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2.3.2 幂函数(习题)

时间:2016-01-02


基 础 梳 理 1.常见幂函数的性质如下表: 单调性 y=x 在 R 上递增 在[0, +∞)上递 增 y =x 2 R [0,+∞) 偶函数 在(-∞,0]上递 减 3 R R y =x 奇函数 在 R 上递增 1 在[0, +∞)上递 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 y=x2 增 在(-∞,0)上递 减 y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 在(0, +∞)上递 减 2.(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,且都经过点________; (2)如果 α>0, 则幂函数的图象还经过原点(0, 0), 并且在________ 上是增函数; (3)如果 α<0,则幂函数的图象不经过原点(0,0),在_________ 上是减函数. 基础梳理 2.(1)(1,1) (2)[0,+∞) (3)(0,+∞) ,思 考 应 用 1.由幂函数的图象,我们可以知道该幂函数所具有的性质.反 之,由幂函数所具有的性质,我们也能判断该幂函数图象的变化趋 势. 若幂函数不过原点, 那么这个幂函数在第一象限的图象是如何变 化的? 解析:若幂函数 y=xα不过原点,则幂指数 α<0,那么这个幂函 数在第一象限的图象与坐标轴没有交点, 且图象是下滑的, 即在区间 (0,+∞)上是减函数. 1 2.我们知道,幂函数 f(x)= 是奇函数,图象关于原点对称,也 x 1 关于直线 y=x 和 y=-x 对称, 那么函数 g(x)= 的图象也有相应 x-1 的对称性.如何研究函数 g(x)的对称性? 定义域 R 值域 R 奇偶性 奇函数

1 2. 解析: 将函数 f(x)= 的图象向右平移一个单位, 即得函数 g(x) x 1 = 的图象.由此可知,函数 g(x)的图象关于点(1,0)对称,也关 x-1 于直线 y=x-1 和 y=1-x 对称. 3 .由幂函数 f(x) = x3 的图象可知, 幂函数 f(x) = x3 在区间 (-∞,+∞) 上 是 增 函 数 , 你 能 确 定 函 数 g(x) = (1 - x)3 在 区 间 (-∞,+∞)上的单调性吗? 3.解析:幂函数 f(x)=x3 在区间(-∞,+∞)上是增函数,则 h(x)=(-x)3=-x3 在区间(-∞,+∞)上是减函数,故函数 h(x-1) =-(x-1)3=(1-x)3, 即函数 g(x)=(1-x)3 在区间(-∞,+∞)上是 减函数. ,自 测 自 评 1.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 1 有相同定义域的是( x 1 B.f(x)= x x D.f(x)=e )

2.函数 y= | x|是( ) A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 ? 1? 3. 幂函数的图象过点?2,4?, 则它的单调递增区间是________. ? ? 自测自评 1 1.解析:由 y= 可得定义域是 x>0.f(x)=ln x 的定义域是 x x 1 >0;f(x)= 的定义域是 x≠0;f(x)=|x|的定义域是 R;f(x)=ex 定义 x 域是 R.故选 A. 答案:A 2.A 3.(-∞,0) ?基础达标 1.设函数 y=x|x|,x∈R,则此函数( A.是奇函数又是减函数

)

B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数 C 5 2.函数 y=x3的图象大致是下列图中的(

)

2.B 3.函数 y= x+1的递增区间是________ . 3.[-1,+∞) 1 4.函数 y= 2的定义域是________________,在区间________ x 上是减函数. 4.{x|x∈R,x≠0} (0,+∞) 5.若幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 2),则这个函数的解析式为 ________. 1 5.f(x)=x2 6.若函数 f(x)= (t+ 2)xt- 1 是幂函数,则这个函数的解析式为 ________. 6.解析:t+2=1,∴t=-1,∴f(x)=x-2.

答案:f(x)=x-2
? 1 ? 7.用描点法作出幂函数 y=xα ?α =-1,2,1,2,3?的图象, ? ?

并说明函数的定义域和单调性. 7.分析:首先作出函数的图象,根据图象研究其性质. 解析:五个幂函数的图象如图所示.

(1)y=x-1 的定义域为{x|x∈R,x≠0},在区间(-∞,0)及(0,+ ∞)上单调递减. (2)y=x 定义域为 R,在区间(-∞,+∞)上单调递增. 1 (3)y=x2的定义域为[0,+∞),在区间[0,+∞)上单调递增. (4)y=x2 的定义域为 R,在区间(-∞,0]上单调递减,在[0,+ ∞)上单调递增. (5)y=x3 的定义域为 R,在区间(-∞,+∞)上单调递增. 1 点评:对于 y=x2,y=x3 的图象和性质,要通过和 y=x2 的图象 和性质进行比较, 找出它们的共性和特性、 区别和联系, 并加深理解. ?巩固提高 1 8. 关于函数 y=x- 的性质, 有以下判断: ①定义域是(0, +∞); 2 ②值域是(0,+∞);③不是奇函数;④不是偶函数;⑤在区间(0,+ ∞)上是减函数.其中判断正确的是____________(填序号). 8.①②③④⑤
?1 ? 9.函数 y=?x-1?的递减区间是________. ? ?

1 ? ?x-1,0<x≤1, 解析:y=? 故递减区间是(0,1]. 1 ? ?1-x,x>1或x<0, 答案:(0,1] 2 10.探究函数 y=x3的性质: (1)指出函数的定义域和值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)指出函数的递增区间和递减区间. 10.(1)定义域是 R,值域是[0,+∞) (2)偶函数 (3)[0,+∞)是递增区间,(-∞,0]是递减区间

1. 研究与幂函数相关的函数的性质时, 应抓住图象的变化规律, 应用图象研究性质. 2.由幂函数与其他函数复合而成的函数,要清楚复合的过程. 3.注意函数性质的综合应用.


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