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2008北大自主招生数学


一、解答题 1. 2. 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为

5 ?1 2

已知六边形 AC1BA1CB1 中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 的一半
A C1 B1 H

B A1

/>C

3. 已知 a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 , a1a2 ? a2 a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 ,

min(a1, a2 , a3 ) ? min(b1, b2 , b3 ) , 求证: max(a1, a2 , a3 ) ? max(b1, b2 , b3 )
4.排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队(胜得 1 分 败得 0 分) 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠军是一支
2

5.(理科)O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内 0 ? y ? 2 ? x 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点 (1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2π 求 C 上未被照到的长 度 ##Answer## 0 0 0 1.【简解】 方法一、对角线 AC=2cos36 ,而 sin36 =cos54 ,即 2sin18 cos18 =4cos 18 -3cos18 ? sin18 =
0 0 3 0 0 0

5 ?1 2 0 ,AC=2(1-2sin 18 )= 4

5 ?1 2

B _ 1 _ x _

1 _ 2 _ x _ D _ 1-x _ 5 _ E _ 3 _

A _

x _

x _ C _

4 _

x 1? x ? 1 x
[方法二]三角形 ABE∽三角形 DAE 则: x ?

5 ?1 2 5 ?1 2

对角线AC=1+x=

2.【简解】略证:将△AC1B 绕点 A 旋转,使△AB1H≌△AC1B,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 ? ∠A1+∠ 0 B1+∠C1=360 ? ∠A1=∠HB1C △BAC1≌△HB1C 原结论成立
1

3.【解析】证明:不妨设 a1 ? a2 ? a3 , b1 ? b2 ? b3 ,条件为 a3≤b3,要证 a1≤b1 ? ? ? ? 设 a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 =s,a1= +a,b1= +b,则 a2= -a,b2= -b,a3=s-α ,b3=s-β (α ≥β ) 2 2 2 2 3 (? ? ? ) ? s ? ? 3 b?a 1 1 要证 a1≤b1 ? +a≤ +b ? ? ?4 ? ? (α +β )-2s≥a+b ? 2 2 2 ? ?? 2 a?b 2 a ? a 2 b1 ? b2 3 (a1 ? b1 ? a 2 ? b2 ) ? (a1 ? a 2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ) ? 1 ? ?a2+b2≥a3+b3 显然成立 2 2 2 4.【解析】解:设北方球队共有 x 支,则南方球队有 x+9 支 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 2 ? (2 x ? 9)( x ? 4) 所有球队总得分为 C2 x ?9 ? 2 9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) (2 x ? 9)( x ? 4) ? 南方球队总得分为 北方球队总得分为 10 2 10 10 (2 x ? 9)( x ? 4) x( x ? 1) 2 2 ? ?0 南方球队内部比赛总得分 Cx?9 北方球队内部比赛总得分 Cx 10 2 11 ? 229 11 ? 229 11 ? 16 (2 x ? 9)( x ? 4) ?x? ? ?9 解得: 因为 为整数 10 3 3 3
x=6 或 x=8 当 x=6 时
2

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) =210 2 9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) (2 x ? 9)( x ? 4) ? 南方球队总得分为 =189 北方球队总得分为 =21 10 2 10 10 2 2 南方球队内部比赛总得分 Cx?9 =105 北方球队内部比赛总得分 Cx =15
所有球队总得分为 C2 x ?9 ? 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为 11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分 冠军在南方球队中

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) =300 2 9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) (2 x ? 9)( x ? 4) ? 南方球队总得分为 =270 北方球队总得分为 =30 10 2 10 10 2 2 南方球队内部比赛总得分 Cx?9 =136 北方球队内部比赛总得分 Cx =28 北方胜南方得分=30-28=2
当 x=8 时 所有球队总得分为 C2 x ?9 ?
2

北方球队最高得分=7+2=9 因为 9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分.

冠军在南方球队中综上所述,冠军是一支南方球队 ? y ? ?2 x ? 2 ?y ? y ? ?2 z ? 2 2 2 ?y 5.【解析】抛物面方程为 y=2-x -z , =-2x 得 l1 ? , =-2z 得 l1 ? ,取点 ?x ?z ? z ?1 ? x ?1
(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1)设切面 ax+by+cz+d=0

? 2b ? c ? d ? 0 4 5 ? 得 cosθ =d/r,2θ r=2π (r-1) ? l=2 ?a ? 2b ? d ? 0 得切面 2x+y+2z-4=0,故交线为 2x+y-4=0,d= 5 ? a?c?d ?0 ?
π (r-1)
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