2 xf ( x ) dx ? f ( x ) d ( x ) ?0 ? 2 0 1 1 2 1 1 2 ? ?x f ( x )?0 ? ?0 x df ( x ) 2 2 1 1 1 2 ? f (1) ? ? x f ?( x )dx 2 2 0
1
61

? f ( x ) ? ?1

x2

sin t dt , t
2

sin t f (1) ? ?1 dt ? 0, t
1
2

sin x 2 sin x f ?( x ) ? ? 2x ? , 2 x x

1 1 2 1 ? ?0 xf ( x )dx ? f (1) ? ?0 x f ?( x )dx 2 2 1 1 1 1 2 ? ? ?0 2 x sin x dx ? ? ?0 sin x 2dx 2 2 2 1 1 2 1 ? ?cos x ?0 ? (cos 1 ? 1). 2 2
1
62

例12 设 f ?( x) 在[0, 1]上连续, 求 解

?

1

0

[1 ? xf ?( x)]e f ( x ) dx.

?

1

0

xf ?( x)e

f ( x)

dx ? ? xe f ( x ) df ( x)
0

1

? ? xde
0

1

f ( x)

? xe

f ( x)

1 0

? ? e f ( x ) dx
0
f ( x)

1



?

1

0

[1 ? xf ?( x)]e

f ( x)

dx ? xe

1 0

? e f (1)
63

例13

证明定积分公式
? 2

I n ? ?0 sin xdx ? ?0 cos xdx
n n

? 2

3 1 ? ?n ? 1 n ? 3 为正偶数 ? ? ? ? ? ? , n ? n n?2 4 2 2 ?? ? n ? 1 ? n ? 3 ? ?? 4 ? 2 , n为大于1的正奇数 ? n n?2 5 3
证 I ? 2 sin n ?1 x sin xdx ? ? 2 sin x n ?1d ?cos x ? n ? ?
0 0

?

?

64

I n ? ?? sin n?1 x cos x ?0 ? ( n ? 1)?0 sin n? 2 x cos 2 xdx
? 2 ? 2

0
? ?

1 ? sin 2 x

I n ? ( n ? 1)?02 sinn? 2 xdx ? ( n ? 1)?02 sinn xdx
? (n ? 1) I n?2 ? (n ? 1) I n
n?1 In ? I n? 2 积分I n关于下标的递推公式 n n?3 I n? 2 ? I n?4 ??, 直到下标减到0或1为止 n?2
65

I 2m

2m ? 1 2m ? 3 5 3 1 ? ? ? ?? ? ? I 0 , 2m 2m ? 2 6 4 2 2m 2m ? 2 6 4 2 ? ? ? ?? ? ? I 1 , 2m ? 1 2m ? 1 7 5 3
? 2

( m ? 1,2,?)

I 2 m ?1

? I 0 ? ? dx ? , 0 2

I1 ? ? sin xdx ? 1,
0

? 2

2m ? 1 2m ? 3 5 3 1 ? 于是 I 2 m ? ? ? ?? ? ? ? , 2m 2m ? 2 6 4 2 2 2m 2m ? 2 6 4 2 I 2 m ?1 ? ? ? ?? ? ? . 2m ? 1 2m ? 1 7 5 3
66

思考题
设 f ??( x ) 在 ?0,1? 上 连 续 , 且 f (0) ? 1 , 1 f ( 2) ? 3 , f ?( 2) ? 5 ,求? xf ??( 2 x )dx .
0

67

思考题解答
1 1 ?0 xf ??(2 x )dx ? 2 ?0 xdf ?(2 x )
1

1 1 1 1 ? ? xf ?( 2 x )?0 ? ? f ?( 2 x )dx 2 2 0

1 1 1 ? f ?( 2) ? ? f ( 2 x )?0 2 4 5 1 ? ? ? f ( 2) ? f (0)? ? 2. 2 4
68

(5) ? cos 2 udu ? ?

? 2 ? ?

? 2 ? ?

? 1 ? cos 2u 1 ? 1 du ? ??2 du ? ??2 cos 2ud2u 2 2 ? 4 ? π 2

1? π π? 1 π 3 ? ? ? ? ? sin 2u ? ? π 2? 2 6? 4 6 8
6

(6) ?

e2

1

e2 d(lnx ? 1) dx e2 ?? ? 2 1 ? ln x 1 ? 2( 3 ? 1) x 1 ? ln x 1 1 ? ln x

69

(8) 解令
,

?

2

0

2 ? x 2 dx
π 时, t ? 2

x ? 2 sin t ,则 dx ? 2 cos tdt

当x=0时,t=0;当 x 于是

? 2
π 2 0

?

2

0

π 1 2 ? x 2 dx ? ? 2 cos 2tdt ? ? (1 ? cos 2t )dt ? (t ? sin 2t ) ? 2 2 0

π 2 0

π 2

70

(10) ?

3

2

dx dx 1 1 1 1 x ?1 ? ? ( ? )d x ? ln x 2 ? x ? 2 ?2 ( x ? 1 ) 2 ? 9 3 ?2 x ? 1 x ? 2 3 x?2 2 4 1 2 1 1 ? (ln ? ln ) ? ln 2 ? ln 5 3 5 4 3
3 3

3

2

(12) ?

