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湖南浏阳一中2012届高三六月(适应性)模拟考试 数学理


湖南浏阳一中 2012 届高三六月(适应性)模拟考试
数学理
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},则 M∩N= A.{x|0<x<3} B.{x|-1<x<2} C.{x|-1&

lt;x<3} D.{x|-1<x<0} π 2.已知函数 f(x)=sin(2x- ),若存在 α∈(0,π),使得 f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则 α 的 4 值是 π π π π A. B. C. D. 6 3 4 2 3. 6 名同学安排到 3 个宿舍,每个宿舍两人,其中甲必须在一号宿舍,乙和丙均不能到 三号宿舍,则不同的安排方法种数为 A.6 B.9 C.12 D.18 4.在△ABC 所在的平面内有一点 P,满足 PA + PB + PC = AB ,则△PBC 与△ABC 的面积之比是 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4

5.设 m>0,则直线 x+ 3y+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 6.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.41 x-y+2≥0 7.已知实数 x,y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ,目标函数 z=y-ax(a∈R),若 z 取最 2x-y-5≤0 大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 8.设 m∈N*, F(m)表示 log2m 的整数部分, 则 F(210+1)+F(210+2)+F (210+3)+…+F(211) 的值为( ) A.10× 210 B.10× 210+1 C.10× 210+2 D.10× 210-1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号

后的横线上. (一) (请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题给分)

). 以极点为坐标原点,极轴为 X 轴 4 ? x ? ?1 ? a cos? 的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C 2 的参数方程是 ? (?为参数且a ? 0) , ? y ? ?1 ? a sin ? 若圆 C1 与圆 C 2 相外切,则正数 a=
10 如图,已知 PT 切圆 O 于点 T,PA 交圆 O 于点 A、B 两点且与圆 O 的直径 CT 交于 D,CD=2,AD=3,BD=6,则 PB= 。 C A D O T P R 11 在 调 试 某 设 备 的 线 路 中 , 要 选 一 个 电 阻 , 但 调 试 者 手 里 只 有 阻 值 为 0.5k?,1k?,1.3k?,2k?,3k?,5k?,5.5k? 等七种阻值不等的定值电阻。若用分数法进行优 选,则第 2 个试点的阻值为 (二)必做题(12~16 题) (a-i)(1-i) 2.已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 的值是 . i 13 若 x1,x2,x3,…,x2009,x2010 的方差是 2,则 3(x1-1),3(x2-1),…,3(x2009-1),3(x2010 -1)的方差是 . 14 已知函数 f(x)=-x2+ax-2b.若 a,b 都是区间[0,4]内的数,则使 f(1)>0 成立的概率 是 15 某机构对小学生作业负担的情况进行调查,设每个学生平均每天作业的时间为 x(单 位:分钟),且 x~N(60,100),已知 P(x≤50)=0.159.现有 1000 名小学生接受了此项调查,下 图是此次调查中某一项的流程图,则输出的结果大约是 . B

9 在极坐标系中,圆 C1 的方程为 ? ? 4 2 cos( ? ?

?

16.如图, 将平面直角坐标系的格点(横、 纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签: 原点处标数字 0,点(1,0)处标数字 1,点(1,-1)处标数字 2,点(0,-1)处标数字 3,点(- 1,-1)处标数字 4,点(-1,0)处标数字 5,点(-1,1)处标数字 6,点(0,1)处标数字 7,…以 此类推,① 标数字 50 的格点的坐标为 .② 记格点坐标为(m,n)的点(m、n 均为正整数) 处所标的数字为 f(m,n),若 n>m,则 f(m,n)= .

17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 AB ? AC ? BA? BC ? k (k ? R). (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若 c ?

2 , 求k 的值.

18. (本小题满分 12 分) 在 2008 年春运期间,一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择,即坐火车或 汽车。 已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的 3 倍, 汽车票随时都能 买到。若先去买火车票,则买到火车票的概率为 0.6,买不到火车票,再去买汽车票。 (I)求这名大学生先去买火车票的概率; (II)若火车票的价格为 120 元,汽车票的价格为 280 元,设该大学生购买车票所花费钱 数为 ? , 求? 的期望值。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA 1C1C ? 底面ABC,

AA1 ? A1C ? AC ? 2, AB ? BC,且AB ? BC, O为AC的中点。
(1)在 BC1 上确定一点 E,使得 OE//平面 A1AB,并说明理由; (2)求直线 BC1 与平面 A1AB 所成的角 ? 的正弦值。 A1 C1 B1 O A B C

20.(本小题满分 13 分) 某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是 3 元,根据市场调查,预计每件产品的 出厂价为 x 元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2 万件;若该企业所生产的产品全部销售, 则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常 数 a(1≤a≤3). (1)求该企业正常生产一年的利润 L(x)与出厂价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.

