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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编13:等比数列(学生版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 13:等比数列

一、选择题 1 . (2013 届北京丰台区一模理科)设 Sn 为等比数列

?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则
D.5

S3 ( a1



A.2

B.3

C.4

2 . (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知数列

?an ? 是各项均 为正数且公比不等

于 1 的等比数列.对于函数 y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x ) 为“保比差数列函 数”.现有定义在 (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ?

1 , x

② f ( x) ? x2 ,

③ f ( x) ? e x ,

④ f ( x) ?

x,
( )

则 为“保比 差数列函数”的所有序号为 A.①②
3

B.③④

C .①②④

D.②③④

.( 北 京 东 城 区 普 通 校 2013 届 高 三 12 月 联 考 理 科 数 学 ) 已 知 数 列

{an } 为 等 比 数
( )

列, a4 ? a7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为 A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7

4 . (2010 年高考(北京理) 在等比数列 )

?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2a3a4a5 ,则 m=
C.11 D.12





A.9

B.10

5 . (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )已知数列 {an} 满

足 an ? ?

?(1 ? 3a)n ? 10a, n ? 6 ?a
n?7

,n ? 6

( n ? N* ) ,若 {an} 是递减数列,则实数 a 的取值范围是
5 C.?8,1? ? ? 1 5 D.?3,8? ? ?





1 A.?3,1? ? ?

1 1 B.?3,2? ? ?

6 . (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)已知数列

?an ?中, an ? ?4n ? 5 ,等比数列 ?bn ?的公比 q 满足
( )

q ? an ? an?1 ?n ? 2? ,且 b1 ? a 2 ,则 b1 ? b2 ? ?? bn ?
A. 1 ? 4
n

B. 4 ? 1
n

C.

1 ? 4n 3

D.

4n ? 1 3
n

7 . (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , 2S
1 n (3 ? 1) D. 2

? an ?1 ,则 Sn ?
( )

A. 2

n?1

n B. 2 ? 1

C. 3n?1
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8 . (2013 届北京西城区一模理科)等比数列 {an } 中, a1

? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ a3 ? a6 ”的





A.充分而不必要条件 条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要而不充分条件

C. 充分必要

9 . (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,

则 a1 ? q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2 D. 3 或 ?3





10. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,

若 a2 ? 2, 2a3 ? a4 ? 16 ,则 an 等于 A. 2
n?2

( C. 2
n ?1



B. 2

3? n

D. 2

n

二、填空题 11. (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题) 正项等比数列

中,若

,则

等于______.
12. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )在等比数列 {an } 中, a1 =

1 , a4 = - 4 ,则公 2

比 q=

, a1 + a2 + a3 +L + an =

13 . 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 第 一 次 综 合 练 习 理 科 数 学 ) 在 等 比 数 列 (

?an ? 中 , 2a3 ? a2a4 ? 0 ,则

a3 ? ______, ?bn ? 为等差数列,且 b3 ? a3 ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于_______.
1 , a4 ? ?4 , 则 公 比 2

14 .( 2011 年 高 考 ( 北 京 理 )) 在 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a1 ?

q ? ____________; | a1 | ? | a2 | ??? | an |? _____________.
15. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项

和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 ,则 k ? ______.
16. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列

1,b1 ,b2 ,b3 , 9是等比数列,则

b2 的值为 a1 ? a2

.

17. (2013 北京高考数学(理) 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_______;前 n 项和 )

Sn=___________.
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18 . 2013 北 京 东 城 高 三 二 模 数 学 理 科 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 (

?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

a3 ? 2 , S 4 ? 5S 2 ,则 a1 的值为___, S4 的值为___.
19. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ).数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N* ,

都有

an ? m ? an ,则 a3 ? _____; {an } 的前 n 项和 Sn ? _____. am

三、解答题 20 . 2013 届 北 京 市 高 考 压 轴 卷 理 科 数 学 ) 已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 且 (

a1 ? b1 ? 2 , b4 ? 54 , a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (2)数列 {cn } 满足 cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n .
21. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且

Sn ? 2n ? a (n ?N* ) .
(Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (2n ? 1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

22. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)在单调递增数列 {an } 中, a1

? 2 ,不等式

(n ? 1)an ? na2n 对任意 n ? N* 都成立.
(Ⅰ)求 a2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列 {an } 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设 bn ? (1 ? 1)(1 ? )? (1 ? 求证:对任意的 n ? N ,
*

1 2

1 1 ) , c n ? 6(1 ? n ) , n 2 2

bn ? cn ? 0. an ? 12

23. (2009 高考(北京理))已知数集 A ?

