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竞赛讲义——波


高一物理竞赛讲义

机械波
1.机械波: (1)机械波的描述:如果有一列波沿 x 方向传播,振源的振动方程为 y=Acosω t, 波的传播速度为 ? ,那么在离振源 x 远处一个质点的振动方程便是
x ? ? y ? A c o s ? ( t ? ) ,在此方程中有两个自变量:t 和 x,当 t 不变时,这个方程描写 ? ? ? ? ?



①当 x ? x 0 时(好似用摄像机对着坐标为 x 0 这一质点进行拍摄) ,则
? x0 ? ? t ? (? ? ? u ?

x0 ? ? y ? A co s ? (t ? ) ? ? ? A cos ? ? u ? ?

)

? 。它表示的是坐标为 x 0 的质 ? ?

点在不同时刻的位移,即该处质点的振动方程。 ②当 t ? t 0 时(好似用照相机对一组质点在 t 0 时刻进行照相) ,则
x ? ? ?? x ? y ? A co s ? (t0 ? ) ? ? ? A co s ? ( ? ? ? t 0 ) 。它表示在给定的 t 0 时刻各 ? ? ? u ? u ? ? ? ?

某一时刻波上各点相对平衡位置的位移; x 不变时, 当 这个方程就是波中某一点的振动方 程. (2)简谐波的波动方程:简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫 做平面简谐波。 如果一列简谐波在 o ? xy 平面内,以波速 u 沿 o x 轴正方向传播,振源(设其位于坐 标原点)的振动方程为 y ? A c o s ( ? t ? ? ) ,由于波是振动状态的传播,故知坐标原点的 振动状态传播到离振源 x ( x ? 0 ) 处要滞后 t 0 ?
x u

质点的位移分布情况,相应的图像称为 t 0 时刻的波形图。 例 1.图中的实线和虚线分别表示沿 x 轴方向传播的正弦波 t=0 和 t=1s 时刻的波形。 (1)求该波的频率和波速; y/m (2) 写出 X=0 及 X=1 m 处的质点 0.01 振动方程。 分析和解:本题的特点是波的传播 方向不确定和周期的不确定(或距 2 3 x/m 1 离相差整数倍波长时振动的完全 -0.01 等效)形成多解。 (1)由题给图象可知,如果波 向 x 正方向传播,则两时间间隔内 该机械波可能向前传播了 ( n ?
(n ? ? 1 4 ?t )? ? 2(n ?
1 4 ) ? ,其中 n=0,1,2,3,…

的时间。这表明若坐标原点振动了 t 时

间,x 处的质点只振动了 t ? t 0 的时间,于是 x 处振动质点的位移可表为

? y ? Ac o s ? ? ?

(t?

x u

?) ?

? ? ?

显然,上式适用于表述 ox 轴上所有质点的振动,它就是平面简谐波的波函数,也常 称为平面简谐波的波动方程。
x ? ? 同理,如果简谐波沿 ox 轴负方向传播,则波函数为 y ? A c o s ? ? ( t ? ) ? ? ? u ? ?

? ?

?S ?t

1 4

)m / s , f ?

? ?

? (n ?

1 4

)Hz

同理,如果波沿 x 轴负方向传播 为了加深对波函数物理含义的理解,下面以 y ? A c o s ? ? ( t ?
? ? x u )?? ? 为例做-讨 ? ?

(n ?

3 4

)? ? 2(n ?

? ?

3 4

论。

?t

)m / s , f ?

? ?

? (n ?

3 4

)Hz

(2)如果波向 x 轴正方向传播,则有

1

高一物理竞赛讲义

? ? ? ( 4 n ? 1) ? t? m x=0 时, y ? A c o s ( ? t ? ? 0 ) ? 0 .0 1 c o s ? 2 2 ? ? ?
? ( 4 n ? 1) ? ? 2 3? ? m 2 ? ?

( x, t)? A c o ( ? t ? ? ? y s
? 2? ? (u t ? x ) ? ? ? ? ? ? ?

2?

