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高中数学 1.2.2函数的表示法精讲精析 新人教A版必修1

时间:2016-01-12


课题:1.2.2 函数的表示法 精讲部分
学习目标展示 1. 明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法) ,了解三种表示方法各自的 优点,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; 2. 用通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应; 3. 了解映射的概念及表示方法 衔接性知识 1. 函数的三要素是什么? 2. 如何求函数的定义域? 3. 正比例函数

、反比例函数、一次函数、二次函数的图象 . ( 1 )正比例函数与一次函数的图象

(2)反比例函数

( 3 )二次函数的图象与性质

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?

a?0

a?0

1

图像

x??
定义域 对称轴

b 2a
? ?? , ? ??
x?? b 2a

x??

b 2a

顶点坐标

? b 4ac ? b2 ? ?? , ? 4a ? ? 2a
? 4ac ? b2 ? , ? ?? ? ? 4a ?
b ? ? ? ?? , ? ? 递减 2a ? ?

值域

? 4ac ? b2 ? ? ?? , ? 4a ? ?
b ? ? ? ?? , ? ? 递增 2a ? ?

单调区间

? b ? , ? ? ? 递增 ?? ? 2a ?
定义

? b ? , ? ? ? 递减 ?? ? 2a ?
符号 优点:简明;给自变量求 函数值 优点:直观形象,反应变 化趋势 优点:不需计算就可看出 函数值

基础知识工具箱 要点 解析法 函数的表 示法 图象法 列表法 分段函数

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不同范围的 x,对应法则不同的函数

? f ( x) x ? A y?? ? g ( x) x ? B

映射

函数与映射的关系 映射的个数

一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某 f :A? B 一个确定的对应法则 f, 使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 注意:映射的对应情况有 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 一对一、多对一,但一对 多不是映射! ! 到集合 B 的一个映射 函数两个非空数集之间的一种映射; 函数一定是映射,但是映射不定是函数 若集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,则从集合 A 到集合 B 共可 m 建立 N ? n 个映射

典例精讲剖析 例 1. 动点 P 从边长为 2 位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动一周, 设沿正方形 ABCD 的运动路程
2

为自变量 x ,写出 ?ABP 的面积 y 与 x 的函数关系式,并画出函数的图象 解:当 0 ? x ? 2 时,点 P 在线段 AB 上, y ? 0 ;

1 ? 2 ? ( x ? 2) ? x ? 2 ; 2 1 当 4 ? x ? 6 时,点 P 在线段 CD 上, ?ABP 的面积 y ? ? 2 ? 2 ? 2 ; 2 1 当 6 ? x ? 8 时,点 P 在线段 DA 上, ?ABP 的面积 y ? ? 2 ? (8 ? x) ? 8 ? x . 2 (0 ? x ? 2) ?0 ? x ? 2 (2 ? x ? 4) ? 所以, ?ABP 的面积 y 与 x 的函数关系式为 y ? ? (4 ? x ? 6) ?2 ? ?8 ? x (6 ? x ? 8)
当 2 ? x ? 4 时,点 P 在线段 BC 上, ?ABP 的面积 y ?

例 2. 画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的值域 ( 1 ) y ?| x ? 2 | ( 2 ) y ? 解: ( 1 ) y ?| x ? 2 |? ?

( x ? 1) 2 ? (2 x ? 4) 2 (3) y ? x2 ? 2 | x | ( 4 ) y ?| x2 ? 2 x |

? x ? 2 ( x ? 2) , ?2 ? x ( x ? 2)

?3 x ? 3 ( x ? 1) ? (?2 ? x ? 1) ( 2 ) y ? ( x ? 1) ? (2 x ? 4) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5 ??3 x ? 3 ( x ? ?2) ?
2 2

3

函数的值域为 [3 , ? ?)

? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? ( 3 ) y ? x ? 2 | x |? ? 2 ? ? x ? 2 x ( x ? 0)
2

函数的值域为 [?1, ? ?)
2 ? ? x ? 2 x ( x ? 2或x ? 0) 2 ? ?? x ? 2 x (0 ? x ? 2)

( 4 ) y ?| x ? 2 x |? ?
2

函数的值域为 [0 , ? ?)

