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数学卷·2015届四川省成都七中高二零诊模拟考试(2014.06)


成都七中 2015 届零诊模拟考试数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟
【试卷综析】试题紧扣教材,内容全面,题型设计合理、规范,体现了新课程数学教学的目 标和要求, 能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。 本试题知识 点覆盖面广,重视基本概念、基础知识、基本技能的考察,同时也考查了逻辑思维能力,运 算能力、空间想象能力以及运用所学数学

知识和方法分析问题和解决问题的能力。难度、区 分度都很好,以基础题为主,但又穿插有一定梯度和灵活性的题目,总体而言,通过这次模 拟考试,能够起到查漏补缺,发现薄弱章节,便于调整复习的作用,也能够让学生自己了解 掌握基本知识和基本技能的实际情况,做到复习心中有数. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选

项中,选出符合题目要求的一项.
1.命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 【知识点】命题的否定. 【答案解析】C 解析 :解 : ∵ 命 题 ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 是 全 称 命 题 , ∴ 命 题 ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 的 否 定 是 : ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 , 故选:C .
2 2



B. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2

【思路点拨】根 据 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 即 可 得 到 结 论 . 2.设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]} ,则 A A. [0, 2] B. [1,3) C . (1,3) D. (1, 4)

B?(



【知识点】交集及其运算. 【答案解析】B 解析 :解 : A ? { x | | x ? 1 ? ={x 丨﹣1<x<3}, | 2}

B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]}={y|1≤y≤4},
则 A∩ B={x|1≤y<3},
故选:B

【思路点拨】求出集合 A,B 的元素,利用集合的基本运算即可得到结论. 3.在极坐标系中,过点 ( 2, A. ρ ? 2 B. θ ?

?
2

) 且与极轴平行的直线方程是(
C. ρ cos θ ? 2



? 2

D. ? sin ? =2

【知识点】极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 , 简 单 曲 线 的 极 坐 标 方 程 求 解 .

【答案解析】D 解析 :解 : 先 将 极 坐 标 化 成 直 角 坐 标 表 示 , ( 2 ,

?
2

)化 为 ( 2,0 ) ,

过 ( 2,0 ) 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 为 y=2 , 再 化 成 极 坐 标 表 示 , 即 ρ sin θ =2. 故选:D . 【思路点拨】 先将极坐标化成直角坐标表示, 过 ( 2,0 ) 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 为 y=2 , 再化成极坐标表示即可. 4.已知实数 x , y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( A. x 3 ? y 3 B. sin x ? sin y )

C.

ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1)

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

【知识点】指数函数的图像与性质. 【答案解析】A 解析 :解 : ∵ 实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,∴ x>y, 3 3 A.当 x>y 时,x >y ,恒成立, B.当 x=π,y=
2 x y

时,满足 x>y,但 sinx>siny 不成立.
2 2 2

C.若 ln(x +1)>ln(y +1) ,则等价为 x >y 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 2 2 x >y 不成立. D.若
2 2



,则等价为 x +1<y +1,即 x <y ,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但

2

2

2

2

x <y 不成立.
故选:A.

【思路点拨】不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质依此判断即可. 5.已 知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形, 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) 正(主)视图 A.1 B.2 C.3 D .4 【知识点】由三视图还原实物图.菁优 俯视图 【答案解析】D 解析 :解 :由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在 长方体中形状如图所示(图中红色部分) , 利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面中,全部是直角三角形. 故选 D.

