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河南省扶沟县高级中学2013届高三第三次考试数学(文)试题


扶沟县高级中学 2013 届高三第三次考试 数学(文)试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 恰有一项是符合题目要求的,把正确答案涂在答题卡上. .... 1.设 i 为虚数

单位,则 A. ?2 ? 3i
5?i ?( 1? i

) C. ?2 ? 3i D. 2 ? 3i )

B. 2 ? 3i

2.已知集合 M ? x y ? 1 ? x , N ? y y ? 2 x ,则 M ? N =( A. (0,1] B. (??,1] C. [0,??) D. [ 0,1]

?

?

?

?

3. a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 平行”的( “ A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )



4.下列函数中,在其定义域是减函数的是( A. f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 B. f ( x) ?

1 x

1 C. f ( x) ? ( ) | x| 4

D. f ( x) ? ln(2 ? x)

5.设 ? 为三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?
1 2 1 2 1 1 或? 2 2

1? 3 ,则 cos 2? ? ( 2



A.

B. ?

C. )

D.

3 2

6.下列命题中错误的个数是(

①命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题是“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ” ②命题 p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ,则 ?p : ?x ? R ,使 sin x ? 1 ③若 p 且 q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 ④ "? ?

?
2

? 2k? ( k ? Z )" 是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数的充要条件

C.3 D.4 1 7.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( ) 4 32 32 A.16( 1 ? 4 ? n ) B.16( 1 ? 2 ? n ) C. ( 1 ? 4 ? n ) D. ( 1 ? 2 ? n ) 3 3 a 1) 8.已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y ? x 3 在点 P(1, 处的切线互相垂直,则 的值为( b A.
1 3

A.1

B.2



B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

1 3

9.若点 P(3,1) 为圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为(
A. x ? y ? 2 ? 0 B. 2 x ? y ? 7 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 4 ? 0



10.函数 f ( x) ? 1 ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上, 其中 mn ? 0 ,则 A.1
1 1 ? 的最小值为( m n

) D.4

B.2

C.3

? ? 11. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? )(? ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等 2 6
差数列,要得到函数 g ( x) ? A sin ? x 的图像,只需将 f ( x) 的图像( A.向左平移 )

?
6

个单位

B.向右平移

?
6

个单位

C.向左平移

? 个单位 12

D.向右平移

? 个单位 12

12.已知 f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x ,则函 数 y ? f ( x) 在区间 ?0,6? 上的图像与 x 轴的交点个数为( A.6 B.7 C.8 D.9 )

第Ⅱ卷
本卷包括必考题 和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须 做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分,把答案写在答题卡上.

13.设 a ? log 3 2, b ? log 1
3

2 , c ? log 3 1 ,则 a, b, c 大小关系是_____________. 3

?x ? y ? 0 ? 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 4x ? y 的最大值是 ?3x ? y ? 4 ? 0 ?

.

? ? ? ? ? ? 15.已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? (0,1), a ? b ? (?1, 2) ,则 a ? b ? __________.
16. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 (a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3ac ,则 角 B 的值为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤,答案写在答题卡上. 17. (本小题满分 12 分)在等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项 均为正数, b1 ? 1 ,且 b2 ? S2 ? 12 , {bn } 的公比 q ?
1 1 1 ? ?? ? . S1 S2 Sn S2 . b2

(1)求 an 与 bn ; (2)求

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (1)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在 ?ABC 中 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面 积为
3 ,求 a 的值. 2

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b(a, b ? R) ,其图象在点 3

(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 .
(1)求 a, b 的值; (2)求函数 f (x) 的单调区间,并求出 f (x) 在区间 [?2,4] 上的最大值. 20. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l ,

使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆经过原点,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在 说明理由. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln(1 ? x) . (1)若定义域内存在 x0 ,使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 成立,求实数 m 的最小值; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? a 在区间 [0,3] 上恰有两个不同的零点,求实数 a 取值 范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ?m . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ( a ? R ) ; (2)若函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形, D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为 以 直径的半圆 O 交于点 F ,延长 CF 交 AB 于 E . (1) 求证: E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长.