? x 2 ? 1 (x ? 1) 例 3. 已知 f ( x) ? ? , ?? x ? 2 ( x ? 1) ( 1 )求 f [ f (? 1)]的值( 2 )若 f ( x0 ) ? 9 ,求实数 x0 的值 .
解: ( 1 ) f (?1) ? ?(?1) ? 2 ? 3 , ? f [ f (?1)] ? f (3) ? 3 ?1 ? 8
2

( 2 )当 x0 ? 1 时

4

2 f ( x0 ) ? x0 ?1 ? 9 , ? x0 ? ? 10 ,由 x0 ? 1 ,得 x0 ? 10 ; 当 x0 ? 1 时

f ( x0 ) ? ? x0 ? 2 ? 9 , ? x0 ? ?11 ? 1 , ? x0 ? ?11
从而实数 x0 的值为 10 与 ?11 例4 . 给出下列四个命题: (1)若 A={整数},B={正奇数},则一定不能建立从集合 A 到集合 B 的映射; (2)若 A 是无限集,B 是有限集,则一定不能建立从集合 A 到集合 B 的映射; (3)若 A={a},B={1,2},则从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射; (4)若 A={1,2},B={a},则从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射. 其中正确命题的个数是( A.0 个 [答案] B [解析] 对于(1)f:A→B 对应法则 f:x→2|x|+1 故(1)错;(2)f:R→{1},对应法则 f:x →1,(2)错;(3)可以建立两个映射,(3)错;(4)正确,故选 B. 精练部分 A 类试题(普通班用) B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

x +3 ? ? 1. 已知 f(x)=?1 ? ? x+ 4
A.-4 [答案] B B.4

2

(x>0), (x=0), (x<0). C.3 D.-3 则 f(f(f(-4)))=( )

[解析] f(-4)=(-4)+4=0,∴f(f(-4))=f(0)=1,f(f(f(-4)))=f(1)=1 +3=4. 故选 B. ? ?3x+2,x<1, 2. 已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a=________. ?x +ax,x≥1, ? [答案] 2 [解析] 由题意得,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,a=2 3. 已知函数 φ (x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 的反比例函数, 1 且 φ ( )=16,φ (1)=8,求 φ (x)的表达式. 3 5 [答案] 3x+

2

x m (m≠0) x

[解析] 设 f(x)=kx (k≠0),g(x)=

5

k ? ? +3m=16 m 则 φ (x)=kx+ ,由题设?3 x ? ?k+m=8

解之得:?

?k=3 ? ? ?m=5

5 ,∴φ (x)=3x+ .

x

4. 在国内投寄外埠平信,每封信不超过 20 克重付邮资 80 分,超过 20 克而不超过 40 克重 付邮资 160 分.试写出 x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资 y(分)与 x(克)的函数关系,并求 函数的定义域,然后作出函数的图象.

0 (x=0) ? ? (0<x≤20), [解析] y=?80 ? ?160 (20<x≤40) 定义域为[0,40],图象如下 5. 作出函数 f(x)=|x-2|-|x+1|的图象,并由图象求函数 f(x)的值域. -3 (x≥2) ? ? [解析] f(x)=?1-2x(-1<x<2) ? (x≤-1) ?3

如图:由图象知函数 f(x)值域为{y|-3≤y≤3}. 6. (1)一次函数的图象如图(1),求其解析式. (2)设二次函数的图象如图(2)所示,求此函数的解析式.

[解析] (1)设 y=kx+b(k≠0),由图知过(-1,0)和(0,2)点, ?-k+b=0 ?k=2 ? ? ∴? ,∴? ,∴y=2x+2. ? ? ?b=2 ?b=2 2 (2)设 y=ax +bx+c(a≠0),由图知过 A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点,

6

?9a-3b+c=0
∴?a+b+c=0

?

? ?c=-2

a= 3 ? ? ,∴? 4 b= 3 ? ?c=-2
2
2

2 2 4 ,∴y= x + x-2. 3 3

[点评] 设 y=ax +bx+c,由图知 y=0 时,x=-3 或 1,即一元二次方程 ax +bx+c=0 2 有两根-3 和 1,故可用根与系数关系求解,也可设 ax +bx+c=a(x+3)(x-1).由过(0, -2)求出 a,进而求出 b、c.