?a1, a2 ,?an??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的
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i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1,2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列..k.s.5.
24. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理试题)已知数列 {an } 的前 n 项和为

S n ? n 2 ? n ,数列 {b n } 满足 b1 ? 3b2 ? 3 2 b3 ? ? ? 3n?1 bn

? an ,

n ? N *.
(1)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)求数列 {b n } 的前 n 项和 Tn .

25. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 已知 ?a n ? 为等差数列,且 a 2 )

? ?1, a5 ? 8 .

(I)求数列 a n 的前 n 项和; (II)求数列 2 n ? a n 的前 n 项和.

? ?

?

?

26. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)(本小题满分 14 分)

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn ? 1 , n ? N? . (Ⅰ)写出 a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 ?nan ? 的前 n 项和,求 Tn ; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 0 , bn ? bn?1 ? log2 an (n ? 2) ,求数列 ?bn ? 的通项公式.
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北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 13:等比数列参考答案 一、选择题 1. 2. 3.

B C D 【解析】 在等比数列中, a5a6 ? a4a7 ? ?8 ,所以公比 q ? 0 ,又 a4 ? a7 ? 2 ,解得 ?

?a4 ? ?2 ?a4 ? 4 或? . a7 ? 4 a7 ? ?2 ? ?

?a1 ? ?8 ?a1 ? 1 ?a4 ? ?2 ?a4 ? 4 ? 9 3 由? ,解得 ? 3 ,此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? 1 ? (?2) ? ?7 .由 ? ,解得 ? 3 1, ?a7 ? 4 ?a7 ? ?2 ?q ? ?2 ?q ? ? 2 ?
9 9 此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? a1 (1 ? q ) ? ?8(1 ? ) ? ?7 ,综上 a1 ? a10 ? ?7 ,选 D.

1 8

4. 5. 6. 7. 8. 9.

C ;解:由题意, am ? a1a2 a3a4 a5 =q10=a11,选 C.
D B C B D

10. C 二、填空题 11. 16 【解析】 在等比数列中, 12. 【答案】 - 2; 2 n- 1 -

a2a98 ? a40a60 ,所以由 log2 (a2 a98 ) ? 4 ,得 a2a98 ? 24 ? 16 ,即 a40 a60 ? 16 .

1 2

解:在等比数列中 a4 =a1q 3 =

1 1 3 an ? a1q n ?1 ? (?2) n ?1 q ? ?2 q =- 4 q3 = - 8 2 2 ,所以 ,即 。所以 ,

所 以

an ?

1 (?2)n?1 ? 2n?2 an 2 , 即 数 列 是 一 个 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 所 以

1 (1- 2n ) 1 2 a1 + a2 + a3 +L + an = = 2n- 1 - 。 1- 2 2
13. 2,10

14. 【答案】-2, 2n?1 ?

1 2

【命题立意】 本题考查了等比数列的定义,通项公式和前 n 项和公式,考查了等价转化思想和基本运算. 【解析】在等比数列 {an } 中,因为 a1 ? 以 | an |?

1 n?1 ?2 2

1 1 1 , a4 ? ?4 ,所以 q3 ? ?4 ,所以 q ? ?2 ,所以 an ? (?2)n?1 ,所 2 2 2 1 , 所 以 数 列 {| an |} 是 以 为 首 项 ,2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 所 以 2

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1 (1 ? 2n ) 1 1 2 | a1 | ? | a2 | ?? ? | an |? ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 1? 2 2 2
15. 【答案】6

解:设公比为 q ,因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,则 a3 ? 4 ? a1q2 ? q2 ,所以 q ? 2 ,又 S k ? 63 ?
k 即 2 ? 64 ,所以 k ? 6 。

1 ? 2k , 1? 2

16. 【答案】

3 10

解 : 因 为 1, a1 , a2 ,9 是 等 差 数 列 , 所 以 a1 ? a2 ? 1 ? 9 ? 10 。 1, b1 , b2 , b3 ,9 是 等 比 数 列 , 所 以

b22 ? 1 ? 9 ? 9,因为 b1 2 ? b2 ? 0 ,所以 b2 ? 3 ,所以
17.

b2 3 ? 。 a1 ? a2 10

2, 2

n?1

? 2 a3 ? a5 ? q(a2 ? a4 ) 代入可得 q ? 2 ,

再根据 a2 ? a4 ? a1q ? a1q3 ? 20 ? a1 ? 2 , ? an ? 2n 得用求和公式可得 Sn ? 2n?1 ? 2
18.

