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高一数学必修1-4综合测试题


高一数学必修 1-4 综合测试题
共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
1. sin(?225 ) 的值是 (
?

共 60 分)

作者:李江

一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的. )

A.

2 2

B. ?

2 2

C.

1 2

D.

3 2


2.若直线经过 A (2 A.45°

3 , 9)、B(4

3 , 15)两点, 则直线 A B 的倾斜角是(

B.60°

C.120°

D.135° )

3.幂函数 f (x) 的图象过点 ? 4, ? ,那么 f (8) 的值为(

? ?

1? 2?

A.

2 4

B. 64

C. 2 2

D.

1 64


4.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

?
4

) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点(

? 个单位长度 4 ? C.向左平移 个单位长度 8
? 6 ? 3

? 个单位长度 4 ? D.向右平移 个单位长度 8
B.向右平移 )

5. 已知 a、b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A. B. C.

2? 3

D.

5? 6

6.已知两直线 m、n,两平面 α、β,且 m ? ? , n ? ? .下面有四个命题 1)若 ? // ? , 则有m ? n ; 3) 若m // n, 则有? ? ? ; 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 2) 若m ? n,则有? // ? ; 4) 若? ? ? ,则有m // n .

7.若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 的值是( ) A. ? 3 B. 1 C. 0 或 ?

3 2

D. 1 或 ? 3

1

8.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为:( A. 24? cm , 12? cm
2 2 3

)

B. 15? cm , 12? cm
2

3

5

5 6

5 6 侧视图

5

C. 24? cm , 36? cm
x

3

D.以上都不正确
2

9.设函数 f ( x) ? 3 ? x ,则函数 f ( x) 有零点的区间是( A. ? 0,1? C. ? ?2, ?1? 10. B. ?1, 2 ? D. ? ?1, 0?

)

正视图

3 名学生排成一排,其中甲、乙两人站在一起的概率是( A.

)
俯视图

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

2 11. 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? mx ? 5 , m ? R ,它在 (??, ?2] 上单调递减,则 f ?1? 的取值范围是(



A. f (1) ? 15

B. f (1) ? 15

C. f (1) ? 15

D. f (1) ? 15

12. 对于向量 a ,b ,e 及实数 x, y, x1 , x2 , ? ,给出下列四个条件: ① a ? b ? 3e 且 a ? b ? 5e ; ③ a = ? b(b ? 0) 且 ? 唯一; 其中能使 a 与 b 共线的是( A.①② ) C.①③ D.③④ ② x1a ? x2 b ? 0 ④ xa ? yb ? 0 ( x ? y ? 0)

B.②④

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 注意事项: 1 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. , 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上. 3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. , 1 5 13.函数 f ( x) ? 的定义域是_________ ;

log 2 (1 ? x)

14.过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 15. 在区间 [?2,3] 上任取一个实数,则该数是不等式 x ? 1 解的概率为
2

; .

16.已知函数 y ? log a ( x ? 3) ? 则b = 。

8 x ( a ? 0, a ? 1 )的图像恒过定点 A,若点 A 也在函数 f ( x) ? 3 ? b 的图像上, 9

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2

已知向量 a = (-1,2),b = (1,1), t∈R. (I)求 cos<a,b>; (II)求|a + tb|的最小值及相应的 t 值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 A1A,D1C,AD 的中点.求 证: (Ⅰ)MN//平面 ABCD; (Ⅱ)MN⊥平面 B1BG.
B B1

A1

D1 C1 N

M

A

G

D

C

19. (本小题满分 12 分) 某商场经营一批进价是每件 30 元的商品, 在市场销售中发现此商品的销售单价 x 元与日销售量 y 件之间有 如下关系: 销 售单价 x (元) 日销售量 y (件) 30 60 40 30 45 15 50 0

(Ⅰ)根据表中提供的数据确定 x 与 y 的一个函数关系式 y ? f ? x ? ; (Ⅱ)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式,并指出销售单价 x 为多 少时,才能获得最大日销售利润。

20. (本小题满分 12 分) 做投掷 2 颗骰子试验,用(x,y)表示点 P 的坐标,其中 x 表示第 1 颗骰子出现的点数,y 表示第 2 颗 骰子出现的点数. (I)求点 P 在直线 y = x 上的概率; (II)求点 P 不在直线 y = x + 1 上的概率; (III)求点 P 的坐标(x,y)满足 16 ? x ? y ? 25 的概率.
2 2

21. (本小题满分 12 分)
3

设 x∈R,函数 f ( x) ? cos( x ? ? )(? ? 0,? ? (I)求 ?和? 的值;

?

? 3 ? ? ? 0)的最小正周期为? , 且f ( ) ? . 2 4 2

(II)在给定坐标系中作出函数 f ( x)在[0, ? ] 上的图象; (III)若 f ( x) ?

