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河北省衡水中学2010届下学期高三年级第三次模拟考试数学试卷(理科)


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试卷类型:B 2010 年普通高等学校招生全国统一考试

河北省衡水中学 2010 届下学期高三年级第三次模拟考试数学试卷(理科)
说明:本试卷共 4 页,包括三道大题,22 道小题,共 150 分。考试时间 120 分钟。其中第一 道大题为选择题 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ?

P( A) ? P( B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P (A ? B ) ? P (A ) ? P (B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P n (k ) ? Cn P (1 ? P)

球的表面积公式 S ? 4? R 一、

2

球的体积公式 V ?

4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径

选择题(每小题5分,共60分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的

序号填涂在答题卡上) 1.如果复数 (m 2 ? 3m ) ? (m 2 ? 5m ? 6)i 是纯虚数,则实数 m 的值为( A.0 B. 0 或 3 C. 2 D. 2 或 3 )

2.已知全集 U=R,集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? ,B ? x | x ( ) A. ?? ?,3? ? (5,??) C. B. (??,3] ? [5,??) D. (??,3] ? (5,??)

?

2

? 7x ? 10 ? 0 ,则 C R (A ? B ) =

?

?? ?,3? ? [5,??)

3.若 S n 为等差数列 ? an ? 的前 n 项和, S 9 ? ?36 , S 13 ? ?104,则 a5 与 a7 的等比中项为 ( )A. 4 2 B.

?4 2

C.

?2 2

D. 32 ( )

4. “ | x |? 3 ”是 " x ? 3" 的 A.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 5.已知 B.必要不充分条件 D.充分必要条件 )

cos(? ? 2? ) sin(? ?

?
4

??

)

2 ,则 cos ? ? sin ? 等于( 2

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-1-

A ?

7 2

B

1 2

C

7 2

D ?

1 2

6.12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排, 若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( A . 168 B . 840 C. 20160 D. 560 )

7.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 20000 人,并根据所得数据画出了样本频率分 布直方图,为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,按月收入用分层抽样方

,3500 ) (元)段中抽取了 30 人,则在这 20000 人中共抽取的人数 法抽样,若从月收入 [3000
为( ) A .200 B 20000. C. 100 D. 40
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 O 频 率 /组 距

?x ? y ? 1 ? 8.设点 P( x , y )满足不等式组 ?x ? y ? 1 ? 0 ,则 ?y ? 0 ?
f (x , y ) ? x ? y ? 10 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为
( ) A ? 9,?11 B ? 11 2 ,?9 2 D 9 2 ,?11 C

1000 1500 2000 2500 3000 3500

4000 月 收入 (元 )

? 11 2 ,?9

9.我国储蓄存款采取实名制并收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收,某人于 2008 年 3 月 1 日存入人民币 1 万元, 存期一年, 年利率为 2.52 %, 到期时净得本金和利息共计 10239 .4 元,则利息税的税率是( A .5% B. 15% ) C. 8% D. 20%

10. 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P, 从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个截 面圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 A . 4? B. 28? C. 16? D. 112 ?

5? ,则球 O 的表面积为( 6

)

x2 y2 x2 y2 11.若双曲线 2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, m ? b ? 0 )的离心率之积大于 1, a b m b
则以 a, b , m 为边长的三角形一定是( A 等腰三角形
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) C 锐角三角形
-2-

B 直角三角形

D 钝角三角形

3 2 12. 将函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 3x 的图象按向量 a 平移后得到函数 g ? x ? 的图象, 若函数 g ? x ?

满足 g ?1 ? x ? ? g ?1 ? x ? ? 1 ,则向量 a 的坐标是(



A.

? ?1, ?1?

B.

? 2, 2 ?

C. (2, )

3 2

D. (?2, ? )

3 2

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 13.已知 (

9 a x 9 ? ) 的展开式中, x 3的系数为 ,则常数 a 的值为 4 x 2
3 的解集为 4

14.已知函数 f (x ) ? a ? log2 x 的图象经过点 A (1,1) ,则不等式 f ( x) ? 15. 直 线 Ax ? By ? C ? 0与圆x
2

? y 2? 4相交于M , N 两点, 若C 2 ? A 2 ? B 2 , 则

OM ? ON (O 为坐标原点)等于
16.给出下列命题:

? x 3 ? 2x ? 3 , (x ? 1) ? ①已知函数 f (x ) ? ? 在点 x ? 1 处连续,则 a ? 4 ; x ?1 ?ax ? 1, (x ? 1) ?
②若不等式 | x ?