侧(左)视图

【思路点拨】由题意可知,几何体为三棱锥,将其放置在长方体模型中即可得出正确答案. 6. 对于函数 f ( x ) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一 个值,都有

f ( x) ? f (2a ? x) ,则称 f ( x) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 (

)

A. f ( x) ? cos( x ? 1)

B. f ( x) ?

x

C.

f ( x) ? tan x

D. f ( x) ? x3

【知识点】抽象函数及其应用. 【答案解析】A 解析 :解 :对于函数 f ( x ) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一 个 值,都有 f ( x) ? f (2a ? x) ,则称 f ( x ) 为准偶函数,∴函数的对称轴是 x=a,a≠0, 选项 B、C、D 函数没有对称轴;函数 f(x)=cos(x+1) ,有对称轴,且 x=0 不是对称轴, 选项 A 正确. 故选:A. 【思路点拨】由题意判断 f(x)为准偶函数的对称轴,然后依次判断选项即可. 7.执行右图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【知识点】程 序 框 图 . 【答案解析】D 解析 :解 : 若 x=t=2 , 则 第 一 次 循 环 , 1 ≤ 2 成 立 , 则 M= 第 二 次 循 环 , 2 ≤ 2 成 立 , 则 M= )

1 ×2 = 2 , S=2+3=5 , k=2 , 1

2 ×2 = 2 , S=2+5=7 , k=3 , 2

此 时 3 ≤ 2 不 成 立 , 输 出 S=7 , 故 选 : D. 【思路点拨】根 据 条 件 , 依 次 运 行 程 序 , 即 可 得 到 结 论 .

?x ? y ? 7 ? 0 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
( ) A.10 B.8 C.3 D.2 【知识点】线 性 规 划 的 简 单 应 用 【答案解析】 B 解析 : 解 :作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 : ( 阴 影 部 分 ABC ).

由 z=2x-y 得 y=2x-z , 平 移 直 线 y=2x-z , 由 图 象 可 知 当 直 线 y=2x-z 经 过 点 C 时 , 直 线 y=2x-z 的 截 距 最 小 ,

此时 z 最大.由 ?

? x=5 ? x ? y ? 7=0 解得 ? 即 C( 5, 2) , , =0 ? y=2 ?x ? 3y ?1

代 入 目 标 函 数 z=2x-y , 得 z=2 × 5-2=8 . 故 选 : B. 【思路点拨】作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 , 由 z=2x-y 可 得 -z 表 示 直 线 z=2x-y 在 直 线 上 的 截 距 , 截 距 -z 越 小 , z 越 大 , 利 用 数 形 结 合 可 求 z 的 最 大 值 9. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个 顶点的距离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素, 那么符合条件的点 P 有( ) A.4 个 C. 10 个 D.14 个 B.6 个 【知识点】新定义. 【答案解析】C 解析 :解 : 分 以 下 两 种 情 况 讨 论 : ( 1 ) 点 P 到其中两个点的的距离相等,到另外两个点的距离分别相 等, 且这两个距离相等, 此时点 P 位于正四面体各棱的中点, C A

B

.P

D

符 合 条 件 的 有 6 个 点 ; ( 2) 点 P 到 其 中 三 个 点 的 的 距 离 相 等 , 到 另 外 一 个 点 的 距 离 与 它 到 其 它 三 个 点 的 距 离 不 相 等 ,此 时 点 P 在 正 四 面 体 各 侧 面 的 中 心 ,符 合 条 件 的 有 4 个 点 ; 综 上 , 满 足 题 意 的 点 共 计 10 个 , 故 答 案 选 C. 【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可.
2 10.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的 m 2

取值范围是( A. C.

) B.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?4? ? ? 4, ??

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?

【知识点】正弦函数的图象和性质;函数的零点的定义;正弦函数的定义域和值域. 【答案解析】 B 解析 : 解: 由题意可得, ( f x0) =± , 且 =kπ+ , k∈z, 即 x0= m.

再由 x02+[f(x0)]2<m2,可得当 m2 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|, ∴ m2 > m2+3,∴ m2>4. 求得 m>2,或 m<﹣2, 故选:B. 【思路点拨】由题意可得,f(x0)=± ,且 =kπ+ ,k∈z,再由题意可得当 m2 最小

时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|,可得 m2 > m2+3,由此求得 m 的取值范围.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? 【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 .

