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14数学全国教师19(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十九)
第十九单元 随机变量及其分布、统计、统计案例
(120 分钟 150 分)

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知某一随机变量 X 的分布列如下,则 m 的值为

X P 4 0.5 7 m 9 0.4

A.0.4
解析:0.5+m+0.4=1,∴ m=0.1. 答案:D

B.0.3

C.0.2

D.0.1

2.一个年级有 12 个班,每个班有 50 名学生,随机编为 1~50 号,为了解他们在课外的兴趣 爱好,要求每班第 40 号学生留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是 A.分层抽样
答案:D

B.抽签法

C.随机数表法 D.系统抽样法

解析:由抽取过程可知被抽的样本间隔是一样的,所以是系统抽样.
^ ^ ^

3.已知 x 与 y 之间的一组数据,则 y 与 x 的线性回归方程 y = b x+ a 必过点
x y 0 1 1 3 2 5 3 7

A.(2,2)

B.(1,2) C.(1.5,4)
??

D.(1.5,0)
4

解析:回归方程必过点(x,y),∵ x= 答案:C

? 0+1+2+3 3 ? 1+3+5+7

4

= ,y =
2

=4,∴ 回归方程过点(1.5,4).

4.某中学高三年级从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x+y 的值为 A.7 C.9 B.8 D.10

解析:由茎叶图可知,甲班学生成绩的众数是 85,所以 x=5.乙班学生成绩的中位数是 83,所以 y=3,所 以 x+y=5+3=8. 答案:B

5.若 x1,x2,x3,…,x2013 的方差为 3,则 3(x1-2),3(x2-2),3(x3-2),…,3(x2013-2)的方差为 A.3
答案:D

B.9

C.18

D.27

解析:若 y=3(x-2)=3x-6,则 D(y)=9D(x),因为 D(x)=3,所以 D(y)=9D(x)=9× 3=27.

6.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是 8∶ 7∶ 10,用分层抽样的方法从三个 年级抽取学生到剧院观看演出,已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多 2 人,则高三观 看演出的人数为 A.25 B.20 C.18 D.16
8 7 25 25 10 25

解析:设共抽取 x 人去观看演出,则 x- x=2,得 x=50,∴ 高三观看演出的人数为 50× =20 人. 答案:B

7.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 爱好 不爱好 总计
(-)2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

由 K2=(+)(+)(+)(+), 得 K2= 附表:
P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
110×(40×30-20×20)2 ≈7.8. 60×50×60×50

参照附表,得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
解析:因为 K2≈7.8>6.635,所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案:C

8.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如 图所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 A.200 C.400 B.300 D.600

解析:从频率分布直方图中可知低于 70 分的频率为(0.005+0.01+0.025)× 10=0.4,所以不低于 70 分的 频率为 1-0.4=0.6,所以合格人数为 0.6× 1000=600 人. 答案:D

9.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:
广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)
^ ^ ^

4 49


2 26

3 39

5 54

根据上表可得回归方程 y = b x+ a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销 售额为 A.63.6 万元
解析:∵ x=
4 2

B.65.5 万元
= ,y =
4

C.67.7 万元

D.72.0 万元
?? ^ ^

? 4+2+3+5 7 ? 49+26+39+54

=42,回归直线过点(x,y),且 b =9.4,可得 a =9.1,∴ 当 x=6

时,y=9.4× 6+9.1=65.5. 答案:B

10.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中 a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这 些抛物线中,若随机变量 X=a-b,则 X 的数学期望 E(X)等于 A. B.
8 9 3 5 2 5

C.

D.0

1 1 1 解析:对称轴在 y 轴的左侧(a 与 b 同号)的抛物线有 2C3 C3 C7 =126 条,X 的可能取值有-2,-

1,0,1,2.P(X=-2)= 答案:D

2×7 1 4×7 2 6×7 1 4×7 2 2×7 1 = ,P(X=-1)= = ,P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,E(X)=0. 126 9 126 9 126 3 126 9 126 9

11.某校在一次考试中有 1000 人参加考试,数学考试的成绩 X~N(90,a2)(a>0,试卷满分 150 分),统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的5,则此次数学 考试成绩不低于 110 分的学生人数约为 A.200 B.300 C.400 D.500
3 5 3

解析:因为 M=90,且成绩在 70 分到 110 分之间的人数为总数的 ,所以成绩不低于 110 分的人数约 为总人数的 (1- )= ,∴ 不低于 110 分的学生人数约为 × 1000=200. 答案:A
1 2 3 5 1 5 1 5

12.k2,m(m∈N),3,5 的平均数为 3,平面上的直线 l 过点(0,1),其斜率为等可能取 k 的值,用 X 表示坐标原点到 l 距离的平方,则随机变量 X 的数学期望 E(X)等于 A.270
解析:x=
103 107 111 119