1 |?| a ? 2 | ?1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 x

1? a ? 3
③不等式 (x ? 2) | x
2

? 2x ? 8 |? 0 的解集是 ?x | x ? 2}

④如果 ?A1 B 1C 1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A 2 B 2C 2 的三个内角的正弦值,则

?A1B 1C 1 为
锐角三角形, ?A 2 B 2C 2 为钝角三角形.其中真命题的序号是 (将所有真命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本题 10 分) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 ,

C?

? . 3

(Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

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-3-

18. (本题 12 分) 某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需加答 3 个问题,组 委会为每位选手都备有 10 道不同的题目可供选择,其中有 5 道文史类题目,3 道科技类 题目,2 道体育类题目,测试时,每位选手从给定的 10 道题中不放回地随机抽取 3 次, 每次抽取一道题,回答完该题后,再抽取下一道题目作答. (Ⅰ)求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率; (Ⅱ)求某选手抽到体育类题目数 ? 的分布列和数学期望 E ? .

19. (本题 12 分)如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是直角三 角形, ?ACB ? 90? ,点 B1 在底面 ABC 上的射影恰好是 BC 的中 点,且 BC ? CA ? AA 1. (Ⅰ)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 B1C1CB ; (Ⅱ)求证: BC1 ? AB1 ;
B

B1 C1

A1

A C

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-4-

(Ⅲ)求二面角 B ? AB1 ? C1 的大小.

20.(本题 12 分) 已知数列?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? 2, 2an ? 1 ? an an ?1 , bn ? an ? 1 ,数列?bn ? 的 前 n 项和为 Sn ,Tn ? S 2n ? Sn . (Ⅰ )求数列 ?bn ? 的通项公式; 、 (Ⅱ )求证: Tn ?1 ? Tn ;

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-5-

21.(本题 12 分).过点 A(-4,0)向椭圆 B,C,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ab 最大时椭圆的方程;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 引两条切线,切点分别为 a2 b2

(Ⅱ)对(Ⅰ)中的椭圆,若其左焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 y 轴交于点 M ,与椭圆的 一个交点为 Q ,且 | MQ |? 2 | QF | 求直线 l 的方程

22. (本题 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1? x ? Inx 。 ax

(1) 若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求正实数 a 的取值范围; (2) 当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2

?1 ?

? ?

Inn n? (3) 当 a ? 1 时,证明:对任意的正整数 n ? 1 ,不等式 ln

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 都成立。 2 3 4 n

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-6-

河北衡水中学三模数学(理科)试题答案 一、选择题:A 卷:ABCC D B 卷:ACBBD BAAAD CAAAD DB DC

二、填空题: (每小题5分,共20分) 13. 三、解答题: 17. (本题 10 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

4

14. ?x | 0 ? x ? 2 4 ?

? ?

1

? ?

15.

?2

16. 124

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?

8分

1 2 3 ab sin C ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 3

18. (本题 12 分) 解(Ⅰ)记 A:该选手第二次抽到的不是科技类题目; B:该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类; C:该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目.
1 1 1 1 C3 C7 C7 C 21 42 7 则 P( A) ? P( B ? C ) ? P( B) ? P(C ) ? ? 26 ? ? ? . 2 A10 A10 90 90 10

6分

(Ⅱ) ? 的取值为 0,1,2.

P(? ? 0) ?

3 1 2 1 A8 3 A2 A8 A32 A8 7 7 1 ; ; ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? . 3 3 3 A10 15 A10 15 A10 15

故 ? 的分布列为:
http://school.chinaedu.com -7-

?
P

0

1

2

7 7 1 15 15 15 7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? . 于是, ? 的期望 E? ? 0 ? 15 15 15 5
19. (本题 12 分) (Ⅰ)证明:设 BC 的中点为 M .

------

12 分

在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 B1 在底面 ABC 上的射影恰好是 BC 的中点,

? B1M ? 平面 ABC.
AC ? 平面 ABC ,

????????1 分

B1 C1

A1

? B1M ? AC .
?ACB ? 90? ,
∴ BC ? AC .

