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初高中数学衔接教材(人教版)7.15


初高中数学衔接教材 1. 绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对 值仍是零.即

?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a

和数 b 之间的距离. 1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是( 若 a ? b ,则 a ? ?b 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 ) (C)若 a ? b ,则 a ? b (D)

(A)若 a ? b ,则 a ? b (B)若 a ? b ,则 a ? b

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; ( 2 ) 完 全 平 方 公 式

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式

(5)两数差立方公式 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

1 1 2 2 ) (A)m (B) m 4 2 1 2 1 2 (C) m (D) m ( 变式:配方) 16 3 例 1 计算:( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .(2)(a ? 2)(a ? 2)(a 4 ? 4a 2 ? 16) k 是一个完全平方式,则 k 等于( 例题(1)若 x ? mx ?
2

例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2

2 例 3 计算: (1) (4 ? m)(16 ? 4m ? m ) (2) ( m ?

1 5

1 1 1 1 n)( m 2 ? mn ? n 2 ) 2 25 10 4

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1.填空: (1)

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3



(2) (4m ?

)2 ? 16m2 ? 4m ? (
2 2

); ).

(3) (a ? 2b ? c)2 ? a2 ? 4b2 ? c2 ? (

(2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值( ) (A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数 3.二次根式 一般地,形如

a (a ? 0) 的 代 数 式 叫 做 二 次 根 式 . 2 . 二 次 根 式 a2 的 意 义

a2 ? a ? ?
例1

?a, a ? 0, ??a, a ? 0.
(2) a 2b (a ? 0) ; (3)

将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ;

4 x 6 y ( x ? 0) .

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) .

例 3

试比较下列各组数的大小:

2 和 2 2- 6 . 6?4

例 4

化简:

( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .

例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2) x ?
2

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

5、
十字相乘法:1. x ? ( p ? q) x ? pq
2

分解因式

【例 1】把下列各式因式分解: (1) x ? 7 x ? 6
2

(2) x ? 13x ? 36
2

(3) x ? 5 x ? 24
2

(4) x ? 2 x ? 15
2

【例3】把下列各式因式分解: (1) x ? xy ? 6 y
2 2

(2) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12
2 2 2

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2.一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

【例4】把下列各式因式分解: (1) 12 x ? 5x ? 2
2

(2) 5x2 ? 6 xy ? 8 y 2

2.提取公因式法与分组分解法 例5 分解因式: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ;
3 2

1.选择题:多项式 2 x ? xy ?15 y 的一个因式为(
2 2

) (D) x ? 5 y

(A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8;

(B) x ? 3 y

(C) x ? 3 y

(2) x ? 4 xy ? 4 y
2

2

(3) (1)5x2-3x-2;

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) . (5)x2+4x-12;

(6) x ? (a ? b) xy ? aby ;
2 2

(7) xy ? 1 ? x ? y .

(8)8a3-b3;

(9) 3x ? 5 x ? 8
2

6、 一元二次方程----根的判别式 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2= (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b x1=x2=- ; 2a

(3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出 方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0;

7、一元二次方程----根与系数的关系(韦达定理) ,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 2 例:若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x +5x-3=0 的两根.

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(1) 求 x1 x2 , x1+x2,的值; (2) 求 x1 ? x2 , | x1-x2| 的值; 的值

2

2

(3) 求

1 1 ? 2 2 x1 x2

1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( ) (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7;②方程 x2-2x+7=0 的两根之和 为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?

7 ;④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为 3

-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个(B)2 个 (C)3 个(D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . 2 2 2 (2)方程 2x -x-4=0 的两根为 α,β,则 α +β = . (3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . 2 (4)方程 2x +2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . y 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不 y=2x2 相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

y=x2

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数. O x

8、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大 值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该 函数的图象.

例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到 函数 y=x2 的图像,求 b,c 的值.

1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是( ) (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2(C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的
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2.填空题 (1) 二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1, -2), 则 m= , n= . (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. 2 (3)函数 y=-3(x+2) +5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标 为 ;当 x = 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况, 并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2. 2 4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值 或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

9、

二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点 (3,-1) ,求二次函数的解析式.