21.(本小题满分 13 分) 设向量 a=(x+1,y),b=(x-1,y),点 P(x,y)为动点,已知|a|+|b|=4. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 P 的轨迹与 x 轴负半轴交于点 A,过点 F(1,0)的直线交点 P 的轨迹于 B、C 两 点,试推断△ABC 的面积是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明 理由.

22. (本题满分 13 分 ) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ; (Ⅲ)若过点 A(1, m)(m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
(Ⅱ)求证:对于区间 [?1, 1] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有

数学(理)试题答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},则 M∩N= A A.{x|0<x<3} B.{x|-1<x<2} C.{x|-1<x<3} D.{x|-1<x<0} π 2.已知函数 f(x)=sin(2x- ),若存在 α∈(0,π),使得 f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则 α 的 4 值是 π π π π A. B. C. D. D 6 3 4 2 3. 6 名同学安排到 3 个宿舍,每个宿舍两人,其中甲必须在一号宿舍,乙和丙均不能到 三号宿舍,则不同的安排方法种数为 A.6 B.9 C.12 D.18 B 4.在△ABC 所在的平面内有一点 P,满足 PA + PB + PC = AB ,则△PBC 与△ABC 的面积之比是 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4

4.C 解:由 PA + PB + PC = AB 得 PA + PB + BA + PC =0,即 PC =2 AP , 所以点 P 是 CA 边上的三等分点,故 S△ PBC∶ S△ ABC=2∶ 3. 5.设 m>0,则直线 x+ 3y+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系是(C ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 6.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为( C ) A.1 B.16 C.81 D.41 x-y+2≥0 7.已知实数 x,y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ,目标函数 z=y-ax(a∈R),若 z 取最大 2x-y-5≤0 值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是( C ) A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 8.设 m∈N*, F(m)表示 log2m 的整数部分, 则 F(210+1)+F(210+2)+F (210+3)+…+F(211) 的值为( B ) A.10× 210 B.10× 210+1 C.10× 210+2 D.10× 210-1 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号 后的横线上. (一) (请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题给分)

). 以极点为坐标原点,极轴为 X 轴 4 ? x ? ?1 ? a cos? 的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C 2 的参数方程是 ? (?为参数且a ? 0) , ? y ? ?1 ? a sin ? 若圆 C1 与圆 C 2 相外切,则正数 a=

9 在极坐标系中,圆 C1 的方程为 ? ? 4 2 cos( ? ?

?

10 如图,已知 PT 切圆 O 于点 T,PA 交圆 O 于点 A、B 两点且与圆 O 的直径 CT 交于 D,CD=2,AD=3,BD=6,则 PB= 。 C A D O T P R 11 在 调 试 某 设 备 的 线 路 中 , 要 选 一 个 电 阻 , 但 调 试 者 手 里 只 有 阻 值 为 0.5k?,1k?,1.3k?,2k?,3k?,5k?,5.5k? 等七种阻值不等的定值电阻。若用分数法进行优 选,则第 2 个试点的阻值为 (二)必做题(12~16 题) (a-i)(1-i) 12.已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 的值是 .-1 i 13 若 x1,x2,x3,…,x2009,x2010 的方差是 2,则 3(x1-1),3(x2-1),…,3(x2009-1),3(x2010 -1)的方差是 .18 14 已知函数 f(x)=-x2+ax-2b.若 a,b 都是区间[0,4]内的数,则使 f(1)>0 成立的概率 是 9/64. 15 某机构对小学生作业负担的情况进行调查,设每个学生平均每天作业的时间为 x(单 位:分钟),且 x~N(60,100),已知 P(x≤50)=0.159.现有 1000 名小学生接受了此项调查,下 图是此次调查中某一项的流程图,则输出的结果大约是 .159 B

16.如图, 将平面直角坐标系的格点(横、 纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签: 原点处标数字 0,点(1,0)处标数字 1,点(1,-1)处标数字 2,点(0,-1)处标数字 3,点(- 1,-1)处标数字 4,点(-1,0)处标数字 5,点(-1,1)处标数字 6,点(0,1)处标数字 7,…以 此类推, ① 标数字 50 的格点的坐标为 (4,2) .② 记格点坐标为(m, n)的点(m、 n 均为正整数) 处所标的数字为 f(m,n),若 n>m,则 f(m,n)= (2n+1)2+m-n-1,(n>m) .

