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2007全国高考全国卷2理科数学及答案(WORD版)

时间:2012-11-24


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2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 理科数学(必修+选修 II)
注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 4 页,总分 150 分考试时间 120 分钟. 2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定

的位置 上。 3. 选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 4. 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写, 字体工整, 笔迹清楚。 5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,超出答题区域或在其 它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效。 6. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题)
本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题意要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 2 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4 ?R 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径, P(A·B)=P(A) ·P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 4 3 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 ?R k k n-k Pn(k)=C n P (1-P) V= 3 , 其中 R 表示球的半径 一.选择题 1. sin2100 =

3 (A) 2

3 (B) - 2

1 (C) 2

1 (D) - 2

2.函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是

? ? ? 3? (A)(- 4 , 4 ) (B) ( 4 , 4 ) 1 ? 2i 3.设复数 z 满足 z =i,则 z =
(A) -2+i (B) -2-i 4.以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)
2

3? 3? (C) (?, 2 ) (D) ( 2 ,2?)

(C) 2-i (C) ln 2

(D) 2+i (D) ln2

(B) ln(ln2)

1 CA ? ?CB 5.在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = 3 ,则?= 2 1 1 2 (A) 3 (B) 3 (C) - 3 (D) - 3



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x ?1 2 6.不等式: x ? 4 >0 的解集为
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞) 7.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正 弦等于

10 2 3 (A) (B) 4 (C) 2 (D) 2 2 x y ? ? 3ln x 4 8.已知曲线 的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为
(A)3 (B) 2 (C) 1 (D) x 9.把函数 y=e 的图象按向量 a=(2,3)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)= (A) ex-3+2 (B) ex+3-2 (C) ex-2+3 (D) ex+2-3 10.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求 星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 (A)40 种 (B) 60 种 (C) 100 种 (D) 120 种

6 4

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 11. F1, 2 分别是双曲线 a 设 F 的左、 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90? ,
且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为 (A)

5 2

(B)

10 2

(C)

15 2

(D)

5

12.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC =0,则 |FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3

第 II 卷(非选择题)
本卷共 10 题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (1+2x2)(x-)8 的展开式中常数项为 ① 。 (用数字作答) 14.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,?2) (?)0) ,若 ? 在(0,1)内取值 的概率为 0.4,则 ? 在(0,2)内取值的概率为 ② 。 15. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。 如果正四棱柱的底面边长为 1cm, 2 那么该棱柱的表面积为 ③ cm .

Sn 2 16.已知数列的通项 an=-5n+2,其前 n 项和为 Sn,则 n?? n = ④ lim



三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 10 分)



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? 在 ?ABC 中,已知内角 A= 3 ,边 BC=2 3 ,设内角 B=x, 周长为 y
(1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值

18. (本小题满分 12 分) 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A: “取出的 2 件产 品中至多有 1 件是二等品”的概率 P(A)=0.96 (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p; (2)若该批产品共有 100 件,从中任意抽取 2 件,?表示取出的?件产品中二等品的件数, 求?的分布列

S P

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧 棱 SD⊥ 底面 ABCD,E、F 分别是 AB、SC 的中点 (1) 求证:EF∥ 平面 SAD
第 3 页 D A E B 共 11 页

F

C

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(2) 设 SD = 2CD,求二面角 A-EF-D 的大小

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线:x- 3 y=4 相切 (1)求圆 O 的方程

(2) O 与 x 轴相交于 A、 两点, 圆 B 圆内的动点 P 使|PA|、 |PO|、 |PB|成等比数列, PA ? PB 求 的取值范围。

??? ??? ? ?

21. (本小题满分 12 分)

3 ? an ?1 2 ,n=2,3,4… 设数列{an}的首项 a1∈ (0,1), an=
(1)求{an}的通项公式; (2)设 bn ? an 3 ? 2an ,求证 bn < bn ?1 ,其中 n 为正整数。
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22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x3-x (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点 M(t,f(t))处的切线方程 (Ⅱ)设 a>0,如果过点(a,b)可作曲线 y=f(x)的三条切线,证明:-a<b<f(a)

2007 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
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4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 11.B 12.B 二、填空题 13. ?42 三、解答题 17.解: (1) △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知 14. 0.8 15. 2 ? 4 2 16. ?

5 2 ? 2? . ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?
BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

AB ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ? ?

? ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

18.解: (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ,

A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” .
则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A1 ,故

P( A) ? P( A0 ? A1 )
? P ( A0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p ) 2 ? C1 p (1 ? p ) 2 ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p .
2



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解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) . (2) ? 的可能取值为 0,2 . 1, 若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故

P(? ? 0) ?

2 C80 316 ? . 2 C100 495

C1 C1 160 P(? ? 1) ? 802 20 ? . C100 495 P(? ? 2) ? C2 19 20 ? . 2 C100 495

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

316 495

160 495

19 495
S

19.解法一: (1)作 FG ∥DC 交 SD 于点 G ,则 G 为 SD 的中点. 连结 AG,FG ∥

1 CD ,又 CD ∥ AB , 2
F G

故 FG ∥ AE,AEFG 为平行四边形.