2 , 求x 的取值范围. 2

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 1? x , ? log 2 x 1? x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)判断并证明 f ( x) 的奇偶性;

4

参考答案及评分标准
一、选择题:ABADB CDADA CC 二、填空题:13. {x | x ? 1且x ? 0} 三、解答题: 17. 解: (I) cos ? a ? b ? 14. x ? 2 y ? 1 ? 0 15.

? 5

16. ?1

a?b ?1? 2 1 10 ? ? ? ????6 分 |a|?|b | 10 1? 4 ? 1?1 10
????10 分

(II) | a ? tb | ?

1 9 2(t ? ) 2 ? , 2 2

当 t ? ? 时, | a ? tb | 取最小值

1 2

9 3 2 ? . ????12 分 2 2
A1 B1 M

18、证明: (Ⅰ)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE. 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得
1 NE∥D1D 且 NE= D1D, ????????????2 分 2 1 又 AM∥D1D 且 AM= D1D????????????4 分 2
D1 C1 N A G D

所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形 所以 MN∥AE, 又 AE ? 面 ABCD,所以 MN∥面 ABCD??6 分
B C

(Ⅱ)由 AG=DE , ?BAG ? ?ADE ? 90? ,DA=AB 可得 ?EDA 与 ?GAB 全等???????????8 分 所以 ?ABG ? ?DAE , 又 ?DAE ? ?AED ? 90?,?AED ? ?BAF ,所以 ?BAF ? ?ABG ? 90?, 所以 AE ? BG , 又 BB1 ? AE ,所以 AE ? 面B1BG , 又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG ?????????????12 分 19.解: (Ⅰ)设 f ? x ? ? kx ? b ,????????????2 分 则? ??????????????????10 分

?60 ? 30k ? b ? k ? ?3 ,解得: ? ????????????5 分 ?30 ? 40k ? b ?b ? 150
检验成立。????????????6 分
2

? f ? x ? ? ?3x ? 150,30 ? x ? 50

(Ⅱ) P ? ? x ? 30 ? ? ? ?3x ? 150 ? ? ?3x ? 240 x ? 4500,30 ? x ? 50 ?????9 分

?对称轴x ? ?

240 ? 40 ? ?30,50? ????????????11 分 2 ? ? ?3?
5

? 当销售单价为 40 元时,所获利润最大。????????????12 分
20.(本小题满分 12 分) 解:每颗骰子出现的点数都有 6 种情况,所以基本事件总数为 6×6=36 个. (I)记“点 P 在直线 y = x 上”为事件 A,则事件 A 有 6 个基本事件, 即 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},

? P( A) ?

6 1 ? . 36 6

????4 分

(II)记“点 P 在直线 y = x + 1 上”为事件 B,则“点 P 在直线 y = x + 1 上”为事件 B ,其中事件 B 有 5 个 基本事件. 即 B ? {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} ,

? P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

5 31 ? . 36 36
2 2

????8 分

(III)记“点 P 坐标满足 16 ? x ? y ? 25 ”为事件 C,则事件 C 有 7 个基本事件. 即 C = {(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},

? P(C ) ?

7 . 36 2? ?? ,

????12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (I)周期 T ?

?? ? 2 ,

?

????2 分

? ? ? 3 ? f ( ) ? cos(2 ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? , 4 4 2 2
??

?

2

? ? ? 0,

?? ? ?

?
3

.

????4 分

(II)? f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) ,列表如下:
0

2x ?
x

?
3

?

?
3

? 2
5 ? 12
0

π

3 ? 2 11 ? 12
0

5 ? 3
π

0

? 6
1

2 ? 3
-1

f(x) 图象如图:

1 2

1 2

6

????8 分 (III) cos(2 x ?

?
3

)?

2 , 2

? 2k? ? 2k? ? k? ?

?
4

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
4

????10 分

?
12

? 2 x ? 2k? ?

?

7 ?, 12
????11 分

24

? x ? k? ?

7 ,k ?Z , 24

? x的范围是{x | k? ?

?

24

? x ? k? ?

7 ? , k ? Z}. 24

????12 分

? x ? 0, ? 22 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 有意义,需 ?1 ? x ????????????4 分 ?1 ? x ? 0, ?
解得 ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 , ∴函数定义域为 x ?1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 ;????????????6 分 (Ⅱ)函数 f ( x) 为奇函数,????????????????????8 分 ∵f(-x)= f (? x) ? ?

?

?

1 1? x 1 1? x ? log 2 ? ? ? log 2 ? ? f ( x) , ?????12 分 x 1? x x 1? x

又由(1)已知 f ( x) 的定义域关于原点对称, ∴ f ( x) 为奇函数; ????????????????? 14 分

7


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