B.270
4

C.270

D.270

? 2 +m+3+5

=3,∴ k2+m=4,又因为 m∈N,所以 k2 可能的取值为 0,1,2,3,4,从而 k 可能的取值为

0,± 1,± 2,± 3,± 2.当 k=0 时,直线方程为 y=1, 原点到 l 的距离 d1=1;当 k=± 1 时,直线方程为± x-y+1=0, 原 点到 l 的距离 d2=
2 ;同理,当 k=± 2

2,± 3,±2 时,原点到 l 的距离分别为 d3= ,d4= ,d5= .由等可能事件

3 3

1 2

5 5

的概率可得分布列:

X P

1 4 2 9

1 5 2 9
1 107 . 9 270

1 3 2 9

1 2 2 9

1

1 9

∴ E(X)= × + × + × + × +1× = 答案:B

1 2 1 2 1 2 1 2 4 9 5 9 3 9 2 9

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.

13. 某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了 50 名学生,得到他们某一天各自课外 阅读的时间数据如图所示,根据条形图可得到这 50 名学生该天每人的平均课外阅读时间 为
答案:0.9

h.
解析:平均课外阅读时间为(0× 5+0.5× 20+1× 10+1.5× 10+2× 5)÷ 50=0.9 h.

14.给出下列四个命题: ① 从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样; ② 样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度; ③ 在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好; ④ 在回归直线方程 y =0.1x+10 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 增加 0.1 个 单位. 其中正确命题的个数是
答案:3
^ ^

个.

解析:① 是系统抽样;② ③ ④ 全对,故共有 3 个正确命题.

15.设离散型随机变量 X 可能取的值为 1,2,3,4,P(X=k)=ka+b(k=1,2,3,4,且 a>0,b>0),若 E(X)=10,则 ab 的最大值为 .
解析:∵ 随机变量 X 可能取的值为 1,2,3,4,且 P(X=k)=ka+b, ∴ (a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=30a+10b=10, ∴ 3a+b=1,∴ 2 3·≤1,∴ ab≤ . 答案:
1 12 1 12

16.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生 得到甲、乙、丙三个公司面试的概率分别为3、p1、p2,且三个公司是否让其面试是相互 独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=3)= ,且 E(X)= ,则 p1+p2= .
1 6 5 3 2

解析:P(X=3)= × p1× p2= ,∴ p1p2= ,
2 3 1 3 1 3

2 3

1 6

1 4



又 P(X=1)= (1-p1)(1-p2)+ p1(1-p2)+ (1-p1)p2, P(X=2)= p1(1-p2)+ (1-p1)p2+ p1p2, ∴ E(X)=1× P(X=1)+2× P(X=2)+3× P(X=3)= , 由① ② 可得 p1=p2= ,∴ p1+p2=1. 答案:1
1 2 5 3 2 3 2 3 1 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 研究某特殊药物 A 有无服用后恶心的副作用,给 50 个患者服用此药,另外 50 个患者不服 用此药,记录每类样本中出现恶心的数目如下表:
有恶心 给药 A 不给药 A 总计 18 6 24 无恶心 32 44 76 总计 50 50 100

试问此药有无恶心的副作用?
解析:由题意,问题可归结为利用独立性检验检验 H1:服用 A 药与恶心有关系的问题. 为此我们假设 H0:服用 A 药与恶心无关.通过列联表所给数据求出 K2 的观测值为 k=
100(18×44-6×32)2 ≈7.895>6.635,所以拒绝 H0, 24×76×50×50

即不能认为服用药物 A 与恶心无关,所以我们有足够的理由认为此药有恶心的副作用,并且我们作 这种判断是在出错率不超过 1%的情况下进行的.10 分

18.(本小题满分 12 分) 在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与 表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数 据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数;

(2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的 平均分.
解析: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷ 0.25=40 人. 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 40× (1-0.375-0.375-0.150.025)=40× 0.075=3.6 分 (2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25)+5×(40×0.075) =2.9.12 分 40

19.(本小题满分 12 分) 某校高一年段理科有 8 个班,在一次数学考试中成绩情况分析如下:
班级 大于 145 分人数 不大于 145 分人数 1 6 39 2 6 39 3 7 38 4 3 42 5 5 40 6 3 42 7 3 42 8 7 38

(1)求 145 分以上成绩 y 对班级序号 x 的回归直线方程.(精确到 0.0001) (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 7 班与 8 班的成绩是否优秀(大于 145 分)与班级有关系?

?? ^ -nx y ^ ? ? =1 ?2 2 -nx =1

(参考公式: b =
?

, a =y- b x)

解析:(1)x=4.5,y=5,
8 xiyi=171, 8 2 =204, =1 =1 ^
8 ?? -8x y

?

b ==1

?2 8 2 -8x =1

=

171-8×4.5×5 204-8×4.52

=- ≈-0.2143.