? 2 ? ? 2

cos x ? cos3 xdx ? ?

? 2 ? ? 2 0

cos x sin x dx cos x (? sin x)dx ? ? cos xdcosx ? ?
0 ? ? 2
? 2 0 ? 2 0

?? ??

? ? 2 0

cos x ? sin xdx

? ? 2

cos xdcosx
? 2 0

3 2 ? cos 2 x 3

3 2 ? cos 2 x 3

4 ? 3
71

(11)

?

2

1

x dx 3 x( x ? x )

3

解 令
,

6

x ?t

6 5 x ? t ,d x ? 6 t dt ,则

当x=1时,t=1;当x=2,t=
2 3

6

2

于是

?

1

6 6 2 2 1 x 6 1 ; d x ? d t ? 6 ( ? )dt 2 ? ? 3 1 t ?t 1 t t ?1 x( x ? x )

? 6(ln t ? ln(t ? 1))

6

2

1

? 7 ln 2 ? 6 ln(1 ? 6 2)

72

1 dx dx x (x>0); ?? 3. 证明下列等式: ?x 2 2 1 1? x 1? x 1 ?1 x ? 证令 则 dx ? 2 dt t t 1
1 dx 1 ?x 1 ? x 2 ? ?1t 1 1? 2 t 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? t x ? ? ? 3 ?dt ? ? ?1 ?dt ? ? dt ? ? dx 2 2 2 1 1 1? t 1? x ? t ? t 1? t



dx dx ?x 1 ? x2 ? ? 1 ? x2
1

1 x 1

,

73

4. 若f(t)是连续函数且为奇函数,证明 ? f (t )dt 是偶函数;
0

x

若f(t)是连续函数且为偶函数,证明 ?0 f (t )dt 是奇函数. 证 令 F ( x) ?
F ( ? x) ? ?
?x o

x

?
x 0

x

0

f (t )dt ,若f(t)为奇函数,则f(-t)=- f(t),从而
u ??t x dt ? ? du 0

.

f (t )dt ? ? ? f (?u)du ?

?

x

0

f (u )du ? F ( x)

所以 F ( x) ?

?

f (t )dt 是偶函数.
u ??t

若f(t)为偶函数,则f(-t)=f(t),从而

F ( ? x) ? ?

?x

o

f (t )dt ? ? ? f (?u)du ? ? f (u)du ? ? F ( x) 0 ? dt ? ? du
0

x

x

所以 F ( x) ?

?

x

0

f (t )dt 是奇函数.
74

5※. 设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且F(x)=
,

?

x

0

( x - 2t ) f (t )dt

试证:若f(x)单调不减,则F(x)单调不增.
x ? x x ? ? F ?( x) ? x ? f (t )dt ? ? 2tf (t )dx ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? 2 xf ( x) 0 0 ? 0 ?



? ? f (t )dt ? xf ( x) ? f (? ) x ? xf ( x) ? x[ f (? ) ? f ( x)]
0

x

其中 ? 在x与0之间.当x>0时,x> ?

,由f(x)单调不减有

f (? ) ? f ( x) ? 0
当x<0 时,
;

F ?( x) ? 0

?

> x,由f(x)单调不减有 f (? ) ? f ( x) ? 0

综上所述知F(x)单调不增 ,即 F ?( x) ? 0
75

3※. 利用分部积分公式证明:

?

x

0

f (u )( x ? u )du ? ?

x

0

??

u

0

f ( x)dx du

?

证明 右边 ? u

?

u

0

f ( x)dx
x

u?x u ?0

? ? uf (u)du
0

x

? x ? f ( x)dx ? ? uf (u)du
0
x

x

0

? x ? f (u)du ? ? uf (u)du
0 0

x

? ? xf (u )du ? ? uf (u )du
0 0

x

x

? ? ( x ? u) f (u)du ? 左边.
0

x

76

练习题
一、填空题:

0 ? 1、 ?? sin( x ? )dx ? ___________________; 3 4 3 ?? ? 3 3 2、 ? (1 ? sin ? )d? ? ________________ ; ? 0 2 2 2 3、 ?0 2 ? x dx ? _____________ ; 3 1 2 ? (arcsin x )
?

4、 ??21

1? x 5 x 3 sin 2 x 0 dx ? 5、 ?? 5 4 ________________________ .. x ? 2x2 ? 1
2 2

dx ? ___________ 324 ;

77

§ 6.4 定积分的应用
定积分的应用极其广泛, 以下仅介绍它在几何与经 济上的应用; 并希望同学们通过本节的学习能熟练地掌 握运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法—— 微元法 (元素法) 一.微元法的基本思想 如图:我们已经知道,曲边梯形AabB 的 面积S= b f ( x )dx , 这里的被积表达式 y

?

a

?(x)dx, 正好是区间[a , b]上的任意 小区间[ x, x + ? x] 上的窄曲边梯形 DEFH 面积ΔS 的近似值,

A

y=?(x)
D E

C
H

B

o a

F x x+Δx

b x
78



?s ? f ( x)?x,

?s ? f ( x)?x,
当?x = dx→0时, ΔS=?(x)dx + o(dx). 根据微分的定义有 dS= f ( x)dx .

y
A

y=?(x)