1 15 , ; 2 2
n?1

19. 【答案】 8, 2

?2
an ? m ? an am

解:由

an ? m ? an am

可得

a2 ? a1 ,所以 a2 ? a12 ? 22 ? 4 。所以 a3 ? a1a2 ? 2 ? 4 ? 8 。由 a1



an ? m a ? am , 令 m ? 1 , 得 n ?1 ? a1 ? 2 , 即 数 列 {an } 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 所 以 an an

a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2n ) Sn ? ? ? 2n?1 ? 2 。 1? q 1? 2
三、解答题 20. (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q

由 b4 ? b1q 3 ,得 q 3 ?

54 ? 27 ,从而 q ? 3 2

因此 bn ? b1 ? q n ?1 ? 2 ? 3 n ?1 又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a2 ? 8 从而 d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 a n ? a 1 ? ( n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4
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(Ⅱ) c n ? a n bn ? 4 ? ( 3n ? 2) ? 3 n ?1 令 Tn ? 1 ? 3 0 ? 4 ? 3 1 ? 7 ? 3 2 ? ? ? ( 3n ? 5) ? 3 n ? 2 ? ( 3n ? 2) ? 3 n ?1

3Tn ? 1 ? 3 1 ? 4 ? 3 2 ? 7 ? 3 3 ? ? ? ( 3n ? 5) ? 3 n?1 ? ( 3n ? 2) ? 3 n
两式相减得 ? 2Tn ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3
1 2 3 n ?1

? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ? 3 ?

3( 3 n?1 ? 1) 3?1

? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ?
? Tn ? 7 3n (6n ? 7) ? 4 4

9(3n ?1 ? 1) ? 3n ? 2) ? 3n ( 2
,又 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3n

21.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1

? a1 ? 2 ? a .???????????????1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .???????????????????3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .??????????????5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ?N ) .?????????????6 分
*

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? (2n ?1)an ? (2n ?1) ? 2n?1 . 则 Tn ? 1?1 ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 . ① ②

2Tn ?

1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n .

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ???????9 分

? 1 ? 2(2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n ? 1 ? 4(2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3 .???????????????????12 分
所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 .???????????????????????13 分
22. (Ⅰ)解:因为 {an } 是单调递增数列,

所以 a 2 ? a1 , a 2 ? 2 . 令 n ? 1 , 2a1 ? a2 , a 2 ? 4 , 所以 a2 ? ?2, 4? . ??????4 分
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(Ⅱ)证明:数列 {an } 不能为等比数列. 用反证法证明: 假设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, a1 ? 2 ? 0 , an ? 2q n?1 . 因为 {an } 单调递增,所以 q ? 1 . 因为 n ? N* , (n ? 1)an ? na2 n 都成立. 所以 n ? N* , 1 ?

1 ? qn n



因为 q ? 1 ,所以 ?n 0 ? N* ,使得当 n ? n0 时, q n ? 2 . 因为 1 ?

1 ? 2 (n?N* ) . n

1 ,与①矛盾,故假设不成立.???9 分 n 15 9 135 21 ? c 2 ? , b3 ? ? c3 ? (Ⅲ)证明:观察: b1 ? c1 ? 3 , b2 ? ,?,猜想: bn ? cn . 4 2 32 4
n * 所以 ?n 0 ? N ,当 n ? n0 时, q ? 1 ?

用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 3 ? c1 ? 3 成立; (2)假设当 n ? k 时, bk ? ck 成立; 当 n ? k ? 1 时,

bk ?1 ? bk (1 ?

1 2
k ?1

)

? c k (1 ?

1 2
k ?1

)

? 6(1 ?

1 ) 2k

(1 ?

1 2 k ?1

)

? 6(1 ?

1 2
k ?1

?

1 1 1 1 1 ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ) k 2 2 2 2 2

所以 bk ?1 ? ck ?1 . 根据(1) (2)可知,对任意 n ? N ,都有 bn ? cn ,即 bn ? cn ? 0 .
*

由已知得, a 2 n ? (1 ? 所以 a
2n

1 )a n . n

1 1 1 )a n ?1 ? ? ? (1 ? n ?1 ) ? (1 ? )(1 ? 1)a1 . n ?1 2 2 2 2 1 所以当 n ? 2 时, a n ? 2bn?1 ? 2cn ?1 ? 12 (1 ? n ?1 ) ? 12 . 2 2 ? (1 ?
因为 a 2 ? a 4 ? 12 . 所以对任意 n ? N , a
* *

2n

? 12.
*

对任意 n ? N ,存在 m ? N ,使得 n ? 2 ,
m

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因为数列{ an }单调递增, 所以 a n ? a
2m

? 12 , an ? 12 ? 0 .

