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线性规划常见题型及解法


线性规划常见题型及解法 南安一中 苏浩洋

一、基础篇 线性规划是新教材中新增的内容之一,由已知条件写出约束 条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标 函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下几类常见题 型。 1、 约束条件与可行域 ( 1) 、可行域求约束条件 例 1 、 如图,表示图中阴影区域的不等式组是 2x-y+2≥0 2x+3y

-6≤0 ___________. 说明:如图,易求边界两条直线分别为 2x-y+2=0、2x+3y-6=0,又原点(0,0) 在可行域内,分别满足不等式 0-0+2≥0 与 0+0-6≤0。 ( 不 等 式 Ax+By+C>0 到底表示直线 Ax+By+C=0 的上方还是下方,由 B 的符号 决定。B>0,上方;B<0,下方。或者将之改写为 y>kx+b or y<kx+b 的形式,前 者表示直线 y=kx+b 的上方,后者表示直线 y=kx+b 的下方。 ) ( 2) 、求可行域的面积 y

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、 ?x ? y ? 3 ? 0 所 表 示 的 平 面 区 域 ?y ? 2 ?
的面积为( A、 4 ) B、 1 C、 5 D、 无 穷 大

x+y – 3 = 0 M A O B y =2

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B ※ 备 选 1 :在 坐 标 平 面 上 ,不 等 式 组 x+2y-4≤0 y≥│x│+1

C x 2x + y – 6= 0 =5

4 所 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ___. 3

说 明 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 △ADC 的 面 积 加 上 △ BDC 的 面 积 即 可 。 ( 3) 、求可行域中整点个数 例 3 、满 足 |x| + |y| ≤ 2 的 点( x ,y)中 整 点( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有( ) A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 y

?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x | + |y| ≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ? ?? x ? y ? 2
点 个 数 为 13 个 , 选 D 2、 目标函数的最优解

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y 0) ( x 0, y ? 0) ( x 0, y 0)

O

x

作 出 可 行 域 如 右 图 ,是 正 方 形 内 部( 包 括 边 界 ) ,容 易 得 到 整

( 1) 、求线性目标函数的最优解

?x ? 2 ? 例 4、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ?y ? 2 , 则 z=x+ 2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A 、[2 ,6] B、[2,5] C、[3,6] D、 ( 3,5] 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l : x+ 2y = 0, 将 l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0 ) 时 , 有 最 小 值 2 , 过 点 B( 2,2 ) 时 , 有 最 大 值 6, 故选 A

()

说 明 : 在 线 性 规 划 中 , 对 于 形 如 z= a x+ by 的 目 标 函 数 , 可 先 变 形 a z z 为 y=? x ? , 看 做 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 ,问 题 就 化 归 为 求 b b b 纵截距范围或极值的问题。 ) ※ 备 选 2 :设 x、y 满 足 约 束 条 件 则 z=2x+y 的 最 大 值 是 2。 说 明 : 如 图 阴 影 部 分 表 示 可 行 域 , 可 知 z=2x+y 在 B ( 1, 0) 处 取 x+y≤1, y≤x, y≥0,

最 大 值 2。 ( 2) 、求非线性目标函数的最优解 例 5 、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 y A

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

,则 z=x 2 +y 2 的 最 大 值

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

和最小值分别是() A 、 13 , 1 C 、 13 , B、 13 , 2 D、 13 ,
2 2

x 2x + y - 2= 0 =5

4 5

2 5 5

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , x +y 是 点 ( x, y) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A ( 2,3 ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| 2 =13 , 最 小 4 值 为 原 点 到 直 线 2x + y - 2=0 的 距 离 的 平 方 , 即 为 ,选 C 5 说 明 : 在 线 性 规 划 中 , 对 于 形 如 z= ( x-a ) 2 +( y-b ) 2 的 目 标 函 数 均 可 求 可 行 域 内 的 点 ( x , y ) 与 ( a, b ) 的 距 离 的 最 值 问 题 。 ※ 备 选 3: 已 知 x、 y 满足约束条件 Z=| x-4y+1|的 最 大 值 与 最 小 值 . 解 : 先 作 出 可 行 域 如 图 : △ ABC 表 示 的 区 域 。 并 求 A ( 5, 2) B ( 1 , 1) C ( 1, 4.4 ) 。 y 1、由 z= ,可 知 z 的 几 何 意 义 是 可 行 域 内 的 x 点 与 原 点 连 线 的 斜 率 。 由 图 : 当 x=5 , y=2 时 , z m i n =0 . 4 ; 当 x=1 , y=4.4 时 , z m a x =4.4 。 2、 z= x-4y+3≤0 分别求: z= 3x+5y-25≤0 , x≥1

y x 与

17 ?