【答案解析】1 解析 :解 : ∵ | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 , ∴ 分 别 平 方 得 a ? 2 a ? b ? b ?10, a ? 2 a ? b ? b ?6, 两 式 相 减 得 4a ? b ? 4 , 即 a ? b ? 1,故 答 案 为 : 1 . 【思路点拨】将 等 式 进 行 平 方 , 相 加 即 可 得 到 结 论 .
2 2 2 2

cos C ? 12.设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2,
则 sin B ? 【知识点】余弦定理;同角三角函数间的基本关系. 【答案解析】

1 , 4

15 解析 :解 : ∵ C 为三角形的内角,cosC= , 4
= ,

∴ sinC=

又 a=1,b=2, ∴ 由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC 得:c2=1+4﹣1=4,解得:c=2, 又 sinC= ,c=2,b=2,

∴ 由正弦定理 故答案为:

=

得:sinB=

=

=



【思路点拨】 由 C 为三角形的内角, 及 cosC 的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,再由 a 与 b 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,再由 sinC,c 及 b 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值. 13. 已 知 抛 物 线 y ? 2 px( p ? 0)上一点M( 1 ,m) 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 , 双 曲 线
2

x2 ?

y2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a = a
1 解析 :解 : 根据抛物线的焦半径公式得 1+ =5,p=8. 4
×2=﹣1,故 a= .

【知识点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 【答案解析】

取 M(1,4) ,则 AM 的斜率为 2,由已知得﹣
故答案为: .

【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得 1+ =5,p=8.取 M(1,4) ,由 AM 的斜率可求出 a 的值. 【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用,解题时要注意抛物线性质的应用.

14.随机地向半圆 0 ? y ?

2ax ? x 2 ( a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概

率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 【知识点】几何概型. 【答案解析】

?
4

的 概率为

.

1 1 ? 解析 :解 : 由已知得半圆 2 ?

(a>0)

则半圆的面积 S= 其中原点与该点的连线与 x 轴夹角小于 的平面区域面积为:S1=

故原点与该点的连线与 x 轴夹角小于

的概率 P=

=

=

故答案为: 【思路点拨】根据已知条件,分别求出题目中半圆的面积,再求出满足条件原点与该点的连 线与 x 轴夹角小于 的事件对应的平面区域的面积,然后代入几何概型,即可得到答案.

【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积 等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求 出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度 量”N,最后根据 P= 求解.
/

15、设函数 f ( x) 在其定义域 D 上的导函数为 f ( x) ,如果存 在实数 a 和函数 h( x) ,其中

h( x) 对任意的 x ∈ D ,都有 h( x) > 0 ,使得 f / ( x) = h( x)( x 2 - ax + 1), 则称函数 f ( x) 具有
性质 ? (a ) ,给出下列四个函数: ① f ( x) =

1 3 2 x - x + x + 1; 3
2 x

② f ( x) = ln x +

4 ; x +1

③ f ( x) = ( x - 4 x + 5)e ; 其中具有性质 ? ( 2) 的函数

x2 + x ④ f ( x) = 2x + 1

【知识点】命题的真假判断与应用. 2 2 【答案解析】①②③ 解析 :解 : ① f'(x)=x ﹣2x+1,若 f′ (x)=h(x) (x ﹣2x+1) ,即 2 2 x ﹣2x+1=h(x) (x ﹣2x+1) ,所以 h(x)=1>0,满足条件,所以① 具有性质 P(2) . ② 函数 f(x)=lnx+ 的定义域为

(0,+∞) .



所以
x

,当 x∈(0,+∞)时,h(x)>0,所以② 具有性质 P(2) .
2 x 2 x x

③ f'(x)=(2x﹣4)e +(x ﹣4x+5)e =(x ﹣2x+1)e ,所以 h(x)=e ,因为 h(x)>0, 所以③ 具有性质 P(2) . ④ ,





则 h(x)>0,所以④ 不具有性质 P(2) .
故答案为:① ② ③ .