????????2 分
B A M C

B1M

BC ? M ,
????????3 分

∴ AC ? 平面 B1C1CB .

AC ? 平面 ACC1 A1 ,

? 平面 ACC1 A1 ? 平面 B1C1CB .
解法一: (Ⅱ)连接 B1C ,

??????4 分

AC ? 平面 B1C1CB ,
??????5 分

? B1C 是直线 AB1 在平面 B1C1CB 上的射影. BC ? CC1 ,? 四边形 B1C1CB 是菱形.
? B1C ? BC1 ? AB1 ? BC1 .
?????6 分 .

B1 H C1

A1

(Ⅲ)过点 B 作 BH ? AB1 交 AB1 于点 H ,连接 C1H .

B

A M C

AB1 ? BC1 ,

? AB1 ? 平面 BHC1 .

? AB1 ? C1H .
????9 分

??BHC1 是二面角 B ? AB1 ? C1 的平面角.

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-8-

设 BC ? 2 ,则 BC ? CA ? AA 1 ? 2,

B1M ? BC, BM ? MC ,

? B1C ? B1B ? 2 . ? BB1 ? B1C ? BC ? 2 . ??B1BC ? 60?. ??BCC1 ? 120? .

? BC1 ? 2 3 .

AC ? 平面 BC1 , B1C ? 平面 BC1 ,? AC ? B1C .? B1 A ? 2 2 .
在 ?BB1 A 中, 可求 BH ?

14 .∵ B1B = B1C1 , B1H = B1H , ∴R t ?B BH t? CBH 1 ?R 1 1 2

.

∴ C1H ? BH ?

14 . 2

14 14 ? ? 12 5 ? cos ?BHC1 ? 4 4 ?? . 7 14 14 2? ? 2 2 5 ??BHC1 ? ? ? arccos . 7
∴二面角 B ? AB1 ? C1 的大小为 ? ? arccos

??????????????10 分

5 . 7

??????12 分

解法二: (Ⅱ)因为点 B1 在底面 ABC 上的射影是 BC 的中点,设 BC 的中点为 O ,则 B1M ? 平面 ABC.以 O 为原点,过 O 平行于 CA 的直线为 x 轴, BC 所在直线为 y 轴, OB1 所在直线 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设
z B1 C1 A1

BC ? CA ? AA1 ? 1 , 由 题 意 可 知 ,

1 1 3 1 B(0, ,0), C (0, ? ,0), B1 (0,0, ), A(1, ? ,0) . 2 2 2 2 3 ). 设 C1 ( x, y, z) ,由 BC ? B1C1 ,得 C1 (0, ?1, 2 3 3 ? BC1 ? (0, ? , ) . 2 2
又 AB1 ? (?1, ,
y x B

A O C

1 3 ). 2 2

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-9-

1 ? 3? 3 3 ? AB1 ? BC1 ? ?1? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0. 2 ? 2? 2 2
? AB1 ? BC1 .
(Ⅲ)设平面 ABB1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 ,1) . 则? ????????6 分

? ?n1 ? BA ? 0, ?n1 ? BB1 ? 0. ?

? x1 ? y1 ? 0, ? ∴? 1 3 ? 0. ?? y1 ? ? 2 2

?n1 ? ( 3, 3,1) .
设平面 AB1C1 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 ,1) .则 ?

? ?n 2 ? AB1 ? 0, ?n 2 ? AC1 ? 0. ?

? 1 ?? x2 ? y2 ? ? 2 ∴? ?? x ? 1 y ? 2 2 ? ? 2
?n2 ? (

3 ? 0, 2 3 ? 0. 2

3 ,0,1) . 2

? cos ? n1 , n 2 ??

n1 ? n 2 5 ? . n1 n 2 7

???????????10 分

5 ? 二面角 B ? AB1 ? C1 的大小为 ? ? arccos . 7
分 20 . 解 :( 1 ) 由
2b (n ? 1? )

????????????12

bn ? an ? 1
1)

, 得

an ? bn ? 1 , 代 入 2an ? 1 ? an an ?1 , 得

? 1 bn ( ? ?b ( ? 1n 1 ) ,

整理,得 bnbn?1 ? bn?1 ? bn ? 0 ,从而有

1 1 ? ? 1, bn ?1 bn

b1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,
? 1 . n

?1? 1 ? ? ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,? ? n, 即 bn b b n ? n?