x - 4y ? 1 17

,而

x - 4y ? 1 17

表示可行域内的点到直线

x - 4y ? 1 =0 的距离。当( x , y) 在 x - 4y ? 1 =0 上时,z m i n =4 , 当 ( x, y )
在 C ( 1 , 4.4 ) 时,z m a x =15.6 。

说明: 在 线 性 规 划 中 , 对 于 形 如 z=

b y ? (? ) a a 的 形 式 ,将 问 题 化 归 为 求 点( d 变 形 z= ? , ? b )与 ? c x ? (? d ) a c c 可 行 域 内 的 点 ( x , y) 连 线 斜 率 的 a/c 倍 的 范 围 最 值 ; 对 于 形 如
z= | Ax+By+C| 的 目 标 函 数 , 可 化 为 z=

ay ? ( b ac ≠ 0) 的 目 标 函 数 , 可 先 cx ? d

A2 ? B 2 ?

Ax ? By ? C A2 ? B 2

形式,

求 可 行 域 内 的 点 ( x , y) 到 直 线 Ax+By+C =0 距离的 A2 ? B 2 倍的最值。 3、 参 数 的 取 值 范 围 ( 1) 、求线性目标函数中参数的取值范围

?x ? y ? 5 ? 例 6 、已 知 x 、y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?

,使 z=x+ay(a>0)

取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1





如 图 ,作 出 可 行 域 ,作 直 线 l :x+ay = 0,要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ,则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+ y = 5 重 合 , 故 a=1 , 选 D ※ 备 选 4: 如图, A(1,0) 、 B(0,1) 、 C( 2 , 4 ), 3 5 目 标 函 数 t=ax-y 的 可 行 域 为 四 边 形 OACB, 2 2 若 当 且 仅 当 x= ,y= 时,目标函数 t 3 3 取 最 小 值 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( -2.4 , -0 . 3 ) . 说明: K B C =-0.3,K A C =-2.4, 平 移 斜 率 为 a 的 直 线 ax - y = 0 , 由 题 意 可 知 : -2.4 < a< -0.3 ( 2) 、求约束条件中参数的取值范围

例 7 、已 知 |2x - y+ m| < 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点( 0,0 ) ( - 1,1 ) , 则 m 的取值范围是 ( ) y A、 ( -3,6 ) B 、 ( 0,6 ) C 、 ( 0,3 ) D、 ( -3,3 ) 2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

?2 x ? y ? m ? 3 ? 0 解 : |2 x - y + m| < 3 等 价 于 ? ?2 x ? y ? m ? 3 ? 0

O ?m ? 3 ? 3 由右图可知 ? , 故 0< m< 3, 选 C ?m ? 3 ? 0 x-y+5≥0 ※ 备 选 5: 已 知 x、y、z ,满 足 x+y+k≥0 , 且 z=2x+4y 的 最 小 值 x≤3 为 -6 , 则 常 数 k= ( D ) A、 2 二、综合篇 线性规划是数学规划中理论较完整、方法教成熟的、应用较广泛 的一个分支。它不单单是对直线内容的深化,而且更多的是与解 析几何、向量、不等式、概率等其它知识的交汇。近年高考的分 值在逐年增加,这类问题的综合命题就更加令人注目。 1、 与函数交汇
2