【解析】f(1,0)=12,f(2,1)=32,f(3,2)=52,…,f(n+1,n)=(2n+1)2. ∵n>m,∴n≥m-1,∴当 n>m 时,f(m,n)=(2n+1)2+m-n-1. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 AB ? AC ? BA? BC ? k (k ? R). (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若 c ?

2 , 求k 的值.

17. (本小题满分 12 分) 解: (I)? AB ? AC ? cb cos A, BA? BC ? ca cos B …………1 分

又 AB ? AC ? BA ? BC ? bc cos A ? ac cos B ? sin B cos A ? sin A cos B 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 0 ? sin(A ? B) ? 0 ? ?? ? A ? B ? ? ?A? B ? ?ABC 为等腰三角形. (II)由(I)知 a ? b b2 ? c2 ? a2 c2 ? AB ? AC ? bc cos A ? bc ? ? 2bc 2 ?c ? 2 ?k ?1
…………3 分 …………5 分

…………7 分

…………10 分

18. (本小题满分 12 分) 在 2008 年春运期间,一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择,即坐火车或 汽车。 已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的 3 倍, 汽车票随时都能 买到。若先去买火车票,则买到火车票的概率为 0.6,买不到火车票,再去买汽车票。 (I)求这名大学生先去买火车票的概率; (II)若火车票的价格为 120 元,汽车票的价格为 280 元,设该大学生购买车票所花费钱 数为 ? , 求? 的期望值。 18.解: (I)设先去买火车票的概率为 P(A) ,先去买汽车票的概率为 P(B) , 则由条件可知 ?

?P( A) ? 3P( B), ?P( A) ? 0.75, 解之得? ?P( A) ? P( B) ? 1. ?P( B) ? 0.25.

即先去买火车票的概率为 0.75. …………4 分 (II)解:该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为 0.75 ? 0.6 ? 0.45. …………6 分 ∴该大学生买汽车票的概率为 1 ? 0.45 ? 0.55. …………8 分 设该大学生购买车票所花费钱数为ξ ,可得ξ 的分布列如下: 120 280 ξ P 0.45 0.55 ∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为

E (? ) ? 120? 0.45 ? 280? 0.55 ? 208.

…………12 分

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA 1C1C ? 底面ABC,

AA1 ? A1C ? AC ? 2, AB ? BC,且AB ? BC, O为AC的中点。
(1)在 BC1 上确定一点 E,使得 OE//平面 A1AB,并说明理由;

(2)求直线 BC1 与平面 A1AB 所成的角 ? 的正弦值。 A1 C1 B1 O A C

B 20.(本小题满分 13 分) 某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是 3 元,根据市场调查,预计每件产品的 出厂价为 x 元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2 万件;若该企业所生产的产品全部销售, 则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常 数 a(1≤a≤3). (1)求该企业正常生产一年的利润 L(x)与出厂价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润. 解:(1)依题意,L(x)=(x-3)(11-x)2-a(11-x)2=(x-3-a)(11-x)2,x∈ [7,10].(4 分) 2 (2)因为 L′(x)=(11-x) -2(x-3-a)(11-x)=(11-x)(11-x-2x+6+2a) =(11-x)(17+2a-3x). 由 L′(x)=0,得 x=11 17+2a [7,10]或 x= .(6 分) 3

19 17+2a 23 因为 1≤a≤3,所以 ≤ ≤ . 3 3 3 ① 当 19 17+2a ≤ ≤7,即 1≤a≤2 时,L′(x)在[7,10]上恒为负,则 L(x)在[7,10]上为减函数, 3 3