B C
H

D

于是 S= ?a f ( x )dx , o 求曲边梯形 AabB 的面积 S 的方法为:

b

a

E

F x x+Δx

b x

(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],求出总量 S 的微

分dS = ?(x)dx ;

(面积微元)

(2) 以微分表达式 ?(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积微元进行求和累加) 即可。
S ? ? dS ? ? f ( x )dx
a a b b

79

抛开 S 的具体含义,把这种思想加以抽象, 就得到

微元法思想的一般表述:
若总量A与变量 x 的变化区间[a, b]有关, 且对区间有 可加性 (即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之 和); 且在区间[x , x + d x ] 上对应分量的近似值为?(x)dx , 则有 dA=?(x)dx

总量

A ? ? dA ?? f ( x)dx
a a

b

b

数学上将这种思想方法称之为微元法.总量A的微 分dA=?(x)dx, 称为总量A 的积分微元.
80



求平面图形的面积
1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间, 且其

上下边界的方程分别为 y = ?(x)和 y = g(x) 则图形的面积为
y y=?(x)

S ? ? [ f ( x ) ? g( x )]dx
a

b

o

y=g(x)

a x x+dx

b x

81

例 1 计算由两条抛物线:y 2 ? x, y ? x 2 所围成图形的面积。 解 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形。 为了定出图形的所在范围, 应先求 出这两条抛物线的交点,为此,
?x ? 0 ?x ? 1 ?y ? x ?? , ? 解方程组 ? 2 ?y ?0 ?y ?1 ?y ? x
2

y
(1,1)

y? x

y ?x
2

y ? x2

即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1)。

o

x

x+dx

1

x

从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间。 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 dS ? ( x ? x 2 )dx
3 3 1 1 2 x 则 S ? ?0 ( x ? x )dx ? [ x 2 ? ] ? 3 3 0 3
1 2

82

例2 计算由抛物线 y??x2+1与 y?x2?x 所围图形的面积A.

? y ? ? x 2 ? 1, 解 两抛物线交点由 ? 2 y ? x ?x ?
1 1 3 ? 解得 (? , ) 及(1,0), 于是图形位于直线x= 2 2 4

与x?1之间. 取x为积分变量,

A ? ? 1 [( ? x 2 ? 1) ? ( x 2 ? x)]dx

1



? ? 1 (?2 x 2 ? x ? 1)dx
?

? 12

2 3 1 2 ? (? x ? x ? x) 3 2

2

1 ? 1 2

9 = 8
83

2. 若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间,且其左

右边界的方程分别为x =φ (y) 及x =ψ (y), 则图形的面积为
y

d

S ? ? [? ( y ) ? ? ( y )]dy
c

d

y+dy y

x=φ(y) x

o x=ψ(y) c

84

例3 计算由抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y = x - 4 所围成图

形的面积。

? y2 ? 2 x ? ?y ? x ? 4

解方程组
? x?2 ?x ? 8 ?? , ? ? y ? ?2 ? y ? 4
y
y+dy y o (2,– 2) –4 x

x?

1 2 y 2
(8,4)

即这两条抛物线的交点为 (2, -2) 及 (8, 4)。 图形在直线 y = -2 及 y = 4 之间。 取 y 为积分变量,且 y ∈[-2, 4], 微元为

x=y+4

1 2 dS ? ( y ? 4 ? y )dy 2
85



1 2 1 3 4 1 2 A ? ? ( y ? 4 ? y )dy ? ( y ? 4 y ? y ) ? 18 ?2 ?2 2 6 2
4

思考: 若选 x 为积分变量,应该如何做?

S ? ? [ x ? (? x )]dx ? ? [ x ? ( x ? 4)]dx y
0 2
(8,4)

2

8

? 18
o
–4 (2,– 2) 4 8

x

86

? 例4 求由曲线y=sinx,y=cosx及直线x=0, x ? 2

解 两线交点由 ? ?
,

所围图形的面积A.

y ? sin x, ? 2 解得 ( , ) 4 2 ? y ? cos x
? 2 ? 4

取x为积分变量,有
A ? ? (cos x ? sin x)dx ? ? (cos x ? sin x)dx
? 4 0

? (sin x ? cos x)
=2( 2 ?1).

? 4 0

? (? cos x ? sin x)

? 2 ? 4

87

x2 y 2 例5 求椭圆 2 ? 2 ? 1 所围图形的面积A. a b

解 因为椭圆关于两坐标轴对称,所以椭圆所围图形的面积 是第一象限内那部分面积的4倍,即有

A ? 4?
. 当 x?0时,t?

a

0

b a 2 ? x 2 dx a

令 x?acost,则 dx??asintdt.
? 2

? ;当x? 时,t?0.于是 2

A ? 4?? b sin t (?a sin t )dt
2

0

? 4ab ?

? 2 0

? sin tdt ? 4ab ? ?ab 4
2

88

2 例6 设曲线 y ? 1 ? x , x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形

被曲线 y ? ax 2 (a ? 0) 分为面积相等的两部分,试确定a值。
解 如图, 解方程组
? y ? 1 ? x2 1 a , ) ? 2 得交点( 1? a 1? a ? y ? ax
y
y ? 1 ? x2 y ? ax 2

而 S1 ? ?

