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安徽省2013届高三数学一轮复习 圆锥曲线与方程单元训练


安徽财经大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练: 圆锥曲线与方 程
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知两点 M(-2,0) ,N(2,0)

,点 P 满足 PM ? PN =12,则点 P 的轨迹方程为( )

x2 ? y2 ? 1 16 A.
【答案】B 2.若方程

B. x ? y ? 16
2 2

C. y ? x ? 8
2 2

D. x ? y ? 8
2 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( k ?2 5?k
B. k>5 C. k<2 或 k>5

) D. 以上答案均不对

A. 2<k<5 【答案】C

3.已知直线 m x ? y ? 1 ? 0 交抛物线 y ? x 2 于 A 、 B 两点,则△ AOB ( A 为直角三角形 C 为钝角三角形 【答案】A B 为锐角三角形 D 前三种形状都有可能

)

4.方程(x-2) 2 +(y+1) 2 =1 表示的曲线关于点 T(-3,2)的对称曲线方程是( ) 2 2 2 2 A. (x+8) +(y-5) =1 B.(x-7) +(y+4) =2 2 2 C. (x+3) +(y-2) =1 D.(x+4) 2 +(y+3) 2 =2 【答案】A 5.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为( A. x ? 2 【答案】D B. x ? ?2 ) C. x ? 1 D. x ? ?1

6.若 P (a, b) 是双曲线 x2 ? 4 y 2 ? m(m ? 0) 上一点,且满足 a ? 2b ? 0, a ? 2b ? 0 ,则双曲 线离心率为( A. 5 ) B.

5 2

C. 5或

5 2
)

D.

2 3 3

【答案】B 7.若抛物线的准线方程为 x=–7, 则抛物线的标准方程为( 2 2 2 A.x =–28y B.y =28x ( C)y =–28x 【答案】B 8.已知双曲

D.x =28y

2

x2 y 2 ? =1 的离心串为 2,则该双曲线的实轴长为( a 2 12

)

-1-

A.2 【答案】B 9.已知二次曲线

B.4

C. 2 3

D. 4 3

x2 y ? ? 1, 则当m ? [?2, ?1] 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是( 4 m
B. [

)

A. [ 【答案】C

2 3 , ] 2 2

2 6 , ] 2 2

C. [

5 6 , ] 2 2

D. [

3 6 , ] 2 2

10.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 3

)

A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 【答案】A 2 2 11.? 是第三象限角,方程 x +y sin?=cos? 表示的曲线是( ) A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆 C. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线 【答案】D 12.过点(-3,2)且与

x2 y2 ? =1 15 10 【答案】A
A.

x2 y2 ? =1 有相同焦点的椭圆的方程是( ) 9 4 y2 y2 x2 x2 y2 x2 ? ? ? B. =1 C. =1 D. =1 225 100 10 15 100 225

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 2 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F 的抛物线 y =2x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离 为 15,则线段 PF 的长为 7 【答案】 2 14.已知椭圆 .

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,直线 CD 过焦点 F1,则?F2CD 的周长为_______ 25 16

【答案】20 2 2 2 15.已知△FAB,点 F 的坐标为(1,0) ,点 A,B 分别在图中抛物线 y =4x 及圆(x-1) +y =4 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴, ,则△FAB 的周长的取值范围是

-2-

【答案】 (4, 6) 16.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? .

【答案】4 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率是

6 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C(—1,0) ,斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是否存在点 M,使 MA? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 【答案】 (1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且

a ? 5, 又c ? ea ?

6 30 ? 5? , 故b ? a2 ? c2 3 3

? 5?

x2 y2 10 5 ? 1, 即 x 2 ? 3 y 2 ? 5 ? , 故所求方程为 ? 5 5 3 3 3

(2)假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 代入 E : x 2 ? 3 y 2 ? 5 得:

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M (m,0) 则 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

??? ???? ? 1 6m ? 14 MA ? MB ? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x1 ) ? k 2 ? m2 ? m2 ? 2m ? ? 3 3(3k 2 ? 1)
要使上式与 K 无关,则有 6m ? 14 ? 0, ,解得 m ? ?

7 7 ,存在点 M (? ,0) 满足题意。 3 3

18.已知两点 A(?1, 0) 、 B(1, 0) ,点 P ( x, y ) 是直角坐标平面上的动点,若将点 P 的横坐标 保持不变、纵坐标扩大到 2 倍后得到点 Q( x, 2 y) 满足 AQ ? BQ ? 1 . (1) 求动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程;

???? ??? ?