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二 次函数的表达式.

1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是( ) (A)0 个(B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是( ) (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(- 2 1,2)(D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解 析式可设为 y=a . 2 (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

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2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时, 有什么特点? 依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移?. 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后 所得到图象对应的函数解析式: y x=-1 (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1.

2 例 5】一元二次方程 x ? 4 x ? a ? 0 有两个实根,一个比 3 大,

O A(1,-1)
y

x

一个比 3 小,求 a 的取值范围。

?? ? 0 ? ( x ? 3)( x 2 ? 3) ? 0 解一:由 ? 1

x=2

解得: a ? 3
x

0

3

* 【例 6】 已知一元二次方程 x ? (a ? 9) x ? a ? 5a ? 6 ? 0 一个根小于 0, 另一根大于 2,
2 2 2

求 a 的取值范围。 解:如图,设 f ( x) ? x ? (a ? 9) x ? a ? 5a ? 6
2 2 2

y

?2 ? a ? 3 ? f ( 0 ) ? 0 ? 8 ? ?1 ? a ? ? ? 3 则只须 ? f (2) ? 0 ,解之得 ?
【例 7】已知关于 x 的方程 x ? (k ? 1) x ?
2

8 2?a? 3 ∴

0

2

x

1 2 k ? 1 ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的值. 4

(1) 方程两实根的积为 5; (2) 方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是 x1 ? x2 ? 0 ,二是 ? x1 ? x2 , 所以要分类讨论. 解:(1) ∵方程两实根的积为 5

1 ? ? ? [?(k ? 1)]2 ? 4( k 2 ? 1) ? 0 ? 3 ? 4 ? k ? , k ? ?4 ∴ ? 2 ?x x ? 1 k 2 ? 1 ? 5 1 2 ? ? 4
所以,当 k ? 4 时,方程两实根的积为 5. (2) 由 | x1 |? x2 得知:
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①当 x1 ? 0 时, x1 ? x2 ,所以方程有两相等实数根,故 ? ? 0 ? k ?

3 ; 2

②当 x1 ? 0 时, ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? k ? 1 ? 0 ? k ? ?1 ,由于

3 ? ? 0 ?k ? ,故 k ? ?1 不合题意,舍去. 2 3 综上可得, k ? 时,方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 2
【例 8】已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根.
2

(1) 是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? 若不存在,请您说明理由. (2) 求使

3 成立?若存在,求出 k 的值; 2

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值. x2 x1
3 成立. 2

解:(1) 假设存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?
2

∵ 一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根 ∴ ?

? 4k ? 0
2 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 4k (k ? 1) ? ?16k ? 0
2

? k ? 0,

又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根

? x1 ? x2 ? 1 ? ∴ ? k ?1 x1 x2 ? ? 4k ?
∴ (2x1 ? x2 )( x1 ? 2x2 ) ? 2( x12 ? x22 ) ? 5x1 x2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 9x1 x2

? ?

k ?9 3 ? ? ? k 4k 2

9 ?,但 k ? 0 . 5 3 成立. 2

∴不存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?

x1 x2 x12 ? x22 ( x1 ? x2 )2 4k 4 (2) ∵ ? ?2? ?2? ?4? ?4? ? x2 x1 x1 x2 x1 x2 k ?1 k ?1
∴ 要使其值是整数,只需 k ? 1 能被 4 整除,故 k ? 1 ? ?1, ?2, ?4 ,注意到 k ? 0 ,

要使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值为 ?2, ?3, ?5 .. x2 x1

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1.一元二次方程 (1 ? k ) x2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( A. k ? 2
2

)

B. k ? 2, 且k ? 1

C. k ? 2

D. k ? 2, 且k ? 1 )

2.若 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根,则 A. 2 B. ? 2

1 1 ? 的值为( x1 x2
1 2

C.

D.