1 1? a

0

(1 ? x 2 ? ax 2 )dx
1

a 1? a

S1

2 1 3 ? ? [ x ? (1 ? a ) x ] 1 ? a 3 3 1? a 0

S2
1 1? a
1

0

x

2 1 1 1 1 2 ? (1 ? x ) dx ? 再由 S1 ? S 得 ? 3 3 1? a 2 0 2

解之得 a ? 3

89

求由下列曲线所围成的平面图形的面积
(1)

S ? ? xdy ? ? ln ydy ? ( y ln y ? y) ? 1 1 1
e 1
90

e

e

(3) y ? x ,4 y ? x ;
2 3

1 3 1 3 1 4 4 16 S ? ? ( x ? x )dx ? ( x ? x )0 ? 0 4 3 16 3
4 2
91

1 , x轴与直线y=x及x=2; (5) y= x

S ? ? xdx ? ?
0

1

2

1

1 x2 dx ? x 2

1 0

? ln x

2 1

1 ? ? ln 2 2
92

(7) y ? e , y ? e , x ? 1;
x

?x

1 S ? ? (e ? e )dx ? (e ? e ) ? e ? ? 2. 0 e
1 x ?x x ?x 1 0

93

三. 求立体的体积
1.平行截面面积已知的立体的体积

已知介于过x轴上点x=a及x=b且垂直于x轴的 两平行平面之间的立体,其在x(a≤x≤b)处垂直于x 轴的截面面积可以用x的连续函数A(x)来表示,求 该立体的体积V. 在[a,b]内取小区间[x,x+dx],

用以底面积为A(x),高为dx的柱
体体积近似代替小区间[x,x+dx]上 对应的体积部分量,则得体积元素

dV ? A( x )dx

于是 V ?

?

b

a

A( x )dx

94

对于介于过y轴上点y?c及y?d且垂直于y轴的两平 行平面之间的立体,若在y(c≤y≤d)处垂直于y轴的截面面 积可以用y的连续函数B(y)来表示,则其体积为

V ? ? B( y )dy
c

d

95

例7 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与

底面交成角α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解 建立如图所示的坐标系, 从而底面圆的方程为
x 2 ? y 2 ? R2
–R

设x为[–R,R]上之任意一点, 过该点且垂直 x 轴的截面

x2 ? y 2 ? R2

S(x)
y

o

α

y

x

α R
x

面积为S(x),则由三角形的面积公式, 有
S( x) ?



1 1 1 y ? y tan ? ? y 2 tan ? ? ( R2 ? x 2 ) tan ? 2 2 2 R 2 3 1 R 2 2 V ? ? S ( x )dx ? ? ( R ? x ) tan ? dx ? R tan ? ?R 3 2 ?R
96

2.旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形 绕这平面内一条直线旋转一周而 成的立体 。这条直线叫做旋转轴. 圆柱、圆锥、圆台、球体
oa
b

y
y=?(x)

x

都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形
绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的 直径旋转一周而成的立体, 所以它们都是旋转体。 上述旋转体都可以看作是由连续曲线y =?(x) 、 直线

x = a 、 直线x = b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周而成的立体.

97

下面用微元法来求它的体积.
y

y
y=?(x)

y=?(x)

o a x x+dx

b

x

o a x x+dx

b

x

在[a, b]上任取一个小区间[x, x + dx], 则此小区间上的 窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积微元 (近似值)为 dV ? ? [ f ( x)]2 dx 在[a, b]上作定积分得

V ? ? ? [ f ( x)]2 dx
a

b

98

类似地, 由曲线 x =φ(y) 、 直线 y = c 、 = d(c<d)与

y 轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
y
d y+dy y

V ? ? ? [? ( y )]2 dy
c

d

o c

x=φ(y)

x

99

x 2 y2 例8 计算由椭圆 2 ? 2 ? 1所围成的图形绕x 轴旋转而 a b 成的旋转体的体积.

解 该旋转椭球体可以看作是由 b 2 y? a ? x2 a 和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体.
b2 2 V ? ? ? 2 (a ? x 2 )dx ?a a 4 ? ?ab 2 . 3
a
100

例9 求曲线

y ? 2 x ? x 2和 y = 0所围成的图形分别绕 x

轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积.
解 为了确定积分区间, 应先求

两曲线之交点.
解方程组
? y ? 2 x ? x2 ? ?y ? 0

y

(1,1)

y ? 2 x ? x2

o

x

(2,0)

x

得交点(0,0),(2,0); 顶点(1,1)

从而 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 1
绕 x 轴旋转的体积微元为

dVx ? ? (2 x ? x ) dx
2 2

在[0, 2]上作定积分得

16 Vx ? ? ? (2 x ? x ) dx ? ? 0 15
2 2 2

101

因 y ? 2 x ? x2 ? ( x ? 1)2 ? 1 ? y ? x ? 1 ? 1 ? y
y
(1,1)
x ?1? 1? y

x ?1? 1? y

o

1

(2,0) x

则绕 y 轴旋转的体积微元为
dVy ? ? [(1 ? 1 ? y )2 ? (1 ? 1 ? y )2 ]dy ? 4? 1 ? ydy



V y ? 4? ?