B、 9

C 、 3 10

D、 0

例 8 : 已 知 函 数 f(x)=ax -c, 满 足 , f( 1 ) ∈ [-4 , -1] , f(2) ∈ [-1 , 5] , 求 f( 3 ) 的 取 值 范 围 。 解 答 :f( 1) ∈ [-4 ,-1] ? -4 ≤a-c≤-1; f( 2 ) ∈ [-1 , 5] ? -1 ≤4a-c≤5;在坐 标平面 aoc 中,原题相当于在约束条件 c≤4a+1 c≥a+1 及 下求目标函数 z= f(3)=9 a-c 的 最 优 解 。 c≤a+4 c≥4a-5 如 图 , 可 行 域 为 ? ABCD 。 做 直 线 L: 9a-c=0 。 平 移 L 使 过 A ( 0, 1) 时 , z m i n =-1 ; 平 移 L, 使 过 C( 3, 7) , z m a x =20 。 ∴ f(3)= [-1 , 20]

※ 备 选 6: 已 知 函 数 f(x)=(3a-1)x+b-a, 若 当 0≤x≤1,总有 f(x) ≤1, 则 a+b 的最大值为____________. 简 析 : f( 0) ≤1, f(1) ≤1 即 b-a≤1,2a+b-1≤1。化归为线性目标函数 z=a+b 在该约束条件下的最大值。

2、

与概率交汇

例 9 、 甲 、 乙 两 人 相 约 在 13h 到 14h 在 公 园 相 见 ,早 到 者 在 等 待 20min 后 离 去 ,若 两 人 到 达 公 园 的 时 刻 相 互 独 立 , 且 在 13h 到 14 h 的 任 何 时 刻 都 等 可 能 , 则 他 们 能 相 见 的 概 率 为 ( D) 1 1 2 5 A 、9 B 、 3 C 、 3 D、 9 解 : 假 设 ( x, y) 表 示 甲 到 达 时 间 为 x 分 钟 , 乙 到 达 时 间 为 y 分 钟 ,则 两 人 要 相 遇 必 须 满 足 |x-y| ≤20。 在坐标平面 x oy 中, 作出|x-y| ≤20 表示的平面区域(如图阴影部分,其可行域面积为 S1) ,则甲 乙 到 达 的 可 能 结 果 的 全 体 G 为 正 方 形 ABCD , 而 只 有 当 ( x, y) 必 须 落 在 其 中的可行域中,两人方能见面。 S ? 2 S ?DHE S1 所 以 P= = ABCD S ABCD S ABCD ※ 备 选 7 : 在 长 为 k 的 线 段 AB 上 任 意 作 两 点 L 、 M , 求 |LM| ≤|LA| 的概率=0.75。 说明:在求解某些概率问题时,可借助坐标系和一系列的等价变 换,将一次试验可能结果的全体用某一图形的面积 G 来代替,然 后将其所求事件包含的结果数以线性约束条件的形式展现出来, 若 其 相 应 的 可 行 域 面 积 为 g , 则 所 求 事 件 的 概 率 为 g/G 。

3、

与几何交汇

例 10 、 设 集 合 A={( x, y) |x , y, 1-x-y 是 三 角 形 的 三 边 长 }, 则 A 所 表 示 的 平 面 区 域 ( 不 含 边 界 的 阴 影 部 分 ) 是 ( A)

x>0 x+y>1-x-y 且 y>0 y+1-x-y >x 1-x-y>0 x+1-x-y>y 又如上面的例题中的整点、距离、斜率、轨迹等都是线性规划与 简析: 平面几何的综合考察。

4、 例 11 、

与向量交汇

? 1? OM ? ?1, ?, ON ? (0,1), 则满足条件0 ? ON ? OP ? 1, 0 ? OM ? OP ? 1, ? 2? 的动点P的变化范围是(A)

解:设 P 的坐标 P(x,y) ,则由已知可得:0≤x+0.5y≤1,0≤y≤1,新的思 维:线性规划。因此动点 P 的变化范围是 A 中阴影部分且包括边界。 说明:向量的另一种表示——坐标表示式的出现,使其与线性规划的交汇显得 自然。可见线性规划问题中的可行域,是解决线性规划问题的基础,但他并不 光是求线性目标函数的最大值和最小值问题,他的应用是广泛的。 (责任编辑:侯燕庭)


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