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2007绵阳东辰高中自主招生数学试题%28含答案%29

时间:2012-05-06


高中新生数学综合素质测 新生数学综合素质测试 绵阳东辰国际学校 2007 年高中新生数学综合素质测试
(时间:120 分钟,总分:150 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 选择题 1.2007 年 3 月 5 日,温家宝总理在政府工作报告中讲到,全国财政安排农村义务教育经费 1840 亿元,全 部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段 5200 万

名学生的学杂费,为 3730 万名贫困家庭学 生免费提供教科书,对 780 万名寄宿学生补助了生活费.在这组数据中,全部免除学杂费的学生人数用 科学记数法表示为( ) A.1.84×10 11
7 7

B.5.2×10
6

C.3.73×10

D. 7.8×10

2. 一名考生步行前往考场, 10 分钟走了总路程的

1 , 估计步行不能准 4

时达, 于是他改乘出租车赶往考场, 他的行程与时间关系如图所示 (假 定总路程为 1) ,则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A.20 分钟 B.22 分钟 C.24 分钟 D.26 分钟

3. 由小到大排列一组数据 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,其中每个数据都小于-1,则对于样本 1,x 1 ,-x 2 ,x 3 , -x 4 ,x 5 的中位数是( ) A.

1 + x3 2

B.

x2 ? x1 2

C.

1 + x5 2

D.

x3 + x 4 2

4、已知反比例函数 y =

k (k < 0) 的图象上有两点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , x
) C.非正数 D.不能确定

且 x1 < x2 ,则 y1 ? y2 的值是( A.正数 B.负数

5.一个正方体的表面涂满了颜色,按如图所示将它切成 27 个大小相等的小 立方块,设其中仅有 i(i=1,2,3)个面涂有颜色的小立方块的个数为 xi , 则 x1 ,x2 ,x3 之间的关系为( A. x1-x2+x3 = 1 C. x1 +x2-x3 = 2 ) B. x1+x2-x3 = 1 D. x1-x2+x3 = 2

y
3 B O
A P

6.如图, 在函数 y=-x+3 的图象上取点 P, PA⊥x 轴于 A,作 PB⊥y 轴于点 B,O 作 3 为原点,且矩形 OAPB 的面积为 2,则符合条件的 P 点共有( )个.

x

A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片向右折叠,使 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再将△ AED 以 DE 为 折 痕 向 右 折 叠 , AE 与 BC 交 于 点 F , 则 △ CEF 的 面 积 为 ( A.10 A B.8 B A C.6 D B D B F D C E C E C D.4 A )

2

8.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:① a+b+c<0; ②a-b+c<0; A. ①②③ ③ b+2a<0; B. ②③ ④ abc>0. 其中所有正确结论的序号是( C. ①④ D. ③④ )

9.世界杯足球赛小组赛,每个小组 4 个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得 3 分,败 队得 0 分,平局时两队各得 1 分.小组赛完后,总积分最高的 2 个队出线进入下轮 比赛.如果总积分相同,还有按净胜球数排序.一个队要保证出线,这个队至少要积( )分.

A.5 B.6 C.7 D.8 10.已知一个三角形的三边长分别为 a、a、b,另一个三角形的三边长分别为 a、b、b,其中 a﹥b.若两个 三角形的最小内角相等,则

a 的值等于( b



A.

5 +1 2

B.

3 +1 2

C.

3+2 2

D.

5 ?1 2

二、填空题 (每小题 4 分,共 32 分) 11、有五张不通明的卡片为 3

16 π

22 7

2 ,除正面的

数不同外,其余都相同,将它们背面朝上洗匀后,从中随机 抽出一张卡片,抽到写有无理数卡片的概率为________. 12、函数 y=

2 的图象如图所示,在同一直角坐标系内,如果将直线 y=-x+1 沿 y 轴向上平移 2 个单位后, x 2 那么所得直线与函数 y= 的图象的交点共有 个. x

13. 有八个球编号是① 至⑧ ,其中有六个球一样重,另外两个球都轻 1 克,为了找出这两个轻球,用天平 称了三次,结果如下:第一次① + ② 比③ + ④ 重,第二次⑤ + ⑥比 ③ + ⑤ 和 ② + ④ + ⑧ 一样重.那么,两个轻球的编号是_________. 14.如图,在矩形 ABCD 中,AB=8cm,BC=16cm,动点 P 从点 A 出发,以 1cm/秒的速度向终点 B 移动,动点 Q 从点 B 出发以 2cm/秒的速度向终点 C 移动,则移动第到_____ 15.如图所示, E 为正方形 ABCD 的边 CD 上的一 点 边 BC 的延长线上一点, CF=CE.若正方形 ABCD 且 2,且 CE=x,△DEF 的面积为 y,请写出 y 与 x 数关系式为 16.若关于 x 的分式方程 无解,则实数 a = . D C 秒时,可使△PBQ 的面积最大. 点,F 为 的边长为 之间的函 ⑦+⑧ 轻,第三次① +