9 42

^ ? ^?

a =y- b x=5-(-0.2143)×4.5≈5.9643(或 5.9644).
^ ^ ^

∴ 回归直线方程为 y = b x+ a =-0.2143x+5.9643.6 分 (2)K2=
90(3×38-42×7)2 =1.8,因为 1.8<6.635. 45×45×80×10

所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为 7 班与 8 班的成绩是否优秀与班级有关系.12 分

20.(本小题满分 12 分) 甲、乙两名射击运动员进行射击选拔比赛,已知甲、乙两运动员射击的环数稳定在 6,7,8,9,10 环,其射击比赛成绩的分布列如下:

甲运动员:
X P 6 0.16 7 0.14 8 0.42 9 0.1 10 0.18

乙运动员:
Y P 6 0.19 7 0.24 8 0.12 9 0.28 10 0.17

(1)若甲、乙两运动员各射击一次,求同时击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (2)若从甲、乙两运动员中只能挑选一名参加某项国际比赛,你认为让谁参加比赛较合适? 并说明理由.
解析:(1)记“甲运动员击中 i 环”为事件 Ai;“乙运动员击中 i 环”为事件 Bi;“甲、乙两运动员同时击中 9 环(含 9 环)以上”为事件 C. 因为 P(A9)+P(A10)=0.1+0.18=0.28,P(B9)+P(B10)=0.28+0.17=0.45. 所以 P(C)=0.28× 0.45=0.126. 故甲、乙两运动员同时击中 9 环以上(含 9 环)的概率为 0.126.6 分 (2)由分布列可知,E(X)=6× 0.16+7× 0.14+8× 0.42+9× 0.1+10× 0.18=8. D(X)=(6-8)2× 0.16+(7-8)2× 0.14+(8-8)2× 0.42+(9-8)2× 0.1+(108)2× 0.18=1.6;E(Y)=6× 0.19+7× 0.24+8× 0.12+9× 0.28+10× 0.17=8, D(Y)=(6-8)2× 0.19+(7-8)2× 0.24+(8-8)2× 0.12+(9-8)2× 0.28+(10-8)2× 0.17=1.96. 因为 E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以甲、乙两运动员射击成绩的均值相等,但甲射击成绩的稳定性比 乙要好,故选派甲参加比赛较合适.12 分

21.(本小题满分 12 分) 炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水 含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料溶化完毕时钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y(从 炉料溶化完毕到出钢的时间)的一列数据,如表所示:
x(0.01%) y/min 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125

(1)y 与 x 是否具有线性相关关系? (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求出回归直线方程. (3)预报当钢水含碳量为 160 个 0.01%时,应冶炼多少分钟?
解析:(1)根据题意列表并计算如表: i xi yi xiyi 1 104 100 2 180 200 3 190 210
?

4 177 185
?

5 147 155

6 134 135

7 150 170

8 191 205

9 204 235

10 121 125

10400 36000 39900 32745 22785 18090 25500 39155 47940 15125

x=159.8,y=172, 10 xi2 =265448,
i=1 10 yi2 =312350, 10 xiyi=287640 i=1 i=1

于是 r=

?? 10 -10x y =1 ≈0.9906>0.75. ?2 ?2 ( 10 2 -10x )( 10 2 -10y ) =1 =1

所以 y 与 x 具有线性相关关系.4 分 (2)利用(1)中所求的数据可以求得 a , b 的值为
?? ^ 10 -10x y

^^

b ==1

?2 10 2 -10x =1

≈1.267, a =y- b x=-30.47,


^ ? ^?

所以所求的回归直线方程为 y =1.267x-30.47.8 分 (3)当 x=160 时, y =1.267× 160-30.47≈172(min), 即大约需要冶炼 172 分钟.12 分


22.(本小题满分 12 分) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取 8 次.记录如下,甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85. (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参 加合适?请说明理由; (3)竞赛成绩不低于 85 分,则该次成绩为优秀,若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次 数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中优秀的次数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X).
解析:

(1)茎叶图如右, 学生乙成绩的中位数为 84.2 分 (2)派甲参加比较合适,理由如下:
?

x =8(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85,


1

?

x =8(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85,


1

2 =8[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,


1

2 = [(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.

1 乙 8

∵ x =x , < ,


?

?

2 乙 甲

2 乙

∴ 甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.8 分 (3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 85 分”为事件 A,则 P(A)= ,随机变量 X 的可能取值为
k 3-k 0,1,2,3,且 X 服从 B(3, ),∴ P(X=k)=C 3 ( ) (1- ) (k=0,1,2,3),

3 8

3 8

3 8

3 8

X 的分布列为: X P

125 225 135 27 512 512 512 512

0

1

2

3

∴ E(X)=0×

125 225 135 27 9 9 +1× +2× +3× = (或 E(X)=np= ).12 分 512 512 512 512 8 8


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