1

0

1 ? ydy
1 2

8 ? 4? ? (1 ? y ) d (1 ? y ) ? ? 0 3
1

102

p195 : (2) y ? x3 , x ? 2, x轴,分别绕 x轴,y轴旋转 .

(2)Vx ?π ? y dx ?π ?
2 0
2 8 2 0

2

2

0

7 x x 6dx ?π ? 7
8 2 3

2 0

128 π ? 7
8 0

Vy ?π ? 2 ? 8 ?π ? x dy ? 32 π ?π ?

0

3 5 y dy ? 32 π ?π ? ? y 3 5

64 π ? 5
103

四、 定积分的经济学应用
1.由边际函数求总函数 设某产品的固定成本为C0,边际成本函数为 C?(Q),边际收益函数为R?(Q),其中Q为产量,并假定 该产品处于产销平衡状态. 则 总成本函数 总收益函数 总利润函数

C (Q ) ? ? C ?(Q )dQ ? C0
0

Q

R(Q ) ? ? R?(Q )dQ
0

Q

L(Q ) ? ? [ R?(Q ) ? C ?(Q )]dQ ? C0
0
104

Q

例10 设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量 x(单位: 百台)的函数 C ?( x ) ? 4 ? x 总收入R(单位:万元)的 4 边际收入 R?( x ) ? 9 ? x 是产量 x 的函数 (1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各

增加多少?
(2)已知固定成本C(0)=1万元.分别求出总成本、总收益、 总利润与产量 x 的函数关系式; (3)产量为多少时, 总利润最大; 并求此时的最大总利润, 总成本及总收益各为多少?
105

解 (1)产量由1百台增加到5百台时总成本与总
收入分别为 5 x C ? ? (4 ? )dx ? 19(万元) 1 4 5 R ? ? (9 ? x )dx ? 24(万元)
1

(2)因总成本是固定成本与可变成本的和, 则总成本 函数为

C ( x ) ? C (0) ? ? C ?(t )dt
0
x

x

t 1 2 ? 1 ? ? (4 ? )dt ? 1 ? 4 x ? x 0 4 8 x 1 总收益为 R( x ) ? ? (9 ? t )dt ? 9 x ? x 2 0 2 5 2 则总利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) = 5 x ? x ? 1 8
106

5 5 2 ? 由 L( x ) ? 5 x ? x ? 1 得 L ( x ) ? 5 ? x 4 8 令 L?( x ) ? 0 得驻点 x = 4 而 L??(4) ? 0
故当产量 x = 4(百台)时, 有最大利润 L(4) = 9(万元). 此时的总成本为 及总收入为 C(4) =19 (万元) R(4) = 28 (万元).

107

2. 消费者剩余和生产者剩余
供给曲线描述的是生 产者根据不同的价格水平 所提供的商品数量,供给 曲线是单调递增的. 需求曲线则反映了顾客的购买行为.需求曲线随 价格的上升而单调递减. 在市场经济中,有时一些消费者愿意对某种商品 付出比他们实际所付出的市场价格P*更高的价格,由 此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS) .
108

CS ? ? D(Q )dQ ? P * Q *
0

Q*

右边第一项表示消费者愿 意支出的货币量,第二项 表示消费者的实际支出.
有时也有一些生产者愿意以比市场价格低的价 格出售他们的商品,由此他们所得到的好处称为生产 者剩余(PS).

PS ? P * Q * ? ? S (Q )dQ
0
109

Q*

3.资本现值与投资问题 现有货币 A0 元, 若按年利率r作连续复利计算, 则t年后的价值为A ? A0 ert元;反之,若t年后要有货币A 元,则按连续复利计算,现在应有 A0 ? Ae?rt元,称此值 为资本现值. 设在时间区间[0,T]内t时刻的单位时间收入即边际 收入(或称为收入率)为f(t), 则在时间区间[t,t+dt]内收 入的近似值为f (t )dt, 若按年利率为r的连续复利计算,
其现值为 e ? rt

f (t )dt, 在[0,T]内总收入的现值为
T -rt 0

A ? ? e f(t)d t.
110

A ? ? f (t )e -rt dt
0

T

若收入率f(t)=a(a为常数),称此为均匀收入率. 如果年利率r也为常数,则总收入的现值为

A??

T

0

1 -rt a ae dt ? a(? e ) ? (1 ? e-rt ) r r 0
-rt

T

111

五、 定积分在其他方面的应用
例11 城市人口数的分布规律是:离市中心越近人口 密度越大,离市中心越远,人口密度越小.若假设该城的 边缘处人口密度为0,且以市中心为心,r为半径的圆型 区域上人口的分布密度为 ?(r)=10000(20-r) (人/每平方千米). 试求出这个城市的人口总数N. 解 城市半径可由?(r)=10000(20-r)=0得r=20千米.
20 20 0 0

N ? ? 2?r? (r)dr ? 2000? ? (20 ? r )rdr ? 8377580(人)
112

例 12 若某公路在距第1个收费站x千米处的汽车密度 (以每千米多少辆汽车为单位)为 ? ( x ) ? 20(1 ? cos x ) , 试求距第1个收费站40千米的一段公路上有多少辆汽车.


?

