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高中文科经典导数练习


高二数学导数单元练习(文)
一、选择题 1. 一个物体的运动方程为 S=1+t+t^2 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( ) A 7 米/秒 B 6 米/秒 C 5 米/秒 D 8 米/秒
2 2. 已知函数 f(x)=ax +c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为(

) D. 0

' '

A.1

B. 2

C.-1

3 f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) , g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A f ( x) ? 2 g ( x ) C f ( x) ? g ( x ) ? 0
3

) B f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) C (??,??) D

4. 函数 y = x + x 的递增区间是( A

(??,1)

B

(?1,1)

(1,??)

5.若函数 f(x)在区间(a ,b)内函数的导数为正,且 f(b)≤0,则函数 f(x)在(a, b) 内有( ) A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 ) D.无法确定

6. f '( x0 ) =0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件
3

B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件 ) B (2,8) D 有 (

7. 曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 , p0 点的坐标为 则 ( A C

(1, 0) (1, 0) 和 (?1, ?4)
3

(2,8) 和 (?1, ?4)
) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2
'

8.函数 y ? 1 ? 3x ? x

A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-1,极大值 3

9 对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,则必有( A C



f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

B f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

y

10.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点
a
O

y ? f ?(x)

b

x



) B. 2 个
3 2

A. 1 个 二、填空题

C. 3 个

D. 4 个

11.函数 y ? x ? x ? x 的单调区间为___________________________________. 12.已知函数 f ( x) ? x ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
3

.

13.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________.
3

14.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?
三、解答题:

.

15.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程
3 2

16.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

17.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 ,
4 2

请解答下列问题: (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间。

18.已知函数 f ( x) ? ax3 ?

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 极小值; (2)试讨论曲线 y ? f ( x) 与 x 轴公共点的个数。

19.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a, b 的值与函数 f ( x) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
2

20.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m, n ? R, m ? 0 ,
3 2

(1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 x ? ? ?1,1 ? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值 范围.

参考答案

一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题 11.递增区间为: (-∞,

1 1 )(1,+∞)递减区间为( ? ,1) , 3 3 1 (注:递增区间不能写成: (-∞, )∪(1,+∞) ) 3

12. (??,0) 13. ? 14. 2n?1 ? 2

3 4

y/

x?2

? ?2n ?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 : y ? 2n ? ?2n ?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2) ,
n

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以

an ? 2n , n ?1

2 ?1 ? 2n ? ? an ? ? 2n ?1 ? 2 则数列 ? ? 的前 n 项和 S n ? 1? 2 n ? 1? ?
三、解答题: 15.解:设切点为 P(a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6 x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y |x ? a ? 3a ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
' 2

3

2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 16.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2x ,宽为 5 ? 2x

V ? (8 ? 2 x)(5 ? 2 x) x ? 4 x3 ? 26 x 2 ? 40 x

V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ?

10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18
17.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
' 3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?
18.解: (1)

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10

2 a f ' ( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1), f ( x) 极小值为 f (1) ? ? 2 a
2

(2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ?3( x ? 1) ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ②若 a ? 0 , ? f ( x) 极大值为 f (1) ? ?

a 2 ? 0 ,? f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 0 , 2 a

? f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点;
③若 0 ? a ? 2 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ④若 a ? 2 ,则 f ( x) ? 6( x ? 1) ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;
' 2

⑤若 a ? 2 ,由(1)知 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?4( 轴只有一个交点;

2 a

1 3 2 3 ? ) ? ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x a 4 4

综上知,若 a ? 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x) 的图像与 x 轴有三个 交点。 19.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

由 f (? ) ?
'

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (? ,1) 1 (??, ? ) ? x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x)
f ( x)
?
极大值

?

极小值

?

2 3 1 2 2 2 22 3 (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f (? ) ? ?c 3 2 3 27
所以函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 (? ,1) ; 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ? [?1, 2]
2

2 3

恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2
2

20.解(1) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,
2

所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6 (2)由(1)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ? 1 ?
2

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x) 的变化如下表: m

x
f ?( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?

1?
0

2 m

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?

1

?1, ?? ?
?0
单调递减

?0
调调递减

?0
单调递增

0 极大值

f ( x)

极小值

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? 在 (1 ?

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m

2 (3)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
又 m ? 0 所以 x 2 ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 所以 ? 解之得 ?? m m ? g (1) ? 0 ? ?1 ? 0 ?

4 ? m又m ? 0 3 4 所以 ? ? m ? 0 3 ?
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ?

? 4 ? 3

? ?


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