???????(5

分)
http://school.chinaedu.com - 10 -

(2)

1 S ? 1? ? n 2
Tn?1 ?

?

1 1 , ?Tn ? S 2 n ? Sn ? n n ?1
1 1 1 ? ? ? , 2n 2n? 1 2 n? 2

1 ? n? 2

?

1 ?, 2n

1 1 ? ? n?2 n?3

Tn ?1 ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 n 2? 2 n ? 1 n ? 2 2n ? 2 n ? 2 1



?

2n ? 1 ? 2n ? 2 ?

? Tn ?1 ? Tn .

???????(12 分)

21.解: (Ⅰ)由题意,其中一条切线的方程为: y ?

3 ( x ? 4) 3

-------------2 分

? 3 y? ( x ? 4) ? ? 3 联立方程组 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? ?a2 b2

消去 y 得 3b x ? a ((x ? 4) ? 3a b
2 2 2 2 2

2

即 (a 2 ? 3b 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? 3a 2 b 2 ? 0 有 ? ? 0 ,可得 a ? 3b ? 16
2 2

因为 a ? 3b ? 16 ,所以 16 ? 2 3a 2 b 2 ,即 0 ? ab ?
2 2

8 3 3

------------4 分

2 2 所以当 a ? 3b 时, ab 取最大值;求得 a ? 8, b ?
2 2

8 3
----------------6 分

故椭圆的方程为

x2 3y 2 ? ?1 8 8

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, F (?

4 3 4 3 ,0) ,设直线方程为: y ? k ( x ? ) 3 3 4 3 k) 3

设 Q( x0 , y0 ) ,则 M (0,

当 MQ ? 2QF 时, ,有定比分点公式可得:

x0 ? ?

8 3 4 3 , y0 ? k 9 9

--------------------------8 分

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- 11 -

代入椭圆解得 k ? ?

114 6
2

直线方程为 y ? ?

114 4 3 (x ? ) 6 3

----------10 分

同理当 MQ ? ?2QF 时, 16 k ? ? 故直线方程为 y ? ?

40 3

无解

114 4 3 (x ? ) 6 3
ax ? 1 (a ? 0) ax 2
ax ? 1 1 ? 0 即 a ? 恒成立。 2 ax x

------------12 分

22、解: (I)由题设可得 f '( x) ?

函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上是增函数,

? 当 x ? [1, ??) 时,不等式 f '( x) ?
当 x ? [1, ??) 时,

1 的最大值为 1,则实数 a 的取值范围是 [1, ??) ;--------------4 分 x x ?1 (Ⅱ)当 a ? 1 时, f '( x) ? 2 x ?1 ? ?1 ? ? 当 x ? ? ,1? 时, f '( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 ? ,1? 上单调递减; ?2 ? ?2 ? 当 x ? (1, 2] 时, f '( x) ? 0 ,于是 f ( x ) 在 (1, 2] 上单调递增。

3 ln e3 ? ln16 ?1? ?1? 又 f ? ? ? f (2) ? ? 2ln 2 ? ? 0 ? f ? ? ? f (2) 2 2 ?2? ?2? 1 ?1 ? 综上所述,当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 在 ? , 2 ? 上的最小值为 f (1) ? 0 ,当 x ? 时, 2 ?2 ? ?1? ?1 ? 函数 f ( x ) 在 ? , 2 ? 上的最大值为 f ? ? ? 1 ? ln 2 --------------------8 分 ?2? ?2 ? 1? x ? ln x 在 [1, ??) 上是增函数 (Ⅲ)当 a ? 1 时,由(Ⅰ)知 f (x ) ? x n ? n ? ? 1 ,则 f ? ? 对于任意的正整数 n ? 1 ,有 ? ? f (1) ? 0 n ?1 ? n ?1 ? n 1? n n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 ,? ln n ? 1 。 即 f( )? n n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1 n ?1 2 3 4 n 1 1 1 ? ln ? ln ? ln ? … ? ln ? ? ?…? 。 1 2 3 n ?1 2 3 n 2 3 4 n 1 1 1 1 ? ln n, 则 ln n ? ? ? ? … ? 成立----------12 分 而 ln ? ln ? ln ? … ? ln 1 2 3 n ?1 2 3 4 n

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