40

0

20(1 ? cosx )dx ? 20(1 ? sin x ) 0 ? 800(辆)

40

? 20(40 ? sin 40)

113

2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的 旋转体的体积: (1) y ? e x , x ? 0, y ? o, x ? 1, 绕y轴;

e 2 e ? Vy ?π ?1 ? e ?π ? (ln y ) dy ?π e ?π y (ln y ) 1 ? 2? (ln y )dy ? 1 ? 1 ? 2 e 2 e e ? ?π e ?π e ? 2 π ( y ln y ) 1 ? ? dy ? ? 2 π (e ? e ? 1) ? 2 π. ? 1 ?

114

(3) y ? x , x ? y , 绕x轴;
2 2

2 5 ? x x ?1 3 4 Vx ?π ? xdx ?π ? x dx ?π ? ? ? ? 0 ? π 0 0 10 ? 2 5? 1 1

115

§6.5 广义积分
Improper integral

前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a, b]有限, 而且 还要求被积函数?(x)在[a , b]上有界. 然而实际还经常遇到 无限区间或无界函数的积分问题. 这两类积分统称为广义

积分. 其中前者称为无穷积分, 后者称为瑕积分.
一.无穷积分 形如

?

??

a

f ( x)dx, ? f ( x)dx和?
??

b

??

??

f ( x)dx 的积分,统称为无穷积分.

116

定义2 设?(x)在[a, +∞)上连续, 任取 b>a , 若极限
b ??? a

lim

?

b

f ( x)dx 存在, 则称无穷积分

?

??

a

f ( x)dx 收敛; 否则,

称无穷积分
类似地可定义

?

??

a

f ( x)dx 发散.

?
? ?

b

??

f ( x)dx ? lim
c ??

a ??? a

?
c

b

f ( x)dx (a ? b).
?? c

??

??

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ?

f ( x)dx (?c ? (??, ??))
?? c

只有当无穷积分
?? ??

?

??

f ( x)dx和?

f ( x)dx 同时收敛时, 才称

f ( x)dx 收敛.
117

dx 例1 计算广义积分 ??? 1 ? x 2
??


0

0 ?? dx dx dx ??? 1 ? x2 ? ??? 1 ? x2 ? ?0 1 ? x2 ??
0 dx dx 而? ? lim ? ?? 1 ? x 2 a ??? a 1 ? x 2

? ? ? lim [arctan x ] ? ? lim arctan a ? ?(? ) ? a ??? a ??? a 2 2 ?? dx b dx 同理? ? lim ? 0 1 ? x2 b ??? 0 1 ? x 2
0
? lim [arctan x ] ? lim arctan b ? b ??? 0 b??? 2 b

?

dx ? ? 故 ? ? ? ?? ?? 1 ? x 2 2 2
??

118

例2 讨论无穷积分 解 当 p =1时, ?? dx ?? dx ?a x p ? ?a x 当p ≠ 1时,

?
?

??

a

dx (a ? 0)的敛散性. p x
?? a ? ??.

简记为

ln x

? ??, p ? 1 ?? dx ?? ? 1? p x ?a x p ? 1 ? p a ? ? a , p ? 1 ? p ?1 ? 重要结论: ?? dx 当p > 1时, ? 收敛; a xp ?? dx 当p ≤ 1时, ? 发散. p a x
1? p

119

判断下列广义积分的 ?1
(1)

??

dx x

敛散性,若收敛,则求其值

?

??

1

dx ?? ? 2 x 1 ? ?? 此广义积分发散. x
?? 1

.(2) ?0 cosxdx ? sin x

??

? lim sin x ? sin 0 ? lim sin x
x ??? x ???

不存在,所以,此广义积分发散.
(6) ?
?? ?? d( x ? 1) dx ?? ? arctan( x ? 1) 2 2 ?? x ? 2x ? 2 ( x ? 1) ? 1

??

?? ??



,收敛.

120

二.瑕积分 若?(x)在[a, b]上有无界点(即无穷间断点), 则称积分

?

b

a

f ( x)dx 为瑕积分, 并称?(x)的无界点为瑕点.
x ?a

定义2 设?(x)在(a, b]上连续, 且 ε>0, 极限
? ?0

lim? f ( x) ? ?, 若对于任给的
b

lim ? ?

b

a ??

f ( x)dx 则称瑕积分 ? a f ( x)dx存在,
b

收敛; 否则, 称瑕积分 ?a f ( x)dx发散.

121

类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点 c(a<c<b)时, 瑕积分

?

b

a

f ( x)dx 的敛散性, 即
b b ??
?

f ( x)dx. (1)若瑕点为b, 则定义 ?a f ( x)dx ? ?lim ?0 ?a

(2)若瑕点为c(a<c<b), 则定义

?

b

a

f ( x)dx ? lim? ?
?1 ?0

c ??1

a

f ( x)dx ? lim? ?
? 2 ?0
a

b

c ?? 2

f ( x)dx.