,因为 h(1)=0,所以不满足对任意的 x∈D 都有

【思路点拨】因为 a=2,所以先求出函数 f(x)的导函数 f′ (x ) ,然后将其配凑成 f′ (x) =h(x) (x ﹣2x+1)这种形式,分别求出 h(x) ,然后确定 h(x)是否满足对任意的 x∈D 都 有 h(x)>0. 三、解答题: (本大题共 6 小 题,共 75 分.16-19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. 已知函数 f ( x) ?
2

sin 2 x(sin x ? cos x) . cos x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域及最大值; (Ⅱ)求使 f ( x ) ≥0 成立的 x 的取值集合. 【知识点】三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 【答案解析】 (Ⅰ)定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.最大值为 1 ? 2 (Ⅱ)x 的取值集

p ,k∈Z}. 2 p 解析 :解 : (Ⅰ) cosx≠0 知 x ? k p ,k∈Z, 2
合为{x| kπ ?

π ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p 4

即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.?????????3 分 又∵ f ( x) ?
2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2 x cos x 2

? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x)
? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

),

∴ f ( x) max ? 1 ? 2 . ???????????????????????8 分

π 2 π (Ⅱ)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ? , 4 2 4
3π π 9π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,k∈Z, 4 4 4 π 整理得 kπ ? ≤x≤ kπ ? π ,k∈Z. 4
解得 2kπ ?

结合 x≠kπ,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为 {x| kπ ?

π ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p 4

p ,k∈Z}.???????????12 分 2
π 4

【思路点拨】 (1) 根据函数 f (x) 的解析式可得 cosx≠0, 求得 x 的范围, 从而求得函数 f (x) 的定义域.再利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 1 ? 2 sin(2 x ? ) ,从而 求得函数的最大值.

π 2 π (2)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ? ,解得 x 的范围,再结合函数的 4 2 4 定义域,求得满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合. 17. 成都市为增强市民的环保意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者
中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ?20, 25? ,第 2 组 ?25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35, 40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3 ,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动, 应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

【知识点】等可能事件的概率;频率分布直方图.

第(17)题图

【答案解析】 (Ⅰ)应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.(Ⅱ)概率为 . 解析 :解 : 第 3 组的 人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人 数为 0.1×100=10. ????3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿 者,每组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

3 5

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1 .则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1 ,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1 ), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有 9 种,???10 分

9 3 = . ????12 分 15 5 【思路点拨】Ⅰ )先分别求出这 3 组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案; (Ⅱ )从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 15 种情况,其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少 有一名志愿者被抽中有 9 种情况,再利用古典概型的概率计算公式即可得出. 【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互 斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键. P 18.在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,
所以 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

PD ? CD ? BC ? 2 AD , AD // BC, ?BCD ? 90? .
(Ⅰ)求证: BC ? PC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC ?说明理由. 【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的判定; A 直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算. 【答案解析】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

D B

C

10 (Ⅲ)存在, E 为线段 PB 的中点,AE⊥平面 PBC. 5

解析 :解 : (Ⅰ)在四棱锥 P ? ABCD 中,因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PD ? BC . 因为 ?BCD ? 90? , 所以 BC ? CD . 因为 PD

z P
???4 分

DC ? D ,所以 BC ? 平面 PCD .

因为 PC ? 平面 PCD ,所以 BC ? PC .

(Ⅱ) 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .不妨设 AD ? 1 ,则

F E D A C B y

PD ? CD ? BC ? 2 .
则 D (0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(2, 2, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0, 2) . 所以 PA ? (1, 0, ?2) , PB ? (2, 2, ?2), PC ? (0, 2, ?2) . 设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) .

uur

uur

uuu r

x

uur ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PB ? 0, 所以 ? uuu .即 ? . r 2 y ? 2z ? 0 ? n ? PC ? 0 ? ?
令 y ? 1 ,则 x ? 0, z ? 1 . 所 以 n ? (0,1,1) 所以 cos ? PA, n ??

uur

?2 10 ?? 5 5? 2

所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

10 . 5

???8 分

(Ⅲ) (法一)当 E 为线段 PB 的中点时,AE⊥平面 PBC. 如图:分别取 PB,PC 的中点 E,F,连结 AE,DF,EF. ∴EF∥BC,且 .∵AD∥BC,且 ,

∴AD∥EF,且 AD=EF.∴四边形 AEFD 是平行四边形. ∴AE∥DF.∵PD=CD,∴三角形 PCD 是等腰三角形. 所以 DF ? PC .因为 BC ? 平面 PCD , 所以 DF ? BC . 因为 PC I BC ? C ,所以 DF ? 平面 PBC .所以 AE ? 平面 PBC . 即在线段 PB 上存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC .

