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福建省2014届南擢八闽联盟理科数学最后一卷


2014 福建南擢八闽联盟高考理科数学最后一卷
1.如图,在复平面内,复数 Z1 , Z2 对应的向量分别是 OA, OB, 则 | Z1 ? Z 2 | =( )A A. 2 B.3 )C C. (0, C. 2 2 D. 3 3

2. 抛物线 y ? 4 x 2 的焦点坐标为 ( A. (0,1) B. (1,0)

1 )

16

D. (

1 ,0 ) 16

3. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形, 则该几何体的侧面积为( )C

D. 4 ? 4 3 4 4. 与直线 x ? y ? 4 ? 0 相切,与曲线 y ? ( x ? 0 ) x 有 公 共 点 且 面 积 最 小 的 圆 的 方 程 为 A 2 2 A. x ? y ? 8 B.( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 18 C.x 2 ? y 2 ? 4 D.( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 5. 在右图的算法中,如果输入 A=187, B=22,则输出的结果是( A. 11 B.2 C.17 D .4 c )

2 6 3 C. 4 3 ? 4 7
A.

B. 4 ? 4 3 ? 4 7

6.已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列

{cos an } 是等比数列,则其公比为( B
A. 1 B. ?1



C. ?1

D. 2
(第 5 题图)

1 7..已知集合 A={x∈R| <2x<8},B={x∈R|-1<x<m+1},若 x∈B 成立 2 的一个充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( )D

C.[2,+∞) D.(2,+∞) a 5 ? 2 8.已知 a ? ?0 ( 3 cosx ? sinx)dx ,则二项式 ( x ? ) 展开式中第三项的系数为( D x
A.80 B.-80
2

A.[1,+∞)

B.(1,+∞)

C.-40

D.40

C :x ? 9.已知 F 1 、 F2 为双曲线

y2 ? 1的左、右焦点, P 为双曲线 C 上一点,且 24

点 P 在第一象限。则 A. 3

PF1 PF2
B. 3

4 ? ,是 △PF1F2 内切圆半径为 ( 3
C. 2 D. 2

)C

x 10. 已知函数 f ( x) ? e ? a ln x 的定义域是 D,关于函数 f ( x) 给出下列命题:

①对于任意 a ? (0,??) ,函数 f ( x) 是 D 上的减函数; ②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f ( x) 存在最小值; ③对于任意 a ? (0,??) ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x) >0 成立; ④对于任意 a ? (??,0) ,使得函数 f ( x) 有两个零点。 其中正确命题的个数是( A 1 B 2 C )B 3 D 4 .

11. .已知随机变量 ?

N (0, ? 2 ) ,若 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 P(? ? ?2) ?

?0 , 12. 设 A、B、C、D 是 半 径 为 1 的 球 面 上 的 四 个 不 同 点 , 且 满 足 A B? A C AC ? AD ? 0 ,AD ? AB ? 0 , 用 S1、 △ ACD 、 △ ABD 的面积, S2 、 S3 分别表示△ ABC 、
则 S1 ? S2 ? S3 的最大值是 .

?? 1 ? x ?? ? ,0 ? x ? 2 13 已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?? 2 ? 若 ?log x.x ? 2 ? 16
关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? a ? f ( x) ? b ? 0 (a、b ? R) 有且只有 7 个不同实数根,则实数 a 的 取值范围是 .

? 1) ,B(4 , 0) ,C (2 , 2) 。平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC 14.已知点 A(1,
y) 组成的区域。若区域 D 的面积为 8,则 a ? b ( 1 ? ? ? a ,1 ? ? ? b )的点 P( x ,

的最小值为

。4
3 2

15. 若 a , b , c 为关于 x 的方程 x ? x ? x ? m ? 0 的三个实根,则 m 的最小值





16. (本小题满分 13 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业 班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进 行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知 频率 从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04, 0.10, 0.14, 0.28, 0.30. 组距 第 6 小组的频数是 7. (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中 毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不合格 的 ...