9 2

3.已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 O 点,且 OA、OB 的长分别是关于 x 的方 程 x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 3 ? 0 的根,则 m 等于( ) A. ? 3 B. 5 C. 5或 ? 3 D. ?5或3

2 2 4.若实数 a ? b ,且 a , b 满足 a ? 8a ? 5 ? 0, b ? 8b ? 5 ? 0 ,则

b ?1 a ?1 ? 的值为 a ?1 b ?1

(

) B. 2 C. 2或 ? 20 D. 2或20

A. ?20

5.若方程 2 x2 ? (k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是 _____ . 6. 设 x1 , x2 是方程 x ? px ? q ? 0 的两实根,x1 ? 1, x2 ? 1 是关于 x 的方程 x ? qx ? p ? 0
2 2

的两实根,则 p = _____ , q = _____ . 7.对于二次三项式 x ? 10 x ? 36 ,小明得出如下结论:无论 x 取什么实数,其值都不可能
2

等于 10,您是否同意他的看法?请您说明理由.
2 2 8.一元二次方程 7 x ? (m ? 13) x ? m ? m ? 2 ? 0 两根 x1 、 x2 满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2

求 m 取值范围。 9.已知关于 x 的一元二次方程 x ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 .
2

(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2) 若方程的两根为 x1 , x2 ,且满足 10.已知关于 x 的方程 x ? (k ? 1) x ?
2

1 1 1 ? ? ? ,求 m 的值. x1 x2 2

1 2 k ?1 ? 0. 4

(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根? (2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长,当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值.

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11.已知关于 x 的方程 (k ? 1) x2 ? (2k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 . (1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存 在,请您说明理由. 12.若 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 1 ? 0 的两个实数根,且 x1 , x2 都大于 1. (1) 求实数 k 的取值范围;(2) 若

x1 1 ? ,求 k 的值. x2 2
5. 9 或 ? 3 6 .

答案:1. B 2. A 7.正确

3.A

4.A

p ? ?1, q ? ?3
1 2 3 且k ? 1 4

8.由可得 ? 2 ? m ? ?1 或 3 ? m ? 4 9. (1)? ? 16m ? 5 ? 0
2

(2)m ? ?

10. (1)k ?

3 2

(2)k ? 2 11. (1)k ?

13 且k ? 1 12

(2) 不存在 12 . (1) k ?

; (2) k ? 7 . 例 1. 已知数轴上三点 A 、 B 、C 的坐标分别为 4、-2、-6. 解: | AB |?| (?2) ? 4 |? 6 求 | AB | 、| BC | 、| AC |

| BC |?| (?6) ? (?2) |? 4

| AC |?| 4 ? (?6) |? 10

1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y 2 ) , 2、平面上任意两点间距离:在直角坐标系内,已知两点 P



| P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

例 2. 在直角坐标系内,已知两点 A(6,?4) 、 B(?2,?2) ,求这两点间距离 | AB | . 解: | AB |?

(?2 ? 6) 2 ? (?2 ? (?4)) 2 ? 64 ? 4 ? 2 17

1、已知数轴上两点 A 、 B 坐标分别为 x1 、 x2 ,求 A 、 B 两点间距离 | AB | : 1) x1 ? 8 、x2 ? 6 3) x1 ? ?4 、 x2 ? ?11 *4) x1 ? 2a ? b 、x2 ? a ? 2b

2、求连结下列两点的线段的长度 1) A(6,0) 、 B(?2,0) 22.(满分 14 分)如图,抛物线 y? 与 y 轴交于点 C,顶点为 D (1)求点 A,B,D 的坐标; (2)连接 CD,过原点 O 作 OE⊥CD,垂足为 H,OE 与抛物线的对称轴交于点 E,连 接 AE,AD.求证:∠AEO?∠ADC;
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1 (x?3)2?1 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) , 2

(3)以(2)中的点 E 为圆心,1 为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点 P, 过点 P 作⊙E 的切线,切点为 Q,当 PQ 的长最小时,求点 P 的坐标,并直接写出 点 Q 的坐标

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12


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