1 a ?1 = 在实 x+3 x+3
A

Q

数范围内

_____. P B 为定值) ,又点 A、B 到某直线 条.

17.平面上两点 A、B 的距离为 a+b(a、b>0,且 的距离分别为 a、b,则这样的直线共有

18.对自然数 a、b、c,定义新运算﹡,使其满足(a﹡b)﹡c = a﹡(bc)(a﹡b) , (a﹡c)= a﹡(b+c). 则 2﹡4= .

三、解答题 (共 88 分)

? 9? 1 0 0 0 ? 19. (本题满分 8 分)计算: ? (1) ? 2 ? ? (? 3.14 ) + 2 ? 1 ? sin 30 ? cos 45 . ? ?

?1

(2)(本题满分 8 分)已知 a +2a- 3 =0,求 ?

2

a ?1 ? a ? 4 ? a?2 的值. ? 2 ?÷ 2 ? a + 2 a a + 4a + 4 ? a + 2

20. (本题满分 10 分)如图,在 (1)求证:△ABC≌△EAD;

ABCD 中,E 为 BC 边上一点,且 AB=AE, A D

(2)若 AE 平分∠DAB,∠EAC=24°,求∠AED 的度数

B

E

C

21. (本题满分 12 分)把一个六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6 有正方体骰子随意掷一次,各个数字 所在面朝上的机会均相等. (1)若抛掷一次,则朝上的数字大于 4 的概率是多少? (2)若连续抛掷两次,第一次所得的数为 m,第二次所得的数为 n.把 m、n 作为点 A 的横、纵坐标,那么 点 A(m、n)在函数 y=3x-1 的图象上的概率又是多少?

22. (本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCO 的面积为 15,边 OA 比 OC 大 2,E 为 BC 的
1

中点,以 OE 为直径的⊙O 交 x 轴于 D 点,过点 D 作 DF⊥AE 于 F. (1)求 OA、OC 的长; (2)求证:DF 为⊙O 1 的切线; (3)小明在解答本题时,发现 ? AOE 是等腰三角形.由此,他断定: “直线 BC 上一定存在除点 E 以外的 点 P,使 ? AOP 也是等腰三角形,且点 P 一定在⊙O 外” .你同意他的看法吗?请充分说明理由.
1

23. (本题满分 12 分)如图,已知 P 为∠AOB 的边 OA 上一点,以 P 为顶点的∠MPN 的两边分别交射线 OB 于 M、N 两点,且∠MPN=∠AOB= α ( α 为锐角).当∠MPN 以点 P 为旋转中心,PM 边与 PO 重合的位置开始, 按逆时针方向旋转 (∠MPN 保持不变) M、 两点在射线 OB 上同时以不同的速度向右平行移动. OM= x , 时, N 设 ON= y (y>x>0) ,△POM 的面积为 S.若 sin α =

3 ,OP=2. 2

(1)当∠MPN 旋转 30°(即∠OPM=30°)时,求点 N 移动的距离; (2)求证:△OPN∽△PMN; (3)写出 y 与 x 之间的关系式; (4)试写出 S 随 x 变化的函数关系式,并确定 S 的取值范围.

A

P

B O M N www.czsx.com.cn

24. (本题满分 13 分)已知关于 x 的方程(m-2)x +2x+1=0 (1)若方程①有实数根,求实数 m 的取值范围?

2



(2)若 A(1,0) 、B(2,0) ,方程①所对应的函数 y =(m-2)x 2 +2x+1 的图象与线段 AB 只有一个 交点,求实数 m 的取值范围?

