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2013高中新课程数学(苏教版必修四)2.4平面向量的数量积2

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2.4 平面向量的数量积

学法指导
1.多动脑筋 ? 2.数形结合 ? 3.总结基本题型 ? 4.限时训练
?

向量的数量积
? ? ? 已知两个非零向量 a 与 b,它们的 ? ? ? ?? ? 夹角为 θ,我们把数量 | a | | b |cos? ? ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积,点乘)


? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

思考:向量的数量积是一个数量,那么它什么
时候为正,什么时候为负?

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

? ? b 当0°≤θ < 90°时 a ?为正; ? ? 当90°<θ ≤180°时 a ?为负。 b ? ? 当θ =90°时 a ? b 为零。

练习
? ? (1) | a |? 5, | b |? 6, ? ? 30?, a ? b ? 15 3 ? ? ? ? (2) | a |? 10, | b |? 15, ? ? 45?, a ? b ? 75 2 ? ? (3) | a |? 8, | b |? 2, ? ? 135?, a ? b ? ?8 2 ? ? ? ?

例题:
??? ? ??? ? a ? 8, b ? 7, C ? 60?,求 BC ? CA 在△ABC中, ??? ? A 解: | BC |? 8 7 ??? ? | CA |? 7 120?
??? ? ??? ? ???? ? ??? ? BC ? CA ?| BC |? | CA | cos120? 1 ? 8 ? 7 ? ( ? ) ? ?28 2

? ?

120?

B

60?

8

C

练习 cos90? ? 0,cos0? ? 1
? ? ? ? a ? b ? a?b ? 0
?2 ? 2 a ?| a |

练习
?

?2 ? 2 a ?| a |
(1) | a |? 2, (2) | a |? 10, a ? 102 ? 100

?

a ?

?2

?2

22 ? 4

(3) | a |? 8,

?

a ? 82 ? 64
a

?2

? ? 2 (4)a ? 4, | a |2 ? a ? 4 ,| a |? ?2 ? 2 ?2 ? (5)a ? 7, | a | ? a ? 7 ,| a |?
求向量模的方法

?2

?

4?2 7

数量积运算律
?

经验证,数量积满足如下运算率

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? (? a) ? b ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

常用公式

? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b ) ? a ? 2a ? b ? b
? ? ? ? ?2 ?2 (2)( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b

例题
? ? ? ? 已知 | a |? 6,| b |? 4, a与b的夹角为60?,求 ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? a ?b, a , b , (a ? 2b) ? (a ? 3b), (a ? b) , | a ? b | ? ? ? ? 解:a ? b ?| a || b | cos? ? 12
?2 ? 2 ?2 ? 2 a ?| a | ? 36 b ?| b | ? 16 ?2 ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? b ? 6b ?| a | ? | a || b | cos? ? 6| b | ? ?72 ? ? ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ?| a | ?2| a || b | cos? ? | b | ? 28 ? ?2 ? ?2 ? ? | a ? b | ? (a ? b) ? 28 | a ? b |? 28 ? 2 7

例题
? ? ? ? 已知 | a |? 8,| b |? 6, a与b的夹角为135?,求 ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? a ?b, a , b , (a ? 2b) ? (a ? 3b), (a ? b) , | a ? b | ? ? ? ? 解:a ? b ?| a || b | cos? ? ?24 2
?2 ? 2 ?2 ? 2 a ?| a | ? 64 b ?| b | ? 36 ?2 ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? b ? 6b ?| a | ? | a || b |cos? ? 6| b | ? ?152 ? 24 2 ? ? ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ?| a | ?2| a || b | cos? ? | b | ? 100 ? 48 2 ? ?2 ? ? ? ? 2 | a ? b | ? (a ? b) ? 100 ? 48 2 | a ? b |? 100 ? 48 2 ? 2 25 ? 12 2

? ? ? ? 例4 a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0 ?2 ? 2 2 a ?k b ? 0
9 ? 16k ? 0
2

3 k?? 4

投影
? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
? b
O

θ
? | b | cos? ? 0

? a

? b
O
? | b | cos? ? 0

? a

? b
O

θ

? a

? ? ? b 在 a 上的投影: | b | cos ? ? ? ? a在b上的投影: | a | cos? ? ? ? ? 数量积a ? b等于 | a | 与投影 | b | cos?的乘积。

? | b | cos? ? 0

练习
?

P119 练习 3

小结:
? ? ? ? ? 1. a? b ?| a || b | cos ?

? ? ? ? ? 2. a ? b ? a ? b ? 0
?2 ? 2 a ?| a |
可用来求向量的模

3.投影

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