EF ∥ AG ,又 AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD . 所以 EF ∥平面 SAD . (2)不妨设 DC ? 2 ,则 SD ? 4,DG ? 2, ADG 为等 △
腰直角三角形. 取 AG 中点 H ,连结 DH ,则 DH ⊥ AG . 又 AB⊥平面 SAD ,所以 AB ⊥ DH ,而 AB ? AG ? A , 所以 DH ⊥面 AEF . 取 EF 中点 M ,连结 MH ,则 HM ⊥ EF . 连结 DM ,则 DM ⊥ EF . 故 ?DMH 为二面角 A ? EF ? D 的平面角

H M C D A E B

tan ?DMH ?

DH 2 ? ? 2. HM 1

所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arctan 2 . 解法二: (1)如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz . 设 A(a,0) S (0, b) ,则 B(a,a,,C (0,a,, 0,, 0, 0) 0)
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z S
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? a ? ? a b? E ? a, ,?,F ? 0, , ? , 0 ? 2 ? ? 2 2?

F G

??? ? ? b? EF ? ? ?a, ? . 0, 2? ? ???? ? b? b? ? 取 SD 的中点 G ? 0, ? ,则 AG ? ? ?a, ? . 0, 0, 2? 2? ? ?
A ??? ???? ? EF ? AG,EF ∥ AG,AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD , 所以 EF ∥平面 SAD . x

M D E B A C y

(2)不妨设 A(1 0, ,则 B(11 0) C (0,0) S (0, 2) E ?1, ,?,F ? 0, , . , ,, 1,, 0,, 0 1? , 0)

? 1 ? 2

? ?

? ?

1 ? 2 ?

? ? ???? ??? ? ? ? 1 1 1 ? ???? ? 1 1 1 ? ??? MD ? ? EF 0,, EF 中点 M ? , , ?, ? ? ? , , ?, ? (?1,1) MD?EF ? 0,MD ⊥ EF ?2 2 2? ? 2 2 2?
又 EA ? ? 0, ,? , EA?EF ? 0,EA ⊥ EF , ? 0 所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A ? EF ? D 的平面角.

??? ?

? ?

1 2

? ?

??? ??? ? ?

???? ?

??? ?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? MD?EA 3 . cos ? MD, ?? ???? ??? ? EA ? ? 3 MD ?EA
所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arccos

3 . 3

20.解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2. 1? 3
2 2

得圆 O 的方程为 x ? y ? 4 .

0) 0) (2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x ? 4 即得
2

A(?2,,B(2, . 0) 0)
PO PB 设 P( x,y ) ,由 PA , , 成等比数列,得
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,



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x2 ? y 2 ? 2 .
??? ??? ? ? PA?PB ? (?2 ? x, y )? ? x, y) ? (2 ?

? x2 ? 4 ? y2 ? 2( y 2 ? 1).
? x 2 ? y 2 ? 4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故 ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?
由此得 y ? 1 .
2

所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, . 0) 21.解: (1)由 an ?

??? ??? ? ?

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,…, 3, 2 1 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 2
又 1 ? a1 ? 0 ,所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ?

1 的等比数列,得 2

? 1? an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? ? 2?
(2)方法一: 由(1)可知 0 ? an ? 那么, bn ?1 ? bn
2 2

n ?1

3 ,故 bn ? 0 . 2

2 2 ? an ?1 (3 ? 2an ?1 ) ? an (3 ? 2an )

3 ? an ? 2 ? 3 ? an ? ? ?? ? ?3 ? 2? ? ? an (3 ? 2an ) 2 ? ? 2 ? ? 9a ? n (an ? 1) 2 . 4
2

又由(1)知 an ? 0 且 an ? 1 ,故 bn ?1 ? bn ? 0 ,
2 2

因此 方法二:

bn ? bn ?1,n 为正整数.

由(1)可知 0 ? an ? 因为 an ?1 ?

3 ? an , 2

3 ,an ? 1 , 2



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所以

bn ?1 ? an ?1 3 ? 2an ?1 ?

(3 ? an ) an 2
3



? 3 ? an ? 由 an ? 1 可得 an (3 ? 2an ) ? ? ? , ? 2 ?


? 3 ? an ? 2 an (3 ? 2an ) ? ? ? ?an ? 2 ?
2

两边开平方得 即

an 3 ? 2an ?

3 ? an ? an . 2

bn ? bn ?1,n 为正整数.

2 22.解: (1)求函数 f ( x) 的导数; f ?( x) ? 3x ? 1 .

曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为:

y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,


y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .

(2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使

b ? (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 .
于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程

2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0
有三个相异的实数根. 记 则

g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b , g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at

? 6t (t ? a) .
当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t )
g (t )

(??, 0)

0 0 极大值 a ? b

(0,a)
?

a
0 极小值 b ? f (a)

(a, ?) ?

?
?

?
?

?




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由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? f (a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有 一个实数根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ? 数根; 当 b ? f (a) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异 的实数根. 综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,

3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实 2

a 2

则?

? a ? b ? 0, ?b ? f (a ) ? 0.


?a ? b ? f (a ) .



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