人数,求 X 的分布列及数学期望; (3) 经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现甲、 乙各投掷一次,求甲比乙投掷远的概率.

17、 (本题满分 13 分)已知圆锥母线长为 6,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点,

AB 是底面圆的直径,底面半径 OC 与母线 PB 所成的角的大小等于 ? .
(1)当 ? ? 60? 时,求异面直线 MC 与 PO 所成的角的余弦值; (2)当三棱锥 M ? ACO 的体积最大时,求 ? 的值.
M

P

18. 已知复数 z1 ? cos x ? i, z2 ? 1 ? isin x, x ? R .
A O

B

(1)求 | z1 ? z2 | 的最小值; (2)设 z ? z1 ? z2 , 记 f ( x) ? Imz (Imz 表示复数 z 的虚部). 将函数 f ( x) 的图像上所有点的横 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把所得的图像向右平移 19 已知 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

? 个单位长度,得到函 2

1 ? 3x ? 1。 x ?1

(1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2 3 4 ? ? ? 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 32 ? 1 正整数 n 均成立。

(2)求证:

?

n ?1 1 ? ln(2n ? 1) 对一切 2 4 ? n ?1 4

2 20. 如 图 , 直 线 l : y ? kx ? b 与 抛 物 线 x ? 2 py ( 常 数 p ? 0 ) 相 交 于 不 同 的 两 点

A( x1,

,线段 AB 的中点为 D ,与直线 y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,且 x2 ? x1 ? h ( h 为定值)

l:y ? kx ? b 平行的切线的切点为 C (不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个
公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点为切点) . (1)用 k 、 b 表示出 C 点、 D 点的坐标,并证明 CD 垂直于 x 轴; (2)求 ?ABC 的面积,证明 ?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关; (3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连 AC 、 BC ,
y

再作与
B

AC 、 BC 平行的切线,切点分别为 E 、 F ,小张马上写出了 ?ACE 、 ?BCF 的面积,由此小张求出了直线 l 与抛物线围成的
面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由.
A C D

x

O

21.(1)已知矩阵 A ? ?

? 3 2? ?1 0 ? 的逆矩阵 B ? ? ?. ? ?1 1 ? ?2 1?

(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵; (Ⅱ)若矩阵 X 满足 AX ? B ,求矩阵 X.

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cosθ ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立
? 3 x ?5? t ? ? 2 平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) . ?y ? 1 t ? ? 2 (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该 矩形的面积.

(3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式: 2x ? m ? 1 的整数解有且仅有一个值为 2. (Ⅰ)求整数 m 的值; 4 4 4 2 2 2 (Ⅱ)已知 a, b, c ? R ,若 4a ? 4b ? 4c ? m ,求 a ? b ? c 的最大值

参考答案 1—10ACCAC 11 0.2 12 2 BDDCB 13 - 2 < a < -

5 4

14

4

15

?

5 27

16.(本小题满分 13 分) 解:(1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14
(4

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). 分)

(2) X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为

14 7 7 ? ,∴ X ~ B (2, ) . 50 25 25

P( X ? 0) ? ( P( X ? 2) ? (

18 252 18 2 324 1 7 , P ( X ? 1) ? C2 , ( )( ) ? ) ? 25 25 625 25 625
7 2 49 . ) ? 25 625
(7 分)

所求分布列为

X P
E( X ) ? 2 ?

0
324 625

1
252 625

2
49 625

7 14 ? 25 25 (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x 、 y 米,则基本事件满足的区域为

(9 分)

?8≤x≤10 ,事件 A “甲比乙投掷远的概率”满足 ? ?9.5≤y≤10.5
的区域为 x ? y ,如图所示.

y

10.5 9.5

D A 8 9 F

1 1 1 ? ? 1 由几何概型 P( A) ? 2 2 2 ? . 1? 2 16

C E B

(13 分)
10

x

17 解: (1) 连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC . 又 PO ? 62 ? 42 ? 2 5 ,? MD ? 5 .又 OC ? 4,OM ? 3 .