-3-

(2)过点 B 作斜率为 ?

???? ???? ???? ? ? 2 的直线 l 交曲线 C 于 M 、N 两点,且满足 OM ? ON ? OH ? 0 , 2

又点 H 关于原点 O 的对称点为点 G ,试问四点 M 、G、N、H 是否共圆,若共圆,求出圆心 坐标和半径;若不共圆,请说明理由. 【答案】 (1)依据题意,有 AQ ? ( x ?1, 2 y), BQ ? ( x ?1, 2 y) . ∵ AQ ? BQ ? 1 , ∴ x2 ? 1 ? 2 y 2 ? 1 .

??? ?

??? ?

???? ??? ?

∴动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程是

x2 ? y 2 ? 1. 2
2 , 2

(2)因直线 l 过点 B ,且斜率为 k ? ?

? x2 2 ? 2 ? y ?1 2 ? 2 故有 l : y ? ? ,得 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . ( x ? 1) .联立方程组 ? 2 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? ? 2

? x1 ? x2 ? 1 ? 设两曲线的交点为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,可算得 ? 2. ? y1 ? y2 ? ? 2 ???? ???? ???? ? ? 又 OM ? ON ? OH ? 0 ,点 G 与点 H 关于原点对称,
于是,可得点 H (?1, ?

2 2 ) 、 G (1, ). 2 2 2 1 ? 2( x ? ) , l2 : y ? ? 2x . 4 2

若线段 MN 、 GH 的中垂线分别为 l1 和 l2 ,则有 l1 : y ?

? 2 1 ? 2( x ? ) 1 2 ?y ? 联立方程组 ? ). 4 2 ,解得 l1 和 l2 的交点为 O1 ( , ? 8 8 ? y ? ? 2x ?
因此,可算得 | O1H |? ( )2 ? (

9 8

3 2 2 3 11 , ) ? 8 8

1 2 2 3 11 . | O1M |? ( x1 ? )2 ? ( y1 ? ) ? 8 8 8

-4-

所以,四点 M 、G、N、H 共圆,圆心坐标为 O1 ( , ?

1 8

3 11 2 . ) ,半径为 8 8

x2 y2 19.如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直 a b 线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°.

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 1 【答案】(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e= . 2 2 2 2 2 (2)( 方法一)a =4c ,b =3c . 直线 AB 的方程可为 y=- 3(x-c). 2 2 2 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c , 3 3 ? ?8 得 B? c,- c? . 5 ? ?5 ?8 ? 16 所以|AB|= 1+3·? c-0?= c. ?5 ? 5 1 由 S△AF1B= |AF1|·|AB|sin∠F1AB 2 1 16 3 2 3 2 = a· c· = a =40 3, 2 5 2 5 解得 a=10,b=5 3. (方法二)设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t. 2 2 2 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos60°可得, 8 t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a· a· = a =40 3知,a=10,b=5 3. 2 5 2 5 20.过点 C(0,1)的椭圆
3 x2 y 2 ,椭圆与 x 轴交于两点 A(a, 0) 、 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b A(?a,0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.

(I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长;
-5-

??? ???? ? (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.

【答案】 (Ⅰ)由已知得 b ? 1,

c 3 x2 ? ,解得 a ? 2 ,所以椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . a 2 4 3 x ? 1 ,代入椭圆方程得 3

椭圆的右焦点为 ( 3,0) ,此时直线 l 的方程为 y ? ? 解得 x1 ? 0, x2 ? 7 x 2 ? 8 3x ? 0 , 故 | CD |? (

8 3 8 3 1 1 ,? ) , , 代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? ? , 所以 D ( 7 7 7 7

8 3 1 16 . ? 0)2 ? (? ? 1)2 ? 7 7 7

(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0且k ? ) .代入椭圆方程得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 0 . 2 1 ? 4k 2 ?8k 解得 x1 ? 0, x2 ? 2 ,代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? 2 , 4k ? 1 4k ? 1 ?8k 1 ? 4k 2 所以 D 点的坐标为 ( 2 , ). 4k ? 1 4k 2 ? 1 ? x ? ?4k , x 1 ? 2k 又直线 AC 的方程为 ? y ? 1 ,又直线 BD 的方程为 y ? ( x ? 2) ,联立得 ? 2 2 ? 4k ? y ? 2k ? 1.
1 因此 Q(?4k , 2k ? 1) ,又 P(? ,0) . k ??? ???? ? 1 所以 OP ? OQ ? (? ,0)(?4k , 2k ? 1) ? 4 . k ??? ???? ? 故 OP ? OQ 为定值.