2

2

25.(本题满分 13 分)已知抛物线 y=-x +2mx―m ―m+2. (1)判断抛物线的顶点与直线 L:y=-x+2 的位置关系; (2)设该抛物线与 x 轴交于 M、N 两点,当 OM·ON=4,且 OM≠ON 时,求出这条抛物线的解析式; (3)直线 L 交 x 轴于点 A, (2)中所求抛物线的对称轴与 x 轴交于点 B.那么在对称轴上是否存在点 P,使⊙P 与直线 L 和 x 轴同时相切.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

参考答案及评分标准: 参考答案及评分标准:
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1 B 2 C 3 C 4 D 5 D 6 D 7 B 8 B 9 C 10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 32 分) 11

2 5
y=-

12

2

13 ④⑤

14

4

15

1 2 x +x 2

16 1

17 3

18

16

三、解答题(共 88 分)

19(1)

13 2 12

(2)解:

3 3 1 3

21 解: (1)依题意可知:随意掷一次正方体骰子,面朝上的数可能出现的结果有 1、2、3、4、5、6 共 6 种 , 而 且 它 们 出 现 的 可能 性 相 等 . 满 足 数 字 大于 4 ( 记 为 事 件 A ) 的有 2 种 . 所 以 P(A)= (4 分) (2)依题意列表分析如下: 第二次 n 第 1 一 次 1 (1 1) m 由表可以看出,可 5 36 种, 而且它们出 6 所得点 A(记为事 (2 5)两种情况,所以在函数 y=3x-1 的图象上的概率为 P(A)= (6 1) (6 2) (6 3) (6 4) (6 5) (6 6) 件 A)的有(1 2)和 (5 1) (5 2) (5 3) (5 4) (5 5) (5 6) 现的可能性相等。 2 3 4 (2 1) (3 1)

2 (1 2) (2 2) (3 2)

3 (1 3) (2 3) (3 3)

4 (1 4) (2 4) (3 4)

5 (1 5) (2 5) (3 5)

6 (1 6) (2 6) (3 6) (4 6) 能出现的结果有

(4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5)

2 1 = 36 18
解得:x1=3,x2=-5 所以 OC=3,OA=5

(12 分)

22 解: (1)在矩形 OABC 中,设 OC=x 则 OA=x+2,依题意得 x(x+2)=15

x2=-5(不合题意,舍去) (2)连接 O’D 在矩形 OABC 中,OC=AB,

(3 分)

∠OCB = ∠ABC = 90°, CE = BE =
所以⊿OCE≌⊿ABE 所以 EA=EO 所以 ∠1 = ∠2 在⊙O’中,因为 O’O=O’D 所以 ∠3 = ∠1

5 2

所以 ∠3 = ∠2 所以 O’D//AE 因为 DF⊥AE 所以 DF⊥O’D 又因为点 D 在⊙O’上,O’D 为⊙O’的半径, 所以 DF 为⊙O’的切线 (3)不同意,理由如下: ①当 OA=AP 时,以点 A 为圆心,以 AO 为半径画弧交 BC 于 P1 和 P4 两点 过 P1 点作 P1H⊥OA 于点 H,P1H=OC=3,因为 AP1=OA=5 所以 AH=4,所以 OH=1 求得点 P1(1,3) 同理可得:P4(9,3) ,P ②当 OA=OP 时,同上可求得 P2(4,3) 3(-4,3) (9 分) (11 分) (7 分)

因此,在直线 BC 上,除了 E 点外,既存在⊙O’内的点 P1,又存在⊙O’内的点 P2、P3、P4,它们分 别使⊿AOP 为等腰三角形 其他解法,请参照评分建议酌情给分。 23 (1)解:∵ sin α = (12 分)

∴ α = 60° ,即∠BOA=∠MPN=60° ∴初始状态时,△PON 为等边三角形 ∴ON=OP=2 当 PM 旋转到 PM’时,点 N 移到点 N’ ∵∠OPM’=30°,∠BOA=∠M’PN’=60° ∴∠M’N’P=30° 在 Rt△OPN’中,ON’=2PO=2 × 2=4 ∴NN’=ON’-ON=4-2=2 ∴点 N 移动的距离是 2 (2)证明:在△OPN 和△PMN 中, ∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM ∴△OPN∽△PMN (3)解:∵MN=ON-OM= y ? x ∴ PN 2 = ON ? MN = y ( y ? x ) = y 2 ? xy 过 P 点作 PD⊥OB,垂足为 D 在 Rt△OPD 中, OD = OP ? cos 60° = 2 × ∴DN=ON-OD= y ? 1 在 Rt△PND 中, PN 2 = PD 2 + DN 2 = ∴ y 2 ? xy = y 2 ? 2 y + 4 即: y =

3 且α 为锐角 2

(1 分)

(2 分)

(3 分)

(5 分)

(6 分)

1 = 1, PD = PO ? sin 60° = 3 2
(7 分)

( 3)

2

+ ( y ? 1) = y 2 ? 2 y + 4
2

(8 分)

4 2? x

(9 分)