?

x)

? A cos

x=lm 时, y ? A c o s ( ? t ? ? 0 ) ? 0 .0 1 c o s ? 同理,如果波向 x 轴负方向传播,则有

t?

此即为波动表达式. (2)如图所示,与 t=0 时刻的波形(图中虚线) 相比, t ?
?
2 T 2

3? ? ? ( 4 n ? 3 )? t? m x=0 时, y ? 0 .0 1 c o s ? 2 2 ? ? ? ? ( 4 n ? 3 )? ? 2

时刻的波形应向–X 方向传播了

的距离,如图中实线所示.

x=1 时, y ? 0 .0 1 c o s ?

t?

? ?
2 ? ?

m

例 2.沿–X 方向传播的简谐波在 t=0 时刻的波形如图 7 一 10 所示,该波的振幅 A,波速 u 和波长λ 均已知. y/m (1)试写出该波的波动表达式. u T (2)试画出 t ? 时刻的波形图,其中 T 为周期
2

x/m

3 . 解 :( 1 ) 设 坐 标 原 点 O 点 的 振 动 为
( O )? y , t c o s? ? ? ) A( t

初始条件 t=0 时,y=–A
Ac o? ? ?A s

2.波的干涉 ⑴波的叠加: ⑵波的干涉:两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。两列相干 波传到同一个区域,可使某些位置的质点振动加强,某些位置的质点振动减弱,而且振动 加强和振动减弱的区域相互间隔,这种现象叫做波的干涉。 ⑵驻波 ? 驻波的形成: 两列反向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时,形成驻波.当波在有 限大小的弹性介质内传播时,入射波与被界面反射后反向传播的反射波叠加就会形成 驻波. ? 驻波的特点:是静止不动的波节和振幅最大的波腹相间, 但波形不向任何方向移动, 与 波形向前传播的行波不同。 所以从驻波的成因来看,驻波是一种干涉现象:波节与波腹分别是振动抵消与振动最 强的区域,他们的位置是不变的,从驻波上各质点的振动情况来看,实际上是有限大小的 物体上有相互联系的无数质点整体的一种振动模式. 弹性物体中有波形完全相同的两列反向传播的简谐波叠加,如果每列波的波长为 ? , 周期为 T ,频率为 f ,振幅为 A . ? 波节:某处一列波的波峰与另一列波的波谷相遇, 该处质点的振动总是被抵消, 为波节, 与该处相距半波长处,必是一列波的波谷与另一列波的波峰相遇,此处也是波节, 故相邻两波节之间的距离为 ? / 2 ,同理可知相邻两波腹间的距离也是 ? / 2 ;

则? ? ?
y s 于是 O 点的振动为 ( O , t)? A c o ( ? t ? ? )

在+X 轴上任取一点 P,其坐标为 x ,因波沿–X 方向传播,因而 P 点的相位比 O 点 超前
2?

?

x ,于是 P 点的振动为

2

高一物理竞赛讲义

若某时刻两波形恰好反向叠加, 则所有 质点均处于平衡位置, 驻波的波形为一条直 t ? 0 线, 经 T / 4 ,两列波分别反向传播 ? / 4 , 则两列波形恰好重合, 此时两波节之间各质 点的位移均为两列波位移相加, 波腹处质点 t ?T /4 位移最大为 2 A ,波节两侧质点位移方向相 反, 驻波的波形为一条振幅为 2 A 、 波长为 ? 的正弦曲线, t ?T /2 经 T / 2 ,驻波的波形为一条直线, 经 3T / 4 , 驻波的波形又是振幅为 2 A 的 正弦曲线,但与 T / 2 时刻的波形相反, t ? 3T / 4 经 T ,驻波的波形完成一次周期性变 化, 图 13-2 除波节外的各质点同时完成一次周期 性振动,各质点振动的周期、频率相同;振幅在 0 到 2 A 之间不等,同一波节两侧质点的 振动总是方向相反.如图 13—2 所示为驻波的波形在一个周期的变化情况. 例 3.同一媒质中有两个平面简谐波,波源作同频率、同方向、同振幅的振动,二波相对 传播,波长为 8m,波传播方向上 A、B 两点相距 20m,一波在 A 处为波峰时,另一 波在 B 处位相为 ?
?
2

?t ?