P

MD / / PO ,? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角. MO / / PB ,? ?MOC ? 60? 或 120? .?????5 分
当 ?MOC ? 60? 时,? MC ? 13 .
M

? cos ?DMC ?

MD 65 , ? MC 13

A

D C

O

B

MD 185 当 ?MOC ? 120? 时,? MC ? 37 .? cos ?DMC ? , ? MC 37

综上异面

直 线 MC 与 PO 所 成 的 角 余 弦 值 等 于 cos ?DMC ?

MD 185 或 ? MC 37

cos ?DMC ?

MD 65 ? .??????8 分 MC 13

(2)

三棱锥 M ? ACO 的高为 MD 且长为 5 ,要使得三棱锥 M ? ACO 的体积最大只

要底面积 ?OCA 的面积最大.而当 OC ? OA 时, ?OCA 的面积最大.????10 分 又 OC ? OP ,此时 OC ? 平面PAB ,? OC ? PB , ? ? 90? ??????12 分 18.解(1)∵ z1 ? cos x ? i, z2 ? 1 ? isin x, x ? R , ∴ | z1 ? z2 |?

(cos x ? 1) 2 ? (1 ? sin x) 2

? ? 3 ? 2 2 sin( x ? ) . 4
∴当 sin( x ?

?
4

) ? ?1 ,即 x ? 2k ? ?

? (k ? Z) 时, 4

| z1 ? z2 |min ? 3 ? 2 2 (? 2 ? 1) .
(2)∵ z ? z1 ? z2 , ∴ z ? z1 ? z2 ? sin x ? cos x ? (1 ? sin x cos x)i . ∴ f ( x) ? 1 ? sin x cos x ? 1 ?

1 sin 2 x( x ? R) . 2

将函数 f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后,得到的图 像所对应的函数是 y1 ? 1 ? 把 函 数 y ? 1?

1 ? sin x 的图像向右平移 个单位长度,得到的图像对应的函数是 2 2 1 ? y2 ? 1 ? sin( x ? ) . 2 2
∴ g ( x) ? 1 ?

1 sin x . 2

1 ? 1 sin( x ? ) ? 1 ? cos x( x ? R) . 2 2 2

19. f ?( x) ?

a 1 3( x ? 1)2 ? a( x ? 1) ? 1 3x 2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 。 ? ? 3 ? ? x ? 1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

若 a ? ?2 ,则 a ? 6 ? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。此时, f ( x) 在区间 ?0 , ? ?? 上 为增函数。 ∴
x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 。 a ? ?2 符合要求。

若 a ? ?2 ,则方程 3x2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 ? 0 有两个异号的实根,设这两个实根

为 x1 , x2 ,且 x1 ? 0 ? x2 。 ∴

0 ? x ? x2 时 , f ?( x )? 0。 f ( x) 在 区 间 ?0 , x2 ? 上 为 减 函 数 ,

f( x f(0 ?) 。 0 2 )?
∴ ∴
a ? ?2 不符合要求。

? ?? 。 a 的取值范围为 ??2 ,
1 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立。 x ?1

(2)由(1)知, x ? 0 时,不等式 ?2 ln( x ? 1) ? ∴
x ? 0 时,

1 ? 3x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) 恒成立。 x ?1 2 1 2 2 令x? ( k ? N* ) ,得 ? 3? ? 1 ? 2ln( ? 1) , 2 2k ? 1 2 k ? 1 2 k ? 1 ?1 2k ? 1 8k ? 8 2k ? 1 ? 2 ln 整理得 。 2 4k ? 1 2k ? 1 k ?1 1 2 k? 1 ? ln ∴ 。令 k ? 1 ,2,3,?, n ,得 2 4k ? 1 4 2 k ? 1 2 1 3 3 1 5 4 1 7 ? ln ? ln ? ln , , , ? , 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 1 4 ? 2 ?1 4 3 4 ? 3 ?1 4 5 n ?1 1 n ?2 1 ? ln 。 2 4 ? n ? 1 4 2n ? 1 将上述 n 个不等式的左右两边分别相加,得 2 3 4 n ?1 1 3 5 7 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? ln( ? ? ? ? ) ? ln(2n ? 1) 2 2 2 2 4 ?1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4 ? 3 ? 1 4 ? n ?1 4 1 3 5 2n ? 1 4 。 2 3 4 n?1 1 ? ? ? ? ? ln(2n ?1)对一切正整数 ∴ 2 2 2 2 4 ? 1 ? 1 4 ? 2 ? 1 4? 3 ? 1 4?n ? 1 4 n 均成立。
20.解: (1)由 ? 点 D( pk , 设 切

