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吉林省实验中学2011届高三第一次模拟考试数学(理)试题


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吉林省实验中学 2011 届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)
A 卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)
2 2 1.已知集合 M ? x x ? 4 , N ?

x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则集合 M ? N ?

?

?

?

?





A. {x | x ? ?2} C. {x | ?1 ? x ? 2} 2.复数

B. {x | x ? 3} D. {x | 2 ? x ? 3} ( C. ? )

i (i是虚数单位 ) 的实部是 1 ? 2i 2 2 A. B. ? 5 5

1 5

D.

1 5
( )

3.命题“若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是 A.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a ? b ? 0
2 2

B.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0或b ? 0 D.若 a ? 0或b ? 0, 则a ? b ? 0
2 2

4.函数 y ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为





A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1] ( )

5.下列命题中,真命题的是 A. ?x ? ?0, ?,sinx ? cosx ? 2 C. ?x ? R,x ? x ? ?1
2

? ?? ? 2?

B. ?x ? (3 ? ?), ? 3x ?1 , x
2

D. ?x ? (

?
2

,? ),tanx ? sinx


6. 命题甲: 是 q 的充分条件; p 命题乙: 是 q 的充分必要条件, p 则命题甲是命题乙的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.从总数为 N 的一群学生中抽取一个容量为 100 的样本,若每个学生被抽取的概率为 则 N 的值 A.25 2 , 4 , 6 (

1 , 4


B.75

C.400
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D.500

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8.一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m)

则该几何体的体积(单位:m3)为





7 A. 2

9 B. 2

7 C. 3

9 D. 4

9.阅读程序框图,若输出的 S 的值等于 16,那么在程序框图中的 判断框内应填写 的条件是 ( ) A.i>5 B .i>6 C.i>7 D.i>8 10.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则该棱锥 的体积为 A.3 ( B.6 C.9 ) D.18

11.已知等差数列 {an } , a1 ? 15, S 5 ? 55 ,则过点 P(3, a2 ) ,

Q(4, a4 ) 的直线的斜率为
A. 4 B.

( C. ? 4

) D. ?

1 4

1 4

12.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物
2

线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 A.5 B.4

| AF | 的值等于 | BF |
D.2





C.3

B



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为 a 2 b2

原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为___________. 14.在全运会期间,5 名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作,则每个项 目至少有一人参加的安排方法有 . 15.若 a ?

?

2

0

xdx ,则在 (3x 2 ?

1 a x

)5 的二项展开式中,常数项为



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16.设 {an } 是一个公差为 d ( d >0)的等差数列.若 项的和 S6 ? 21 ,则 an = .

1 1 1 3 ? ? ? ,且其前 6 a1a2 a2 a3 a3a4 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 f (x) ; (Ⅱ)当 x ? [?

, ] 时,求函数 f (x) 的值域. 12 2

? ?

18. (本小题满分 12 分) 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如 图所示的茎叶图 表示. (Ⅰ)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (Ⅱ)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于 乙 的得分的概率. 甲 乙

5 7 4 1 2 31 3 2 4 2 3 7 2 3 1 0 19. (本小题满分 12 分) 已知等腰直角三角形 RBC ,其中∠ RBC =90? , RB ? BC ? 2 .点 A 、 D 分别是 RB 、 RC 的中点,现将△ RAD 沿着边 AD 折起到 △ PAD 位置,使 PA ⊥ AB ,连结 PB 、 PC . (Ⅰ)求证: BC ⊥ PB ; P (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? P 的余弦值.

C D R
本卷第 3 页(共 11 页)

A

B

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20. (本小题满分 12 分)

x y 1 x2 y2 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率, e ? 右焦点到直线 ? ? 1 的距 a b 2 a b
离d ?

21 , O 为坐标原点. 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (II)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明:点 O 到直线

AB 的 距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

1 2 x ? a ( a 为常数) ,直线 l 与函数 f ?x ?、g ?x ? 的 2

图象都相切,且 l 与函数 f ?x ? 的图象的切点的横坐标为 l. (Ⅰ )求直线 l 的方程及 a 的值; (Ⅱ )当 k>0 时,试讨论方程 f 1 ? x

?

2

? ? g?x? ? k 的解的个数.

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请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,直线 MN 切⊙ 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 O BD 相交于点 E. (Ⅰ)求证:△ABE≌△ACD; (Ⅱ)若AB=6,BC=4,求AE. A D E N

B M 23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 3 . (Ⅰ)解不等式 f ( x ) ≤4; (Ⅱ)若存在 x 使得 f ( x) ? a ≤0 成立,求实数 a 的取值范围.