21.抛物线 C : y 2 ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? k 相交于 A, B 两点,且 AB ? 15 (Ⅰ)求 k 的值。 (Ⅱ)在抛物线 C 上是否存在点 P ,使得 ?ABP 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F ,若存在, 求点 P 的坐标,若不存在,请说明理由。 【答案】 (Ⅰ)设 A
2

? x , y ? , B ? x , y ? ,由直线与抛物线方程联立可得:
1 1 2 2
2

4x ? 4(k ? 1) x ? k ? 0
?x ? x ? 1 ? k ? ?? k xx ? ? ? 4
1 2 2 1 2



AB ? 1 ? 2
2

2

?x ? x ?
1 2 2

2

? 4x x
1

2

可得

5 ?1 ? k ? ? k ? 15 即 k ? ?1
(Ⅱ)假设存在动点 P( x0 , y0 ) ,使得 ?ABP 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F ,

-6-

由题意可知, AB 的中点 M 坐标为 (1,1)

??? ?
由三角形重心的性质可知, PF 即 (1 ? x0 , ? y0 ) ? 2(0,1) ? ?

???? ? ? 2FM
0

? x ?1 即 P(1, ?2) 满足抛物线方程 ? y ? ?2
0

故存在动点 P( x0 , y0 ) ,使得 ?ABP 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F 22.已知 M 是以点 C 为圆心的圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上的动点,定点 D(1,0) .点 P 在 DM 上, 点 N 在 CM 上,且满足 DM ? 2DP, NP ? DM ? 0 .动点 N 的轨迹为曲线 E 。 (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)线段 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积 S 的取值范 围。 【答案】 (Ⅰ)? DM ? 2DP, NP ? DM ? 0. ∴ NP 为 DM 的垂直平分线,∴ | ND |?| NM | , 又? CN | ? | NM |? 2 2,? CN | ? | DN |? 2 2 ? 2. | | ∴动点 N 的轨迹是以点 C (?1, 0), D(1, 0) 为焦点的长轴为 2 2 的椭圆.

???? ?

??? ??? ???? ? ? ?

???? ?

??? ??? ???? ? ? ?

∴轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ) 解法一∵线段 AB 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 A、O、B 能构成三角形, 则弦 AB 不能与 x 轴垂直,故可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,

? y ? kx ? b, ? 由 ? x2 ,消去 y ,并整理,得 2 ? ? y ? 1. ?2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0.
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则

2(b 2 ? 1) 4kb x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 。 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
?| AB |? 2, ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? 2. ? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4 , ? ?

-7-

2 ?? 4kb ? 8(b 2 ? 1) ? ? (1 ? k ) ?? ? ? ? ? 4, 2 ? 1 ? 2k 2 ? ?? 1 ? 2 k ? ? ? 2

?

1 1 ? 2(1 ? b 2 ) ,?1 ? k 2 ? 1 ,? ? b 2 ? 1 . 2 1? k 2

又点 O 到直线 AB 的距离 h ?

|b| 1? k 2



?S ?

1 1 1 | AB | ?h ? h ,? S 2 ? h2 ? 2b2 (1 ? b2 ) ? ?2(b 2 ? ) 2 ? 2 2 2 1 2 ,? 0 ? S ? . 2 2

? 0 ? S2 ?

解法二:∵线段 AB 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 A、O、B 能构成三角形,则弦 AB 不 能与 x 轴垂直,故可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,

? y ? kx ? b, ? 由 ? x2 ,消去 y ,并整理,得 ? y 2 ? 1. ? ?2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0.
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

2(b 2 ? 1) 4kb , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?| AB |? 2, ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? 2. ? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4 , ? ?
2 ?? 2k 2 ? 1 4kb ? 8(b 2 ? 1) ? ? (1 ? k 2 ) ?? ? ? ? 4, ?b2 ? , ? 2 ? 1 ? 2k 2 ? 2(1 ? k 2 ) ?? 1 ? 2 k ? ? ?

又点 O 到直线 AB 的距离 h ?

|b| 1? k
2

,? S ?

1 | AB | ?h ? h 。 2

? S 2 ? h2 ?

b2 1 1 2k 2 ? 1 ? ? ? 2 2 2 1? k 2(1 ? k 2 ) 2(1 ? k ) 1 ? k

设t ?

1 1 2 1 2 2 2 ,则 S ? ? t ? t (0 ? t ? 1) ,? 0 ? S ? ,? 0 ? S ? . 2 1? k 2 2 2

-8-


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