(法二)设在线段 PB 上存在点 E ,当 PE ? ? PB (0 ? ? ? 1) 时, AE ? 平面 PBC . 设 E ( x0 , y0 , z0 ) ,则 PE ? ( x0 , y0 , z0 ? 2) .所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ? (2, 2, ?2) . 即 x0 ? 2? , y0 ? 2? , z0 ? ?2? ? 2 .所以 E (2? , 2? , ?2? ? 2) . 所以 AE ? (2? ? 1, 2? , ?2? ? 2) .由(Ⅱ)可知平面 PBC 的法向量 n ? (0,1,1) . 若 AE ? 平面 PBC ,则 AE / / n .即 AE ? ? n .解得 ? ? 所以当 PE ?

uur

uur

uur

uuu r

uuu r

uuu r

uur

1 uur PB ,即 E 为 PB 中点时, AE ? 平面 PBC . 2

1 , ? ? 1. 2
???12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)通过证明 BC⊥平面 PCD,然后证明 BC⊥PC; (Ⅱ)通过建立空间直角坐标系,求出设平面 PBC 的法向量,然后求解 PA 与平面 PBC 所成 角的正弦值; (Ⅲ)法一:当 E 为线段 PB 的中点时,AE⊥平面 PBC.分别取 PB,PC 的中点 E,F,连结 AE,DF,EF.证明四边形 AEFD 是平行四边形.然后证明 AE⊥平面 PBC.即可推出线段 PB 上是否存在点 E,使 AE⊥平面 PBC. 法二,利用空间直角坐标系,通过向量共线,求出点的坐标即可. 【典型总结】本题考查空间点的坐标的求法,直线与平面所成的角的求法,直线与平面垂 直的判断与性质的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力. 19.已知等差数列 {an } 为递增数列,且 a2 , a5 是 方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 {bn } 的
2

前 n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn ; 2

(1)求数列 {an }和{bn }的通项公式; (2)若 cn ?

3n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn an ? an ?1
2n 2n ? 1

【知识点】数列递推式;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 【答案解析】(1) an ? 2n ﹣ 1 , bn ?

2 (2) 3n

Sn ?

解析 :解 : (1)①∵等差数列 {an } 为递增数列,且 a2 , a5 是 方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,
2

? a2 ? a5 ? 12,a2 a5 ? 27, d>0, ? a2 ? 3,a5 ? 9, ?d ?

a5 ? a2 ? 2,a1 ? 1, 3

?an ? 2n ﹣ ( 1 n ? N *)
1 2 bn ; ∴令 n=1,得 b1 ? , 2 3 1 1 1 1 ﹣ bn﹣1 ,两式相减得, bn ? bn﹣ ﹣ bn , 当 n≥2 时, Tn ? 1 ? bn ; Tn﹣ 1 ?1 1 2 2 2 2
②∵ Tn ? 1 ? ∴

bn 1 ,数列{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列. ? (n≥2) bn﹣ 3 1

∴ bn ?

2 ?1? ?? ? 3 ? 3?

n ?1

?

2 * (n∈N ) . n 3

1 3n ? 2 ? n 2 1 1 3n ? bn 3 ? ? (2)∵ bn ? n , cn ? ,∴ cn ? . 3 an ? an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2n ? 1 2n ? 1

Sn =

?+
2

=



【思路点拨】 (1)①通过解方程 x ﹣12x+27=0 的两根,及公差 d>0 即可得到 a2,a5,再利 用等差数列的通项公式即可得到 a1 与 d 及 an;②当 n≥2 时,Tn ? 1 ? 两式相减得, bn ?

