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对数函数


对数函数 一、教学目标 1. 在指数函数及反函数概念的基础上,使学生掌握对数函数的 概念,能正确描绘对数函数的图像,掌握对数函数的性质,并初步应 用性质解决简单问题. 2. 通过对数函数的学习,树立相互联系,相互转化的观点,渗 透数形结合,分类讨论的思想. 3. 通过对数函数有关性质的研究,培养学生观察,分析,归纳 的思维能力,调动学生学习的积极性. 二、教学重点,难点 重点是理

解对数函数的定义,掌握图像和性质. 难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系, 利用指数函数 图像和性质得到对数函数的图像和性质. 三、教学方法 启发研讨式 四、教学用具 投影仪 五、教学过程 (一) 引入新课 今天我们一起再来研究一种常见函数. 前面的几种函数都是以形 式定义的方式给出的,今天我们将从反函数的角度介绍新的函数.

反函数的实质是研究两个函数的关系, 所以自然我们应从大家熟 悉的函数出发,再研究其反函数.这个熟悉的函数就是指数函数. 提问:什么是指数函数?指数函数存在反函数吗? 由学生说出 是指数函数, 它是存在反函数的. 并

由一个学生口答求反函数的过程: 由 得 所求反函数为 .又 的值域为 . ,

那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数. (二 )对数函数的概念 1. 定义:函数 的反函数 叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的, 所以下面我们的研究就从这 个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识, 从而找出对数函 数的定义域为 ,对数函数的值域为 ,且底数 就是指数函数 . 中的 ,故有着相同的限制条件

在此基础上,我们将一起来研究对数函数的图像与性质. (三)对数函数的图像与性质 (板书) 1. 作图方法 提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为 反函数的两个函数图像之间的关系,利用图像变换法画图.同时教师

也应指出用列表描点法也是可以的,让学生从中选出一种,最终确定 用图像变换法画图. 由于指数函数的图像按 分别以 和 和 为例画图. 分成两种不同的类型,故 和 ,并

对数函数的图像也应以 1 为分界线分成两种情况

具体操作时,要求学生做到: (1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位

置,图像的变化趋势等). (2) 画出直线 (3) . 对称点 找到,变 右侧

的图像在翻折时先将特殊点 轴,而

化趋势由靠近 轴对称为逐渐靠近 可提示学生分两段翻折,在 的部分.

的图像在翻折时

左侧的先翻,然后再翻在

学生在笔记本完成具体操作, 教师在学生完成后将关键步骤在黑 板上演示一遍,画出 和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在

同一坐标系内)如图:

2. 草图.

教师画完图后再利用投影仪将 同一坐标系内,如图:



的图像画在

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代 数两个角度说明) 3. 性质 (1) 定义域: (2) 值域: 由以上两条可说明图像位于 (3) 截距:令 交点即以 得 轴的右侧. 轴无

,即在 轴上的截距为 1,与

轴为渐近线.

(4) 奇偶性: 既不是奇函数也不是偶函数, 即它不关于原点对称, 也不关于 轴对称. 时,在 上是增函数.即图

(5) 单调性:与 有关.当 像是上升的

当 函数,即图像是下降的.

时,在

上是减

之后可以追问学生有没有最大值和最小值,当得到否定答案时, 可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情 况: 当 时,有 ;当 时,有 .

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法: 当底数与真数 在 1 的同侧时函数值为正, 当底数与真数在 1 的两侧时, 函数值为负, 并把它当作第(6)条性质板书记下来. 最后教师在总结时,强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应 将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致 性) 对图像和性质有了一定的了解后,一起来看看它们的应用. (四)简单应用 (板书)

1. 研究相关函数的性质 例 1. 求下列函数的定义域: (1) (2) (3)

先由学生依次列出相应的不等式, 其中特别要注意对数中真数和底数 的条件限制. 2. 利用单调性比较大小 (板书) 例 2. 比较下列各组数的大小

(1)





(2)





(3) .





(4)



让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同, 故可以构造对数 函数利用单调性来比大小. 最后让学生以其中一组为例写出详细的比 较过程. (五)巩固练习

练习:若 (六)小结 (七)作业 略 六、板书设计

,求 的取值范围.

对数函数 一定义 二图像 三性质 例题

《对数函数》教案

哈一职 数学组 关旭


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