例3 计算瑕积分
解 因 lim?
x ?a

(1) ?

dx a ?x
2 2

0

(a ? 0)

1 a2 ? x2
2

? ??
a ??

a为瑕点。
dx

则?

a

dx a ?x
2

0

? lim ? ?
? ?0

0

a2 ? x2

122

x a ?? a ?? ? ? lim arcsin ? lim arcsin ? arcsin1 ? . ? ? ? 0? ? ? 0 a 0 a 2

1 (2) ? 2 dx ?1 x
1
1 dx 0 dx 1 dx 1 解 因 lim 2 ? ?, 而? 2 ? ? 2 ? ? 2 x ?0 x ?1 x ?1 x 0 x

? ? dx 1 ?? dx ? lim (? ) ? ?? 则 ? 2 ? lim? ? 2 ? ?1 x ? ?0 ? ?0 ?1 x x ?1 0
1 dx dx 则瑕积分? 2 发散, 从而? 2 发散. ?1 x ?1 x b dx 例4 讨论瑕积分 ? (p>0)的敛散性. a ( x ? a) p 0

123

例4 讨论瑕积分

?

b

a

dx (p>0)的敛散性. ( x ? a) p

解 x = a为瑕点, 而当 p = 1时,

?

b

a

b dx dx b b d ( x ? a) ? ? lim ln x ? a ? ??; ? lim ( x ? a) p ?a ( x ? a) ? ?0? ?a ?? ( x ? a) ? ?0? a ??

而当p ≠ 1时,

?

b

a

b d ( x ? a) ( x ? a) dx ? lim ? lim ? ? 0? 1? p ( x ? a) p ? ?0? ?a ?? ( x ? a) p

1? p

b a ??
p ?1 p ?1

(b ? a)1? p ? lim[ ? ? 0? 1? p

重要结论: 当 p<1时,

1? p ? ( b ? a ) , ? 1? p ? ? ] ? ? 1? p 1? p ? ? ??,

?

b

a

dx ( x ? a ) p 收敛; 当 p≥1时,

?

b

a

dx ( x ? a ) p 发散.
124

三.?函数
定义: 广义积分?0 x? -1e? x dx(其中? 称为参变量),作为参变量? 的函数,称为 ?函数,记为 ?? ?(? ) ? ? x? -1e? x dx (? ? 0)
0
??

可以证明
广义积分? x? -1e? x dx,当? ? 0时收敛,当? ? 0时发散,
0 ??

故?(? )的定义域为? ? 0.
?函数有如下性质
(1) ?(? ? 1) ? ??(? )
(2) ?(1) ? 1

(3) ?(n ? 1) ? n! (n为自然数)

125

例5


(1) 求积分 ? x e dx. 0
7 ? 7 ? 7 ? 5 ? ? 7 ? 5 ?? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 2 ?2? 2 ?2 ? 2 2 ?2?
? 7 5 3 1 ?1? ? ? ? ? ?? ? 2 2 2 2 ?2?

??

7 2 ?x

?

??

0

?7 ? x e dx ? ? ? ? 1? ?2 ?

7 2 ?x

105 ? 1 ? ? ?? ? 16 ? 2 ? ?1? 我们将在下一章证明? ? ? ? ? ?2?
126

(2) ? e
0

??

? x2

dx
1

1 ?? ? 2 ?t ?? ? x2 解 (2) 令x ? t , 则? e dx ? ?0 t e dt 0 2
?1 1 1 ? 1 ?? 1 ?t 2 ? ? t e dt ? ?( ) ? 2 2 2 2 0

此积分是概率论中常用的积分.

127

?
?

??

1
??

dx 1 ?? 3 4 x 3x

?? 1

1 ? 3

1

dx ?? ? 2 x 1 ? ?? x

?
?
0

??

0

e

? ax

1 ? ax dx ? ? e a
?? 1

?? 1

1 ? a
x???

??

cosxdx ? sin x

? lim sin x ? sin 0 ? lim sin x
x ???

此广义积分发散.

128

总复习
一.填空题
1.函数y ? sin x ? 16 ? x 2的定义域为 [?4,?? ] ? [0, ? ].

? x,?? ? x ? 1, ? 2 2. y ? ? x ,1 ? x ? 4, 的反函数为 ?2 x ,4 ? x ? ?. ?
? x,?? ? x ? 1, ? ? x ,1 ? x ? 16, y?? ?log 2 x,16 ? x ? ??. ? ?
129

3. y ? e

sin 2

1 x

是由哪些简单函数复合 而成的
u 2

1 y ? e , u ? v , v ? sin w, w ? . x
4.函数y ? f (3 ? 2 x)的定义域为 [?1,2],则f ( x)的定义域为

[?1,5].

x2 ?1 5. lim ? x ? ?1 x ? 1

? 2.

?a ? bx2 , x ? 0, ? 6.若f ( x) ? ? sin bx 在(- ?, ? ?)上连续,则 a与b应满足关系式 , x ? 0. ? ? x

a ? b.
130

1 7.函数y ? 的第二类间断点为 x ? 6___ . __________ ln(x ? 5)
3

8. lim
n ??

n ? 9n 2
4 8

3n ? 81n ? 1

? __________ ________ .

3

9.当x ? 0时, 2 sin x ? sin 2 x与x k 是等价无穷小,则 k?

3.

10.当x ? 1 _____ ? e 时,函数ln(e ? x)是无穷小量.
1 k x ? 11.设 lim(1 ? ) ? e 2 , 则k ? ______ . 2 x ?? x f (a ? ?x) ? f (a) 12.设f ( x) ? cos x, 则 lim ?sin ____ . a ?x ?0 ?x 13.设f ( x) ? x ? 2 , 则f ?? (2) ? _________ ?1 . 1 , f ??(2) ? _____
1
131

x 14.设f ?(ln x) ? 1 ? x, 则f ??( x) ? __________ e __ .