1 1 bn ; Tn﹣1 ? 1 ﹣ bn﹣1 , 2 2

1 1 bn﹣ ﹣ bn , ,再利用等比数列的通项公式即可得出; 1 2 2 1 1 ? (2)利用(1)的结论即可得出 cn ? ,利用裂项求和即可 2n ? 1 2n ? 1
20.巳知椭圆 M

x 2 y2 x 2 y2 的长轴长为 ,且与椭圆 : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) ? ?1 4 2 a b 2 4

有相同的离心率. (I )求椭圆 M 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与 M 有两个交点 A 、 B ,且

OA ? OB ?若存在,写出该 圆的方程,并求 | AB | 的取值范围,若不存在,说明理由.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
2 2


【答案解析】 (Ⅰ)

?4 6 ? 8 x y , 2 3? . ? ? 1(Ⅱ)存在, 圆的方程 x 2 ? y 2 ? , AB ? ? 3 8 4 ? 3 ?

解析 :解 : (I )椭圆的长轴长为 4 2 ,故 a ? 2 2 ,又与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的离 2 4

心率 e ?

x2 y 2 2 ? ? 1 .......................................3 分 ,故 c ? 2, b ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 8 4 2

(II)若 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? m, 因 l 与 C 相切,故 r ?
2 2 2 即 m ? r 1 ? k .①....................5 分

m 1? k 2



?

?

又将直线 l 方程代入椭圆 M 的方程得

?1 ? 2k ? x
2

2

? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0,

设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由韦达定理得 x1 + x2 =

?4km 2m 2 ? 8 , , ................................................................(6 分) x x ? 1 ? 2 k 2 1 2 1 ? 2k 2

由 OA ? OB ? 0 得到 x1 x2 + y1 y2 ? 1 ? k 化简得 3m ? 8 ? 8k ,②
2 2

?

2

?

?4 km 2m 2 ? 8 2 + km + m =0,....................(7 分) 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

联立①②得 r ?
2

8 。 3
2 2

综上所述,存在圆 C : x ? y ? 由r ?
2

8 ..............................................(8 分) 3

8 2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 得 AB ? ?1 ? k ? ? ? ? 3

=

? 32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 ? k2 ? ? 1 ? ? 2 4 2 4 ? 3 1 ? 4k ? 4k 3 ? 1 ? 4k ? 4k ?

? ? ? 32 ? 1 ? 32 ? ? ?1 ? k ? 0? ? ? ,12 ? ................................11 分 ? ? 3 ? 4k 2 ? 1 ? 4 ? ? 3 ? 2 k ? ?
当 k ? 0 时, AB ?
2

?4 6 ? 32 ,? AB ? ? , 2 3 ?, ? 3 3 ? ?

又当 k 不存在时, AB ?

4 6 , 3

故 AB ? ?

?4 6 ? , 2 3 ? 为所求...........................................13 分 ? 3 ?
,点 P 是椭圆上的一点,且点 P 到椭圆 E 两焦点的距

【思路点拨】 (I)根据离心率为 e= 离之和为

,求出几何量,从而可求椭圆 E 的方程; ,可确定 m

(II)先假设存在,设该圆的切线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及

的范围及所求的圆的方程,验证当切线的斜率不存在时,结论也成立. 21. 已 知 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , f ( x ) 的 定 义 域 为 (??, ??) . 当 x ? 0 时 ,

l n? ( ex ) .这里,e 为自然对数的底数. x 1 (1)若函数 f ( x ) 在区间 (a , a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; 3 k (2)如果当 x≥1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1 1 n ? ?1 2 (3)试判断 ln 与 2? ? ? ? ? n 的大小关系,这里 n ? N * ,并加以证明. ? n?1 n?1? ?2 3

f ( x) ?

【知识点】综合法与分析法(选修) ;函数模型的选择与应用;导数在最大值、最小值问题中 的应用;不等关系与不等式.