2

B 类试题(3+3+4) (尖子班用)

x +3 ? ? 1.已知 f(x)=?1 ? ? x+ 4
A.-4 [答案] B B.4

2

(x>0), (x=0), (x<0). C.3 D.-3 则 f(f(f(-4)))=( )

[解析] f(-4)=(-4)+4=0,∴f(f(-4))=f(0)=1,f(f(f(-4)))=f(1)=1 +3=4. 故选 B. 2.下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 中,不是映射的是( A.P=N,Q=N ,f:x→|x-8| B.P={1,2,3,4,5,6},Q={-4,-3,0,5,12},f:x→x(x-4) C.P=N ,Q={-1,1},f:x→(-1) D.P=Z,Q={有理数},f:x→x [答案] A [解析] 对于选项 A,当 x=8 时,|x-8|=0 ? N ,∴不是映射,故选 A.
* 2 * *

2

)

x

3.已知函数 f ( x) ? ? A. R [答案] D

?2 x ?[?1,1] ,若 f[f(x)]=2,则 x 的取值范围是( ? x x ?[?1,1]
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.{2}∪[-1,1]

)

B.[-1,1]

[解析] 首先当 x=2 时,f(2)=2,∴f[f(2)]=2, 其次当 x∈[-1,1]时,f(x)=2,∴f[f(x)]=2. 4.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下 图中纵轴表示离学校的距离, 横轴表示出发后的时间, 则下图四个图形中较符合该学生走法 的是( )

7

[答案] D [解析] t=0 时,该学生到学校的距离为 d0,排除 A、C,随着跑步开始,此学生到学校距 离迅速缩短,而转入步行后,此学生到学校距离继续缩短,但较跑步时缩的慢了,∴选 D
?3x+2,x<1, ? 5.已知函数 f(x)=? 2 ? ?x +ax,x≥1,

若 f(f(0))=4a,则实数 a=________.

[答案] 2 [解析] 由题意得,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,a=2. 6.已知函数 φ (x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 的反比例函数, 1 且 φ ( )=16,φ (1)=8,则 φ (x)的表达式为________. 3 5 [答案] 3x+

x m (m≠0) x
? ?k=3 ?m=5 ?

[解析] 设 f(x)=kx (k≠0),g(x)=

k ? ? +3m=16 m 则 φ (x)=kx+ ,由题设?3 x ? ?k+m=8

解之得:?

5 ,∴φ (x)=3x+ .

x

7.设 A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b).是从集合 A 到集合 B 的映射, 若 B 中元素(6,2)在映射 f 下对应 A 中元素(3,1),则 k,b 的值分别为 . [解析] (3,1)对应元素为(3k,1+b), ? ? ?3k=6, ?k=2 ∴? 解得? . ?b+1=2, ?b=1 ? ? 8.在国内投寄外埠平信,每封信不超过 20 克重付邮资 80 分,超过 20 克而不超过 40 克重 付邮资 160 分.试写出 x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资 y(分)与 x(克)的函数关系,并求 函数的定义域,然后作出函数的图象.
8

0 (x=0) ? ? (0<x≤20), [解析] y=?80 ? ?160 (20<x≤40)

定义域为[0,40],图象如下

9.作出函数的图象,并由图象求函数 f(x)的值域. (1) f(x)=2x,x∈Z,且|x|≤2; (2) f ( x) ? ?

?1 ??1

x?0 x?0

(3)f(x)=|x-2|-|x+1| [解析] (1)这个函数的定义域是集合{-2,-1,0,1,2},对应法则是“乘以 2” ,故它的图 象由 5 个孤立的点(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4)组成,函数图象如图(1) 所示.函数 f(x)值域为 {?4 , ? 2 , 0 , 2 , 4}

(2)这个函数分为两部分, 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=1;当 x∈(-∞,0]时,f(x)=-1, 函数图象如图(2)所示.函数 f(x)值域为 {?1 , 1} -3 (x≥2) ? ? (3)f(x)=?1-2x(-1<x<2) ? (x≤-1) ?3 如图:由图象知函数 f(x)值域为{y|-3≤y≤3}.

10.(1)一次函数的图象如图(1),求其解析式. (2)设二次函数的图象如图(2)所示,求此函数的解析式.

9

[解析] (1)设 y=kx+b(k≠0),由图知过(-1,0)和(0,2)点,
? ?-k+b=0 ∴? ?b=2 ?

,∴?

? ?k=2 ?b=2 ?



∴y=2x+2. 2 (2)设 y=ax +bx+c(a≠0),由图知过 A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点, 9a-3b+c=0 ? ? ∴?a+b+c=0 ? ?c=-2

a= 3 ? ? ,∴? 4 b= 3 ?c=-2 ?
2



2 2 4 ∴y= x + x-2. 3 3 2 2 [点评] 设 y=ax +bx+c,由图知 y=0 时,x=-3 或 1,即一元二次方程 ax +bx+c=0 2 有两根-3 和 1,故可用根与系数关系求解,也可设 ax +bx+c=a(x+3)(x-1).由过(0, -2)求出 a,进而求出 b、c.

10


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