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三角函数公式证明


两角和的正弦与余弦公式: (1) (2) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

教材的思路是在直角坐标系的单位圆中, 根据两点间的距离公式推导: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; 再用诱导公式证明: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; 如图所示

:∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α。 则 B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα);C[cos(α+β),sin(α+β)]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos(α+β)-1] 2+[ sin(α+β)-0] 2; =cos2(α+β)- 2cos(α+β)+1 + sin2(α+β); =2-2 cos(α+β)。 AB2=(cosα-cosβ)2+ (sinα+sinβ)2; =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β; =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ 2-2 cos(α+β)=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ ∴ sin(α+β)= cos(90° -α-β) =cos[(90° -α)+(-β)] =cos(90° -α)cos(-β)- sin(90° -α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ

cos?2? ?

? sin ?? / 2 ? ? ? ? ? ? sin ?? / 2 ? ? ? cos?? ? ? ? cos?? / 2 ? ? ?sin ?? ? ? ? cos2 ?? ? ? sin 2 ?? ? ? 1 ? sin 2 ?? ? ? sin 2 ?? ? ? 1 ? 2 sin 2 ?? ? ? cos2 ?? ? ? 1 ? cos2 ?? ? ? 2 cos2 ?? ? ? 1

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又 tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ) 同除 cosα·cosβ,得 tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 同理,tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

正弦、余弦的和差化积公式
指三角函数中的一组恒等式

以上公式可用积化和差公式推导,也可以由和角公式得到,以下用和角公式证明之。 证明:由和角公式有,

两式相加、减便可得到上面的公式(1)、(2),同理可证明公式(3)、(4)。

正切的和差化积

(附证明)

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)【注意右式前的负号】 证明:左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立

2 注意事项编辑
在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式 化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次 口诀 正加正,正在前,余加余,余并肩 正减正,余在前,余减余,负正弦 反之亦然 生动的口诀:(和差化积) 帅+帅=帅哥[1] 帅-帅=哥帅 哥+哥=哥哥 哥-哥=负嫂嫂 反之亦然 语文老师教的口诀: 口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 赛赛之和赛口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 口口之差负赛赛 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 赛赛之差口赛收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 另一口诀: 正和正在先,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 正差正后迁,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 余和一色余,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 余差翻了天,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 另另一种口诀(前提是角度(α+β)/2 在前,(α-β)/2 在后的标准形式) : 正弦加正弦,正弦在前面,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 正弦减正弦,余弦在前面,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] 余弦加余弦,余弦全部见,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] 余弦减余弦,余弦(负)不想见,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2]

3 记忆方法编辑
和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单 记忆方法。

如何只记两个公式甚至一个
我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

而第二个公式中的-sinβ=sin(β+π),也就是 sinα-sinβ=sinα+sin(β+π),这就可以 用第一个公式解决。 同理第四个公式中,cosα-cosβ=cosα+cos(β+π),这就可以用第三个公式解决。 如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把 cos 全部转化为 sin,那样就只记住第一个 公式就行了。 用的时候想得起一两个就行了。

结果乘以 2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin 和 cos 的值域都是[-1,1], 其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以 2 是必须的。 也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系 数 2,如: cos(α-β)-cos(α+β) =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ 故最后需要乘以 2。

只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主 要是根据证明记忆, 因为如果不是同名三角函数, 两角和差公式展开后乘积项的形式都不同, 就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以 2
在和差化积公式的证明中,必须先把 α 和 β 表示成两角和差的形式,才能够展开。熟 知要使两个角的和、差分别等于 α 和 β,这两个角应该是(α+β)/2 和(α-β)/2,也就是乘 积项中角的形式。 注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以 2”,但位置不同;而只有和差化积公 式中有“乘以 2”。

使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2 的 三角函数名。

是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对 同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同 名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。 (α-β)/2 的三角函数名规律为:和化为积时,以 cos(α-β)/2 的形式出现;反之, 以 sin(α-β)/2 的形式出现。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么 α 和 β 调换位置对 结果没有影响,也就是若把(α-β)/2 替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β) /2 的形式是 cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。

余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。 当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单调性。因为 这个区间内余弦函数是单调减的, 所以当 α 大于 β 时, cosα 小于 cosβ。 但是这时对应的 (α+β) /2 和(α-β)/2 在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于 0,所以要么反过来把 cosβ 放 到 cosα 前面,要么就在式子的最前面加上负号。

积化和差 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明: sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 其他的 3 个式子也是相同的证明方法。


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