2?

?
11 2

x ?? ? ?

?
2

? ? ?

?
?? ? ( 2 n ? 1) ?

当 AB 间的点因干涉而静止时,甲、乙二波在该点的位相差满足?
?t ?
2? x ? ? ? (? t ? 2? x ) ? ( 2 n ? 1) ?

B

A

?

?

得 x ? 4n ? 13 当 n ? ? 3, ? 2 , ? 1, 0 ,1 时, x ? 1, 5, 9 ,1 3,1 7 m 这就是 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置坐标。 3.多普韵效应 多普勒效应是当观察者或波源相对介质运动时,观察者接收到的频率与波源频率不同 的现象,这也是波的特有现象,声波的多普勒现象在生活中很常见,光波的多普轴效应广 泛应用于天文学研究天体的运动。 设点波源的振动在均匀各向同性媒质中传播,波源相对媒质的速率为 v 源,波长为λ ,波 源频率为 f,观察者相对媒质的速率为 v 观,观察波长为λ ’,观察频率为 f’. 1.波源静止而观察者运动 观察者相对媒质以速率 v 观向波源运动,他观察到的波速为 v+v0,波长λ ’等于λ ,观察 频率 f’应为
f ? ? v ' ? '
?

,求 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。

v ? v观 ?

f

?

v ? 代入上式,得
f ? ? f v ? v观 v

6.解:由已知条件知,此二平面简谐波为相干波,在二波源间的连线上形成驻波.如果以 A 为原点建立 OX 坐标轴,如图所示,以甲波在 A 点位相为零的时刻作为计时起点.
s 在 A、B 间,甲波的方程为 y甲 ? A c o ( ? t ? s 乙波的方程为 y 乙 ? A c o ( ? t ? 2? x ??) 2?



?

x)

1式

如果观察者背离波源运动,观察到的波速为 v-v 观,观察频率 f’为
?
2

?

f ? ?

v ' ? '

?

v ? v观 ?

当甲波使 A 质元位移最大正值时, 乙波在 B 点的位相为 ?

, t=0 时, 处 x ? 2 0 m 因 B

2式

将 1 式和 2 式写在一起,可得

3

高一物理竞赛讲义

f ? ? f

v ? v v

?

例 1.一列火车以 25m/s 的速度远离观察者而去,火车经过观察者身边时鸣笛,鸣笛 3式 时间持续 32s,已知声波在空气中速度为 320m/s,求静止的观察者听到笛声的持续时间. 一般解法:32 秒火车走的距离为: s ? v t ? 2 5 ? 3 2 ? 8 0 ( m) 0 最后一声传回来所用的时间为: t ? ?
s v0 ? 800 320 ? 2 .5 m / s) (

2.波源运动而观察者静止 波源相对媒质以速率 v 观向观察者运动,观察者静止不动,他观察到的波速为 v’等于媒质 中的波速 v,设振动的周期为 T,波长λ ’应为 λ ’=(v-v 源)T
f
?

v ? 得

静止时观察者听到笛声的持续时间: ? t ? t ? t ? ? 3 2 ? 2 .5 ? 3 4 .5 s) ( 这种方法一定要充分理解观察者听到笛声的持续时间是从什么时候开始到什么时候结
v ' ? '
?

将上式代入

f? ?

v
(v ? v s ) T

?

v
(v ? v s )

f

束,才能解决这道题。 4式 如果利用上述规律解这道题,思路就简单多了。 特殊解法:设火车 32 秒钟声源振动 x 次,根据
x t x ? 320 320 ? 25

反之,如果波源背离观察者运动,观察到的波长λ ’=(v+v 源)T,观察频率 f’为
f? ? v
(v ? v s )

f ? f

?

v ? vo
(v ? v s )

可得

f

5式

将 4 式和 5 式写在一起,可得
f? ? v
(v ? v s )

f

32

6式

解得: t ? 34 . 5 s 例 2.正在报警的警钟,每隔 0 . 5 s 响一次,一个人坐在以
50 3 m / s 的速度向警钟行驶

3.观察者和波源在同一条直线上运动 综合以上两种情况,当观察者和波源都在运动时观察者接收到的频率为
f? ? v ? vo
(v ? v s )

f

的火车中,求此人在 5 min 内听到响声的次数是多少?设声音在空气中的传播速度为 7式
320 m / s 。

由 7 式易得
f ? f
?