扶沟高中 2012 - 2013 学年度(上)高三第三次考试

文科数学参考答案

?q ? 3 ? a 2 ? 12 ? 17.解: (1)由已知可得 ? 3 ? a2 ?q ? q ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍去)

a2 ? 6

? an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n
(2)? S n ?

bn ? 3n?1 ---- ----------------------------------6 分

n(3 ? 3n) 2

?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ??? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) S1 S 2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 3 n ?1
2n 3(n ? 1)
-----------------------------------------------------------------12 分

?

?

?T ?

2? ?? 2

-----------------------------------------------4 分

f ( x) 的单调减区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

2? ] 3

(k ? Z )

---------------------6 分

(2)由 f ( A) ? 4 得 f ( A) ? 2sin(2 A ?

?

? 1 ) ? 3 ? 4 , sin(2 A ? ) ? 6 6 2

又? A为?ABC的内角 ? A ?

?
3

---------------------------8 分

S ?ABC ?

3 ,b ? 1?c ? 2 2

--------------------------------10 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?

1 ?3 2

?a ? 3 ---------------------------------------------------12 分
19.解:(1)f′(x)=x2-2ax+a2-1, ∵(1,f(1))在 x+y-3=0 上, ∴f(1)=2, ∵(1, 2)在 y=f(x)上, 1 ∴2= -a+a2-1+b, 3 又 f′(1)=-1, ∴a2-2a+1=0, 8 解得 a=1,b= . 3 -------------------------------------------------------------------5 分

1 8 (2)∵f(x)= x3-x2+ ,∴f′(x)=x2-2x, 3 3

所以 f(x) 的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2).10 分 8 4 ∵f(0)= ,f(2)= ,f(-2)=-4,f(4)=8, 3 3 ∴在区间[-2,4]上的最大值为 8. -----------------------------12 分

20.解:假设存在,设A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),直线AB:y ? x ? b ? 弦AB为直径的圆经过原点 ? OA ? OB ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ?x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ?? ?y ? x ? b ? 2 x 2 ? (2b ? 2) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? b ? 1或b ? ?4 l : y ? x ? 1或y ? x ? 4 所以存在l的方程为:x - y ? 1 ? 1或x - y - 4 ? 0 - - - - - - - - - - - - - - - 12分
21.解: (1)存在 x0 使 m≥f(x0)min
f ' ( x ) ? 2(1 ? x ) ? 2 x ( x ? 2) 2 ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

b 2 ? 4b ? 4 b 2 ? 2b ? 4 ? ? b 2 ? 3b ? 4 ? 0 2 2

令 f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

f ' ( x) ? 0 ? -1 ? x ? 0
∴y=f(x)在(-1,0)上单减,在(0,+ ? )单增 f(x0)min=f(0)=1 ∴m≥1 ∴mmin=1 --------------------------------------------------5 分

∴y=f(x)在[0,1]上单减,(1,3]上单增 h(0)=1-2ln1=1 h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4>1 ∴2-ln2<a≤1 ---------------------------------------------12 分 22.解: (1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时,解集为 x ? 2 , 即 (??, 2) ? (2, ??) ;

当 a ? 1 时, 解集为全体实数 R ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1) ? (3 ? a, ??) ------------------5 分 (2) f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方, 即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成立, 即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立, 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 , 于是得 m ? 5 , 即 m 的取值范围是 (??,5) ----------------------------------10 分

23.解: (1)证明:连结 DF , DO ,则 ?CDO ? ?FDO ,

因为 BC 是的切线,且 CF 是圆 D 的弦,

1 ?BCE ? ?CDF 2 所以 ,即 ?CDO ? ?BCE ,
故 Rt△CDO ? Rt△BCE ,

EB ? OC ?
所以

1 AB 2 ; -----------------------------------------------------------5 分


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