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2015届《智慧测评》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习课时训练:第5篇 第3节 等比数列 Word版含解析

时间:2015-04-10


第五篇

第3节

一、选择题 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+k(k 为常数),那么下述结论正确的是( A.k 为任意实数时,{an}是等比数列 B.k=-1 时,{an}是等比数列 C.k=0 时,{an}是等比数列 D.{an}不可能是等比数列 解析:∵Sn=3n+k(k 为常数), ∴a1=S1=3+k, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n 1+k)=2×3n 1,
- -

)

当 k=-1 时,a1=2 满足 an=2×3n 1,{an}是等比数列,


当 k=0 时,a1=3 不满足 an=2×3n 1,{an}不是等比数列.


故选 B. 答案:B 2.(2014 河北石家庄一模)已知等比数列{an},且 a4+a8=2,则 a6(a2+2a6+a10)的值为 ( ) A.16 C.8 B.4 D.2

2 2 解析:a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6· a6+a6a10=a4 +2a4· a8+a2 8=(a4+a8) =4.故选 B.

答案:B 3.(2014 黑龙江省哈师大附中第三次模拟)在等比数列{an}中,若 a1+a2=1,a11+a12 =4,则 a21+a22 的值为( A.4 C.8 ) B.7 D.16

解析:设{an}的公比为 q,则 a11+a12=q10(a1+a2), 所以 4=q10,a21+a22=q20(a1+a2)=16. 故选 D. 答案:D 4.(2014 河北唐山市第三次模拟)若{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=-2,则 a5+ a6+a7 等于( A.-24 C.-48 ) B.24 D.48

2 ? ?a1q+a1q =1, 解析:由已知得? 2 3 ?a1q +a1q =-2. ?

1 解得 q=-2,a1= , 2 ∴a5+a6+a7=a5(1+q+q2)=a1q4(1+q+q2)=24.故选 B. 答案:B 5.(2014 铁岭模拟)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公比 q=2,Sk+2-Sk =48,则 k 等于( A.7 C.5 1-2k k 解析:∵Sk= =2 -1, 1-2 ∴Sk+2=2k 2-1,


) B.6 D.4

由 Sk+2-Sk=48 得 2k 2-2k=48,2k=16,k=4.


故选 D. 答案:D 6.(2014 云南省玉溪一中高三月考)已知定义在 R 上的函数 f(x)=ax(0<a<1),且 f(1) 5 31 +f(-1)= ,若数列{f(n)}(n∈N*)的前 n 项和等于 ,则 n 等于( 2 32 A.4 C.6 B.5 D.7 )

5 5 1 5 1 - 解析:由 f(1)+f(-1)= ,得 a+a 1= ,即 a+ = ,解得 a=2(舍去)或 a= ,则数 2 2 a 2 2 a1?1-qn? 1 1 1 列{f(n)}是首项为 a1= ,公比 q= 的等比数列,所以 Sn= = × 2 2 2 1-q 1 31 1 1 1- n= 得 n= ,解得 n=5,故选 B. 2 32 2 32 答案:B 二、填空题 7.(2014 山东师大附中第三次模拟)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a2· a6=9a4,a2 =1,则 a1=________. 解析:由 a2· a6=9a4 得 a2(a2q4)=9a2q2,解得 q2=9, 所以 q=3 或 q=-3(舍去), 所以由 a2=a1q, a2 1 得 a1= = . q 3 1 1- n 2 1 =1- n,由 1 2 1- 2

1 答案: 3 8.(2014 河南省洛阳市高三检测)已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,3,…,且 a5· a2n
-5

=22n(n≥3),则 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=________.
2n 解析:∵a5· a2n-5=a2 n=…=2 ,且 an>0,

∴an=2n, ∴log2a2n-1=log222n 1=2n-1,


n?1+2n-1? 2 ∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+2n-1= =n . 2 答案:n2
2 9.(2012 年高考辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,

则数列{an}的通项公式 an=______. 解析:∵2(an+an+2)=5an+1, ∴2an+2an· q2=5an· q, 即 2q2-5q+2=0, 1 解得 q=2 或 q= (舍去). 2 又∵a2 q5, 5=a10=a5· ∴a5=q5=25=32, ∴32=a1· q4,解得 a1=2, ∴an=2×2n 1=2n,故 an=2n.


答案:2n 10.(2014 北京市海淀区高三上学期期末)数列{an}满足 a1=2 且对任意的 m,n∈N*, an+m 都有 =an,则 a3=________;{an}的前 n 项和 Sn=________. am an+m 解析:∵ =an,∴an+m=an· am, am ∴a3=a1+2=a1· a2=a1· a1· a1=23=8; 令 m=1,则有 an+1=an· a1=2an, ∴数列{an}是首项为 a1=2,公比 q=2 的等比数列, 2?1-2n? n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 答案:8 2n 1-2


三、解答题 11.(2014 蚌埠质检)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1,2S2,3S3 成等差数列,且 40 S4= . 27

(1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)求证:Sn< . 2 (1)解:设等比数列{an}的公比为 q. ∵S1,2S2,3S3 成等差数列 ∴4S2=S1+3S3 即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3), ∴a2=3a3, a3 1 ∴q= = . a2 3 40 又 S4= , 27 a1?1-q4? 40 即 = , 27 1-q 解得 a1=1, 1- ∴an= n 1. 3 a1?1-qn? (2)证明:由(1)得 Sn= 1-q 1 1- n 3 = 1 1- 3 3 1 3 = 1- n< . 2 3 2 12.(2014 长春调研)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)求证:数列{an+1}是等比数列,并写出数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 4b1-1· 4b2-1· 4b3-1· …· 4bn-1=(an+1)n, 求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (1)证明:∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), 又 a1=1, ∴a1+1=2≠0,an+1≠0, ∴ an+1+1 =2, an+1

∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ∴an+1=2n,可得 an=2n-1. (2)解:∵4b1-1· 4b2-1· 4b3-1· …· 4bn-1=(an+1)n, ∴4b1+b2+b3+…+bn-n=2n2,

∴2(b1+b2+b3+…+bn)-2n=n2, 即 2(b1+b2+b3+…+bn)=n2+2n, 1 ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn= n2+n. 2


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