2 1 1 2 3 ? a ? 1 (2) k ? 2 (3) ln ? 2( ? ? ? 3 n ?1 2 3 4 ln(ex) 1 ? ln x ? 解析 :解 : x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? x x 1 ? x ? (1 ? ln x) ?1 ln x (1)当 x>0 时,有 f ?( x) ? x ?? 2 2 x x
【答案解析】(1)

?

n )?n n ?1

………2 分

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ; f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? x ? 1
所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ?) 上单调递减,函数 极值.由题意 a ? 0 ,且 a ? 1 ? a ?

f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的
…4 分

2 1 ,解得所求实数 a 的取值范围为 ? a ? 1 3 3 k 1 ? ln x k ( x ? 1)(1 ? ln x) ? ? ?k? (2)当 x ? 1 时, f ( x) ? x ?1 x x ?1 x ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1) ,由题意, k ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上恒成立 令 g ( x) ? x

g ?( x) ?

?( x ? 1)(1 ? ln x)?? ? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? ? x ? ln x
x2 x2

令 h( x ) ?

x ? ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号. x

所以 h( x) ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 .……6 分

因此, g ?( x) ? h( x) ? 0 2

x

g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g ( x)min
…………………8 分

? g (1) ? 2 .

所以 k ? 2 .所求实数 k 的取值范围为 ? ??, 2? (3)(方法一)由(2) ,当 x ? 1 时,即 f ( x) ? 从而 ln x ? 1 ? 令x?

2 1 ? ln x 2 ,即 . ? x ?1 x x ?1

2 2 ? 1 ? .………..10 分 x ?1 x

k ?1 (k ? 1, 2, k 2 2 ln ? 1 ? , 1 2
ln 3 2?2 , ? 1? 2 3 ……
n ?1 2?n ? 1? n n ?1

, n) ,得

ln

将以上不 等式两端分别相加,得

1 2 3 n ln(n ? 1) ? n ? 2( ? ? ? ? ) 2 3 4 n ?1 1 1 2 3 n ? ln ? 2( ? ? ? ? )?n n ?1 2 3 4 n ?1
(方法二) n ? 1 时, ln

………………………14 分

1 n ? ?1 2 ? ? ln 2 < 2? ? ? ?? ? ? ? n ? 1?1 ? 0 n ?1 n ?1? ?2 3

猜想 ln

1 n ? ?1 2 * ? 2? ? ? ?? ? ? ? n 对一切 n ? N 成立。 n ?1 n ?1? ?2 3 1 n ? ?1 2 * ? 2? ? ? ?? ? ? ? n 对一 切 n ? N 成立, n ?1 n ?1? ?2 3

欲证 ln

只需证明 ln(n ? 1) ? n ? 2? 而 ln(n ? 1) ?

n ? ?1 2 ? ? ?? ? ? n ?1? ?2 3

? ln
k ?1

n

k ?1 n ? n ? 2 ? ?1 2 , n ? 2? ? ? ?? ? ? ? ?? ?1? ? k n ? 1 ? k ?1 ? k ?1? ?2 3

而 ln

k ?1 2 ?k ? 1 ? 0, ?1 ? ? ?0 k k ?1 k ?1 k ?1 2 ? ?1 ? k k ?1

所以 ln
n

所以

? ln
k ?1

k ?1 n ? 2 ? ?? ? ?1 ? ? 成立,所以猜想正确. k k ?1 ? k ?1 ?

【思路点拨】 (1)依题意,可求得当 x>0 时,f(x)=

,从而可知 f′ (x)=﹣



利用 f′ (x)>0 可求得 0<x<1;f′ (x)<0?x>1,依题意即可求得实数 a 的取值范围; (2)依题意,可转化为求 k≤ = 取值范围; (3)由(2)知,当 x≥1 时,f(x)≥ 得 ln >1﹣ ,ln >1﹣ ,…ln ?lnx≥1﹣ >1﹣ , >1﹣ ,令 x= (k=1,2,…,n) , (x≥1)恒成立问题,构造函数 g(x)

(x≥1) ,利用导数法可求得 g(x)min=g(1)=2,从而可得实数 k 的

将以上不等式两端分别相加即可.


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