(4)解:在△OPM 中,OM 边上的高 PD 为 3 , ∴S = ∵y>0

1 1 3 OM ? PD = ? x ? 3 = x 2 2 2

∴2-x>0 即:x<0 又∵ x ≥ 0 ∴ x 的取值范围为 0 ≤ x ≤ 2 ∵S 是 x 的正比例函数且比例系数为

(11 分)

3 〉0 2

∴0≤s<

3 ×2 2 即:0≤s〈 3

(12 分)

24 解: (1)若方程为一元一次方程,则 m ? 2 = 0 ,即 m = 2 若方程为一元一次方程,则 m ? 2 ≠ 0 ∵关于 x 的方程 ( m ? 2 ) x 2 + 2 x + 1 = 0 有实数根 又∵ a = m ? 2, b = 2, c = 1 ∴ b 2 ? 4ac = 22 ? 4 ( m ? 2 ) ≥ 0 解得: m ≤ 3 ∵m?2 ≠ 0 ∴m ≠ 2 ∴ m ≤ 3且m ≠ 2 综上所述, m ≤ 3
2

(1 分)

(3 分) (4 分)

(5 分) (6 分)

(2)设方程①所对应的函数记为 y=f(x)=(m-2)x +2x+1 ⅰ当 m ? 2 = 0 ,即 m = 2 时,y=f(x)=(m-2)x 2 +2x+1 即为 y=2x+1 y=0,x=-

ⅱ 当 m ? 2 ≠ 0 ,即 m ≠ 2 ,函数为二次函数,依题意有 ① 若方程有两个不等的实根 则 f(1) ? f(2)<0 ∴ (m+1)(4m-5) <0 即 -1<m<

1 ,即此时函数 y=2x+1 的图象与线段 AB 没有交点 2

(7 分)

5 4

1 3 5 8 + 110 8 ? 110 当 f(2)=0 时,m= ,方程为 3x 2 -8x+4=0 ,其根为 x 1 = x2 = 4 6 6 5 ∴ -1≤m< (10 分) 4
当 f(1)=0 时,m=-1,方程为 3x 2 -2x-1=0,其根为 x 1 =1,x 2 =② 若方程有两个相等的实根 则 ? =4-4(m-2) =0, m=3,方程为 x 2 +2x+1=0,其根为 x 1 =x 2 =-1,此时二次函数与线段 AB 无交 点 (12 分) 综上所述,方程①所对应的函数的图象与线段 AB 只有一个交点的实数 m 的取值范围是: -1≤m<

5 4

(13 分)

25 解: (1)由抛物线 y = ? x 2 + 2mx ? m 2 ? m + 2 = ?( x ? m) 2 ? m + 2 ,

得顶点坐标为(m,-m+2) ,显然满足 y=-x+2 ∴ 抛物线的顶点在直线 L 上. (3 分) (2)设 M( x1 ,0) N( x2 ,0) , ,且 x1 < x2 . 由 OM·ON=4, OM≠ON,得 | x1 ? x2 |= 4 . ,



x1 x2 = m 2 + m ? 2 , ∴ | m 2 + m ? 2 |= 4 . 2 当 m + m ? 2 = 4 时, m1 = 2 , m2 = ?3 2 当 m + m ? 2 = ?4 时,? ? <0,此方程无解
∵ △1=(2m) 2 -4(m 2 +m-2)=-4m+8=-4m+8>0.



m<2.

故取 m =-3. 则抛物线的解析式为 y = ? x 2 ? 6 x ? 4 . (3)抛物线 y = ? x ? 6 x ? 4 的对称轴为 x=-3,顶点(-3,5) .
2

(8 分)

依题意,∠CAB=∠ACB=45°. 若点 P 在 x 轴的上方,设 P (-3,a) a>0) ( , 1 则点 P 到直线 L 的距离 P Q1 为 a(如图) , 1 1 ∴ ∴ △ CP Q1 是等腰直角三角形. 1

a + 2a = 5 , a = 5 2 ? 5 . ∴ P (?3 ,5 2 ? 5) . 1 若点 P 在 x 轴的下方,设 P2 (-3,-b) b>0) ( , 则点 P2 到直线 L 的距离 P2Q2 为 b(如图) , 同理可得△ CP2Q2 为等腰直角三角形, ∴ b + 5 = 2b , b = 5 2 + 5 . ∴ P2 (?3 , ? 5 2 ? 5) .
∴ 满足条件的点有两个, 即(-3, 5 2 ? 5 )和(-3, ? 5 2 ? 5 ) . (13 分)


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