? y ? kx ? b ? x ? 2 py
2

? x 2 ? 2 pkx ? 2 pb ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ?2 pb

pk 2 ? b)
线 方 程 为

y ? kx ? m





y

k x 2 m ?y ? ? ? x ?2 ? 2 x ? 2 p y ?

p? k 2 ? x

0 p ,m


D

B

? ? 4 p2k 2 ? 8 pm ? 0 , m ? ?

pk 2 ,切点的横坐标为 2

A C x

O

pk ,得 C ( pk ,

pk 2 ) 2

由于 C 、 D 的横坐标相同,? CD 垂直于 x 轴. ( 2 )

h 2 ? x2 ? x1 ? (x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 p 2k 2 ? 8 pb

2



h2 ? 4 p 2k 2 1 1 pk 2 h3 2 . . ?ABC 的 ?b? S?ABC ? CD ? x2 ? x1 ? h pk ? b ? ? 8p 2 2 2 16 p
面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关. (本小题也可以求 AB ? 1 ? k ? h ,切点到直线 l 的距离
2

pk 2 ? d?

pk 2 ?b 2

1? k2

?

h2 8p 1? k2

,相应给分)

(3)由(1)知 CD 垂直于 x 轴, xC ? x A ? xB ? xC ? 的面积只与

h ,由(2)可得 ?ACE 、 ?BCF 2

h h h3 1 h3 有关,将 S?ABC ? 中的 h 换成 ,可得 S?ACE ? S?BCF ? ? . 2 2 16 p 8 16 p

记 a1 ? S?ABC ?

h3 1 h3 ,a2 ? S?ACE ? S?BCF ? ? ,按上面构造三角形的方法,无限 16 p 4 16 p
1 . 4

的进行下去, 可以将抛物线 C 与线段 AB 所围成的封闭图形的面积, 看成无穷多个三角形的 面积的和,即数列 ?an ? 的无穷项和,此数列公比为 所以封闭图形的面积 S ?

a1 1? 1 4

?

4 h3 a1 ? 3 12 p

21.(1)解:(Ⅰ) | A |? ?1, 所以 A?1 ? ?

? ?1 2 ? ? --------------------------3 分 ? 2 ?3?

? ?1 2 ??1 0 ? ? 1 2 ? (Ⅱ) AX ? B ? A?1 AX ? A?1 B ? X ? A?1 B ? ? ?? ??? ? -----7 分 ? 2 ?3 ??1 1 ? ? ?1 3 ?

判断对错 矩阵的乘法不满足交换律; ( 矩阵的乘法满足结合律(

m ?1 m ?1 ?x? 2 2 m ?1 m ?1 ?3? m?5 ?2? ? 不等式的整数解为 2, ? 2 2 又不等式仅有一个整数解 2, ? m ? 4 ……3 分 4 4 4 (Ⅱ)显然 a ? b ? c ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由柯西不等式可知: (a ? b ? c ) ? (1 ? 1 ? 1 )[(a ) ? (b ) ? (c ) ] 2 2 2 2 2 2 2 所以 (a ? b ? c ) ? 3 即 a ? b ? c ? 3
( I )由 | 2 x ? m |? 1,得 当且仅当 a ? b ? c ?
2 2 2

3 时取等号,最大值为 3 3

………7 分


福建省南擢八闽联盟2014届高三最后一卷理科数学试题

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