所以[L(x)]max=L(7)=16(4-a).(9 分) 17+2a 23 17+2a 4 ② 当 7< ≤ ,即 2<a≤3 时,[L(x)]max=L( )= (8-a)3.(12 分) 3 3 3 27 即当 1≤a≤2 时,则每件产品出厂价为 7 元时,年利润最大,为 16(4-a)万元.当 2<a≤3 17+2a 4 时,则每件产品出厂价为 元时,年利润最大,为 (8-a)3 万元.(13 分) 3 27 21.(本小题满分 13 分) 设向量 a=(x+1,y),b=(x-1,y),点 P(x,y)为动点,已知|a|+|b|=4. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 P 的轨迹与 x 轴负半轴交于点 A,过点 F(1,0)的直线交点 P 的轨迹于 B、C 两 点,试推断△ABC 的面积是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明 理由.
2 2 2 2 【解】 (Ⅰ)由已知, ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? 4

(1 (3 (4

分) 所以动点 P 的轨迹 M 是以点 E (?1, 0), F (1, 0) 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 分) 因为 c ? 1, a ? 2 ,则 b ? a ? c ? 3 . 分)
2 2 2

故动点 P 的轨迹 M 的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(5

分) (Ⅱ)设直线 BC 的方程为 x ? my ? 1 ,

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ? (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
分) 设点 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 分) 所

(6

6m 9 , y1 y2 ? ? . 2 2 3m ? 4 3m ? 4

(7 以

|B

?

2 1

C|

?

2

? (m 2 ? 1)[
分)

36m 36 12(m ? 1) ? 2 ]? . 2 2 (3m ? 4) 3m ? 4 3m 2 ? 4
2 2

(8

由题设,点 A 的坐标是(-2,0),则点 A 到直线 BC 的距离 d ? 分)

3 1 ? m2

.

(9

1 18 1 ? m2 . | BC | ?d ? 2 3m2 ? 4 18t 18 令 1 ? m2 ? t ,则 S?ABC ? 2 ? (t ? 1) . 3t ? 1 3t ? 1 t
所以 S?ABC ? 分)

(10

t ? 3 ? 设 g (t ) ? 3t ? , 则 g ?()
上是增函数. 分)

1 t

1 1 .因为当 t ? 1 时,g ?(t ) ? 0 , 则函数 g (t ) ? 3t ? 在 [1, ??) 2 t t
(11

所以当 t ? 1 时, g (t ) ? 4 ,从而 0 ? 分)

9 1 1 ? ,所以 0 ? S ?ABC ? . 2 g (t ) 4
9 . 2

(12

故△ABC 的面积存在最大值,其最大值为 分) 22. (本题满分 13 分 )

(13

3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ; (Ⅲ)若过点 A(1, m)(m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
(Ⅱ)求证:对于区间 [?1, 1] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有

22. (本题满分 13 分 )

(Ⅰ)解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 , 即 ?

?3a ? 2b ? 3 ? 0 , 解得 a ? 1, b ? 0 . ?3a ? 2b ? 3 ? 0
……………………………………………………4 分
2 3

∴ f ( x) ? x 3 ? 3x .

(Ⅱ)∵ f ( x) ? x ? 3x ,∴ f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)(x ?1) , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 [?1, 1] 上为减函数,

f max ( x) ? f (?1) ? 2, f min ( x) ? f (1) ? ?2 ∵对于区间 [?1, 1] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,
都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x)
………………8 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) ? 2 ? (?2) ? 4
(Ⅲ) f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ?1) , ∵曲线方程为 y ? x 3 ? 3x ,∴点 A(1, m) 不在曲线上.
3 设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 .
3 x0 ? 3x0 ? m 因 f ?( x0 ) ? 3( x ? 1) ,故切线的斜率为 3( x ? 1) ? , x0 ? 1

2 0

2 0

3 2 整理得 2x0 ? 3x0 ?m?3? 0.

∵过点 A(1, m) 可作曲线的三条切线,
3 2 ∴关于 x0 方程 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 有三个实根, 3 2 2 设 g ( x0 ) ? 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g ?( x0 ) ? 6x0 ? 6x0 ,

由 g ?( x0 ) ? 0 ,得 x0 ? 0 或 x0 ? 1 .
3 2 ∴函数 g ( x0 ) ? 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 的极值点为 x0 ? 0 , x0 ? 1 . 3 2 ∴关于 x0 方程 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 有三个实根的充要条件是 g (1) g (0) ? 0 ,

即 (m ? 3)(m ? 2) ? 0 ,解得 ? 3 ? m ? ?2 . 故所求的实数 a 的取值范围是 ? 3 ? m ? ?2 . ……………………………………13 分


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