因为 bn ? cn ? 0 , 所以

bn ? cn ? 0. an ? 12

??????14 分

23. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想

法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1,2,3,6? , 2 3 1 2 3 6
(Ⅰ)由于 3 ? 4 与 ∴该数集具有性质 P. (Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? . 由 A 具有性质 P 可知

an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? . ak

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an ?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an , an an?1 a2 a1 an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , an an?1 a2 a1

从而



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1 a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 , a4 a3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,
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由 A 具有性质 P 可知

a4 ? A. a3

2 由 a2a4 ? a3 ,得

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a2 a3 a3 a2



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列. a4 a3 a2 a1

24.解(1) n ? 1, a1 ? 2

n ? 2, an ? S n ? S n ?1 ? 2n
? a n ? 2n( n ? N * )
b1 ? 3b2 ? 32 b3 + ? +3 n ?1 bn ? a n , n ? N * b1 ? 3b2 ? 32 b3 + ? +3 n ?2 bn ?1 ? an ?1 , n ? 2,
两式作差:3 n ?1 bn ? an - a n ?1 =2

2 ( n ? 2), 又 ? b1 ? 2 3n ?1 2 ? bn ? n ?1 (n ? N * ) 3 ? bn ?
1 2(1 ? ( ) n ) 3 ? 3? 1 (2) Tn = 1 3n?1 1? 3
25.解:(I)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,

因为 a 2 ? ?1, a5 ? 8 , 所以 ?

?a1 ? d ? ?1, ?a1 ? 4d ? 8

解得 a1 ? ?4, d ? 3 , 所以 a n ? ?4 ? 3?n ? 1? ? 3n ? 7 , 因此 a n ? 3n ? 7 ? ?

?? 3n ? 7, n ? 1,2, ?3n ? 7, n ? 3

记数列 a n 的前 n 项和为 S n ,
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? ?

当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 4 , 当 n ? 2 时, S 2 ? a1 ? a 2 ? 5 , 当 n ? 3 时, S n ? S 2 ? a3 ? a 4 ? ? ? a n

? 5 ? ?3 ? 3 ? 7 ? ? ?3 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ?3n ? 7 ?
=5 ?

?n ? 2??2 ? ?3n ? 7 ?? ?
2

又当 n ? 2 时满足此式,

3 2 11 n ? n ? 10 , 2 2

?4, n ? 1, ? 综上, S n ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 2 ?
(II)记数列 2 n a n 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 2a1 ? 2 2 a 2 ? 2 3 a3 ? ? ? 2 n a n ,

?

?

2Tn ? 2 2 a1 ? 2 3 a 2 ? 2 4 a3 ? ? ? 2 n a n ?1 ? 2 n ?1 a n ,
所以 ? Tn ? 2a1 ? d 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? 2 n ?1 a n . 由(I)可知, a1 ? ?4, d ? 3, a n ? 3n ? 7 ,

?

?

4 1 ? 2 n ?1 所以 ? Tn ? ?8 ? 3 ? ? ?3n ? 7 ? ? 2 n ?1 ? ?20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 , 1? 2
故 Tn ? 20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1
26.解:(Ⅰ)由已知得,

?

?

a2 ? 4 , a3 ? 16

由题意,

an?1 ? 3Sn ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ? 1 .

两式相减,得

an?1 ? 4an ( n ? 2 )

a2 ?4 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a1 又因为 ,
所以数列 所以数列 (Ⅱ)因为

?an ? 是以首项为1 ,公比为 4 的等比数列, ?an ? 的通项公式是 an ? 4n?1 ( n ? N? )
Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? 1 ? 2 ? 4 ? 3? 42 ? ?? n ? 4n?1 ,
第 11 页,共 12 页

所以

4Tn ? 4 ?1 ? 2 ? 42 ? 3? 43 ? ?? (n ?1) ? 4n?1 ? n ? 4n ,
?3Tn ? 1 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n?1 ? n ? 4n ?
3n ? 1 n 1 ?4 ? 9 9 ( n ? N? )

两式相减得 ,

1 ? 4n ? n ? 4n 1? 4 ,

整理得,

Tn ?

(Ⅲ) 当 n ? 2 时,依题意得 相加得, 依题意 因为

b2 ? b1 ? log2 a2 , b3 ? b2 ? log2 a3 , , bn ? bn?1 ? log2 an .

bn ? b1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? ? ? log2 an . 1 2 分

log2 an ? log2 4n?1 ? 2(n ?1) .

b1 ? 0 ,所以 bn ? 2?1? 2 ??? (n ?1)? ? n(n ?1) ( n ? 2 ). b1 ? 0 时,符合.

显然当 所以

bn ? n(n ?1) ( n ? N? ).

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