C

24. (本小题满分 10 分 ) 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6



(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程 (Ⅱ)设 l 与圆 x2+y2=4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.
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参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A 9 A 10 B 11 C 12 C

]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. 2 14.150 15.

15 16

16.n

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 74 分) 17.解: (1) f ( x) ?

1 ? cos 2?x 3 1 ? 3 sin ?x cos?x ? sin 2? ? cos2 ?x 2 2 2

?

1 ? 1 ? s i n2?x ? ) ? . ( 2 6 2

∵函数 f (x) 的最小正周期为 ? , 且? ? 0,

2? ? 1 ? ? , 解得 ? ? 1,? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? ????6 分 2? 6 2 ? ? ? ? 5? ] ,根据正弦函数的图象可得: (2)? x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , 12 2 6 3 6 ?
当 2x ? 当 2x ?

?

6

?

?

2

,即x ?

?

3

时, g ( x) ? sin( 2 x ?

?

6

) 取最大值 1.

?
6

??

?
3

, 即x ? ?

?
12

时, g ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) 最小值 ?

3 . 2

1 3 ? 1 3 1? 3 3 ? ? ? s i n2(x ? ) ? ? ,即f ( x)的 值 域 为 [ , ] ????12 分 2 2 6 2 2 3 2
18.解: (Ⅰ)运动员甲得分的中位数是 22,运动员乙得分的中位数是 23???2 分 (Ⅱ)? x甲 ?

14 ? 17 ? 15 ? 24 ? 22 ? 23 ? 32 ? 21 ???????3 分 7 12 ? 13 ? 11 ? 23 ? 27 ? 31 ? 30 x乙 ? ? 21 ???????4 分 7
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S

2 甲

? 21-14? ? ? 21-17 ? ? ? 21-15? ? ? 21-24? ? ? 21-22? ? ? 21-23? ? ? 21-32? ?
2 2 2 2 2 2

2

7

?

236 7

???????????????????????????????5 分
2 S乙 ?

? 21-12? ? ? 21-13? ? ? 21-11? ? ? 21-23? ? ? 21-27 ? ? ? 21-31? ? ? 21-30?
2 2 2 2 2 2

2

7

?

466 7

???????????????????????????????????6 分
2 2 ?S甲 ? S乙 ,从而甲运动员的成绩更稳定????????????7 分

(Ⅲ)从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49 ??8 分 其中甲的得分大于乙的是:甲得 14 分有 3 场,甲得 17 分有 3 场,甲得 15 分有 3 场 甲得 24 分有 4 场,甲得 22 分有 3 场,甲得 23 分有 3 场,甲得 32 分有 7 场,共计 26 场 ?????10 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 P ?

26 ????????????12 分 49

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点, ∴ AD // BC 且AD ?

1 BC . 2
0

?? 2 分

∴ ∠ PAD ? ?RAD ? ?RBC ? 90 . ∴ PA ? AD 又 PA ⊥ AB , DA ? AB ? A ∴ PA ? 面ABCD ∴ PA ? BC ∵ BC ? AB, PA ? AB ? A , ∴ BC ⊥平面 PAB . ∵ PB ? 平面 PAB , ∴ BC ? PB . ?? 4 分 ?? 6 分
P z

(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . 则 D (-1,0,0) C (-2,1,0) , ,

P (0,0,1) .∴ DC =(-1,1,0) ,

C D

DP =(1,0,1),
?

??8 分

R x

A

B

y

设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

? ???? ?n ? DC ? ? x ? y ? 0 ? ??10 分 ? ? ? ??? ?n ? DP ? x ? z ? 0 ?
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(第 19 题图)

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令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? ?1 , ∴ n ? (1,1,?1) . 显然, PA 是平面 ACD 的一个法向量 PA =( 0,0, ? 1 ) .

?

? ? n ? PA 1 3 ? ? ∴ cos< n , PA >= ? . 3 3 ?1 n ? PA
∴ 二面角 A ? CD ? P 的余弦值是 20.解: (I)由 e ?

3 . 3

??????12 分

1 c 1 得 ? 即a ? 2c,? b ? 3c. 2 a 2
x y 21 ? ? 1 的距离为 d ? , a b 7

由右焦点到直线

得:

| bc ? ab | a ?b
2 2

?

21 , 7

解得 a ? 2, b ? 3.