1 dx 15.若y ? e x sin x, 则 ? __________ e x (sin x ? cos .x) _______ dy

16.设y ? f (ln x)e

f ( x)

f ( x) 1 e [ f ?(ln x) ? ____ f (ln x) f ?( x)]dx , 其中f可微,则dy ? __________ . x

x ln x 17.d ( x 3 ? 3 x ? x x ) [? 3__________ x 2 ? 3x ln x ? e (ln x ? 1)]dx ________ .

5 5 18设需求函数p( x) ? , 则x ? 1时的边际收益为 16 _________ . __________
1 ? 3x

132

19.某产品的总成本函数为 C ( x) ? 400? 3x ?

1 2 100 x , 需求函数为p ? , 2 x C ?( x) ? 3 ? x 则边际成本函数为 性 __________ __________ ,当p ? 2时,收益关于价格的弹 ER p ? 2 ? __________ _________ . ? 1 EP x ? ?____ 1 处的切线平行于直线 20.曲线y ? x 2在点__________ 4 x ? 2 y ? 1 ? 0. 22.曲线y ? xe x的渐近线是__________ y?0 __________ .

x ? 0____,单调递减区间是__________ (0,?? ) _. 21. y ? x ? e x的驻点是__________ __________
23 曲线y ? x 4 ? 2 x 3 ? 1在区间( 0,1 )内是__________ 上凸的 __________ ____ (上凸或下凸的)。

24. y ? e ? x ln(ax)在x ? 1处有极值,则a ? __________ ___ . 25.函数f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 1在[0,1]上满足拉格朗日中值定 理 1 条件的? ? ________ . 3

e

133

1 26.设x ln x为f ( x)的一个原函数,则 f ?( x) ? __________ x _______ .
1 2 27.设? f ( x)dx ? x ? c, 则? xf ( x 2 ? 1)dx ? __________ ( x __________ ? 1) ? C _ . 2 x ?1 28.设f ?(2 x ? 1) ? e x , 则f ( x) ? __________ 2e 2 ? C _____ . __________

29.?
2

1 f (ax ? b) ? C ? f (ax ? b)dx ? __________ a __________ __ .

(a ? 0)

x cos x 0 30.? dx ? __________ __________ __ . 2 ?2 1 ? x a f ( x) ? f (? x) 0 ______ . 31.设f ( x)连续,则? dx ? __________ ?a 2 3 1 32.? 2 x ? 1dx ? __________ 2 _. ?1

134

33设f ( x) ? ? 2 1 ? x 2 dx, 则f ?( x) ? __________ ? 2 x _____ 1 ? .x 4 ? 1 ? x 2
x

x

34. lim
x ?0 0

?

x

0

sin t 2 dt x3 1 x
x

1 3 . ? _________

35若? e kx dx ? 3, 则k ? __________ ?3 . 36.若?
?? 1

??

dx收敛,则p的取值范围是__________ _____ . p ?1 dx 0 在[1,2]上的最小值为 __________ _________ . 2x ?1

p?0

37.I ( x) ? ?

1

135

二.计算
1. lim x( 1 ? x 2 ? x)
2x ?1 x ) x ?? 2 x ? 1 esin x ? e x 3. lim x ?0 sin x ? x 4.讨论下列函数的连续性 ,并求连续区间 . 2.求 lim(
? ln(1 ? x) ,x ?0 ? x ?0, x ? 0 ? f ( x) ? ? ? 1? x ? 1? x , x ? 0 ? x ? ?
x ???

136

? 1 ? x sin x, x ? 0 ? 5.设f ( x) ? ? a, x ? 0 在x ? 0处连续,求a, b之值. 1 ? x sin ? b, x ? 0 ? x ? dy 6.设f ( x)可导,y ? f (a ? t ) ? f (a ? t ), 求 t ?0 . dt 1 2 7. y ? x cos , 求y? x 8.设 arcsin x ln y ? e 2 x ? tan y ? 0, 求y?.

9. f ?(sin 2 x) ? cos2 x ? tan2 x ,0 ? x ? 1, 求f ( x). 1 10.设y ? xf (sin ), 求y?, y??. x ? x ? 2t ? 1 dy 11.设由方程组? y 确定y ? y ( x), 求 . dx ?te ? y ? 1 ? 0

137

12.求 ?

1 1? e
x

dx.

13.求 ? sin ln xdx. 14.求 ?
e 1 2

1 dx. x 1 ? ln x

x2 ? 2 15.求 ? dx. 1 x 16.求由曲线y ? ln x, x轴及直线y ? ln a, y ? ln b(0 ? a ? b)所围成 平面图形的面积,并求 由此平面图形分别绕 x轴,y轴旋转而成 的立体体积。

138

17.求函数f ( x) ? x ( x ? 4)的单调区间与极值 . 18.讨论曲线y ? 3x 4 ? 4 x 3 ? 1的凸性,并求出拐点 . 1 19.求函数y ? arctanx ? ln(1 ? x 2 )的单调区间和极值, 2 并讨论其图形凸性,求 拐点.

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不定积分课件(1)

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