一般解法:响声在空气中的间隔类似一个波长: ? ? 320 ? 0 . 5 ? 160 ( m ) 人与声音的相对速度: v ' ? 3 2 0 ?
50 3 ? 1010 ( m / s) 3

v ? vo
(v ? v s )

8式

波源朝观察者运动时,式中分母取负号,波源背离观察者运动时, 式中分母取正号;观察者 朝波源运动时, 式中分子取正号,观察者背离波源运动时, 式中分子取负号. 观察者听到的频率为: f ' ?
v

1010

?

?

3 160

?

1010 480

( Hz )
1010 480 ? 3 0 0 次 ? 6 3 1次

所以此人在 5 分钟内听到响声的次数为: n ? ft ?

4

高一物理竞赛讲义

特殊解法:5min=300s,由
x 300 1 0 .5 ? 320 50 3

f ? f

?

v ? vo
(v ? v s )

可得:

320 ?

解得: x ? 631 次。 例 3.如果一个观察者在铁路近旁,当火车迎面驶来时,他听到的汽笛声频率为
f 1 ? 440 Hz ,当火车驶过他身旁后,他听到的汽笛声频率降为 f 2 ? 392 Hz ,如果知道大

气中声速约为 330 m / s ,求火车的速度 u 。 这道题用一般的解法,很难分析清楚其中的原理,也就无从下手。用特殊方法却很简 单。 解法如下: 由
f ? f
?

v ? vo
(v ? v s )
330 ? u 330 ? u

可得:

例 6.一个人站在广场中央,对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子(频率? ? 1 2 0 0 H z ) ,甲、 乙、丙距广场中央都是 100m 远,且分别在广场中央的南东北面,第四个伙伴丁从西面乘 车以 40m/s 的速度赶来, 忽然有一阵稳定的风 由南向北吹来,速度为速度为 10m/s,如图 7 —8 所示,求甲、乙、丙、丁四人听到哨声的 频率各是多少?已知当时声速为 320m/s。 分析和解: 由于风吹动引起介质相对声源和观 察者以速度 ? F 运动,即 u ? ? ? ? F ,应用 多 普 勒 效 应 公 式 ???
? ? 1200 H z
V ?? V ??

440 392

?

?

解得: u ? 19 m / s 例 4.图(a)是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图,测速仪发出并接收超 声波脉冲信号,根据发出和接收到的信号间的时间差,测出被测物体的速度.图(b)中 P1、 P2 是测速仪发出的超声波信号,n1、n2 分别是 P1、P2 由汽车反射回来的信号.设测速仪匀 速扫描,P1、P2 之间的时间间隔△t=1.0s,超声波在空气中传播的速度是 v 声 =340m/s, 若汽车是匀速行驶的,则根据图(b)可知汽车在接收到 P1、P2 两个信号之间的时间内前进 的距离是多少?汽车的速度是多大? (a)
0 1 2 3 4 5

对甲: ? ? ? ? F , u ? ? F
? 则? 甲 ? V ??F V ??F

? ? 1200 H z

对乙:由于 ? F 在东西方向无速度分量,故 ? ? u ? 0 ,
? 所以? 乙 ? V ?0 V ?0

? ? 1200 H z
V ??F V ??F

P1

n1 (b)

P2

n2

? 对丙: ? ? ? F , u ? ? ? F ,? 丙 ?

? ? 1200 H z

5

高一物理竞赛讲义

对丁:u=0, ? ? 4 0 m / s ,
? ?丁 ? V ?? V ?0

? ?

320 ? 40 320

? 1200 ? 1350 H z

6


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