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? kx ? m,

与 椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立消去 y 得 4 3

3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2kmx? m 2 ) ? 12 ? 0,
x1 ? x2 ? ? 8km 4m 2 ? 12 , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0.
即 (k ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0,
2 2

? (k 2 ? 1)

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2

整理得 7m ? 12(k ? 1)

所以 O 到直线 AB 的距离
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d?

|m| k 2 ?1

?

12 2 21 ? . 7 7

????8 分

? OA ? OB,?OA2 ? OB2 ? AB2 ? 2OA ? OB ,
当且仅当 OA=OB 时取“=”号。 由 d ? AB ? OA ? OB得d ? AB ? OA ? OB ?

AB 2 , 2

? AB ? 2d ?

4 21 , 7
4 21 . 7
????13 分

即弦 AB 的长度的最小值是 21.解: (1)

1 , f ' ?1? ? 1, 故直线l的斜率为 ,切点为(,f ?1?) 1 1 x 即?1,0?, l : y ? x ? 1 ? ①
③ ? 1 ? 又 ? g ' ?x ? ? x,? g ' ?1? ? 1② , 切点为?1, +a ?. ? 2 ? 1 ?1 ? ? l : y ? ? ? a ? ? x ? 1,即y ? x ? ? a ② 2 ?2 ? ③

f ' ?x ? ?

1 1 比较① 和② 的系数得 ? ? a ? ?1,? a ? ? ②。 2 2 1 2 1 2 2 (2)由f 1 ? x ? g ? x ? ? k , 即 ln 1 ? x ? x ? ? k 2 2

?

?

?

?

设y1 ? ln 1 ? x 2 ?

1 2 1 x ? , y2 ? k 2 2 2x x?1 ? x ?? x ? 1? y '1 ? ?x? . 2 1? x 1? x2 令y '1 ? 1, 解得x ? 0,?1,1.

?

?

x
y '1

?? ?,?1?
+ ↗

-1 0 极 大 值 ln2

(-1,0) - ↘

0 0

(0,1) +

1 0 极 大 值 ln2

?1,???
- ↘

y1

极小值

1 2



由函数 y1 在 R 上各区间上的增减及极值情况,可得 (1)当 0 ? k ?

1 时有两个解; 2
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(2)当 k ? (3)当

1 时有 3 个解; 2

1 ? k ? ln 2 时有 4 个解 2

(4)当 k=ln2 时有 2 个解; (5)当 k ? ln 2 时无解。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(Ⅰ )在 ΔABE 和 ΔACD 中, ∵ AB ? AC ∠ ABE=∠ ACD………………2 分 又,∠ BAE=∠ EDC ∵ BD//MN ∴ EDC=∠ ∠ DCN ∵ 直线是圆的切线, ∴ DCN=∠ ∠ CAD ∴ BAE=∠ ∠ CAD ∴ ABE ? Δ ACD (角、边、角)……………………………5 分 Δ (Ⅱ ) ∵ EBC=∠ CM ∠ ∠ B BCM=∠ BDC ∴ EBC=∠ ∠ BDC=∠ BAC BC=CD=4 又 ∠ BEC=∠ BAC+∠ ABE=∠ EBC+∠ ABE=∠ ABC=∠ ACB ∴ BC=BE=4 ……………………………8 分 设 AE= x ,易证 ΔABE∽ ΔDEC ∴

DE DC 4 ? ? x AB 6

? DE ?

2 x 3

又 ∴4 ?

AE ? EC ? BE ? ED
2 x ? x(6 ? x ) 3

EC ? 6 ? x
x? 10 ……………………………10 分 3

? ? ? 3 t ?x ? 1? ? x ? 1 ? t cos 6 ? ? 2 23.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 t ?x ? 1? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

…………………5 分

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2
…………………10 分

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
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?? x ? 4, x ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 24.解: (Ⅰ) y ? 2 x ? 1 ? x ? 3 ? ?3 x ? 2, ? ? x ? 3, 2 ? x ? 4, x ? 3 ? ? ?

O y

y?4

?

1 2

3

x

做出函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 3 的图像,它与直线 y ? 4 的交点为(-8,4)和(2,4).

2 x ? 1 ? x ? 3 ≤4 的解集为[-8,2].
(Ⅱ)由 y ? 2 x ? 1 ? x ? 3 的图像可知当 x ? ? ∴存在 x 使得 f ( x ) ? a ≤0 成立 ? -a≥ f ( x )min

(6 分)

1 7 时, f ( x )min ? ? . 2 2 7 (10 分) ? a≤ 2

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