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暑期培优:第四章 平面向量(必记知识点+必明易错点+必会方法)教师版


专题四、平面向量
平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同

的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: 求两个向量和的运 算 a+b=b+a; 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c= 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (2)当 λ>0 时, λa 的方向与 a 的方 向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa=0 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. λ(μ a)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b) a+(b+c)

加法

1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个; 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.

1

[试一试] 1.(2013· 苏锡常镇二调)如图, 在△OAC 中, B 为 AC 的中点, 若 OC = x OA +y OB (x,y∈R),则 x-y=________. 解析:法一:(直接法)根据图形有

OC = OA + AC , ? ? ? AC =2 AB , ? AB = OB - OA , ?
所以 OC = OA +2( OB - OA ), 所以 OC =- OA +2 OB ,而 OC =x OA +y OB ,
? ?x=-1, 所以? 故 x-y=-3. ?y=2, ?

法二:(间接法)由 B 为 AC 的中点得 OC + OA =2 OB , 所以 OC =- OA +2 OB ,而 OC =x OA +y OB ,
?x=-1, ? 所以? 故 x-y=-3. ?y=2, ?

答案:-3 2.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________. 解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2. 答案:2

1.向量的中线公式 1 若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则 OP = ( OA + OB ). 2 2.三点共线等价关系 A, P, B 三点共线? AP =λ AB (λ≠0)? OP =(1-t)· OA +t OB (O 为平面内异于 A, P,B 的任一点,t∈R)? OP =x OA +y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y ∈R,x+y=1). [练一练] 1.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,若 CD =x BA +y BC ,则 x+y=________. 1 1 解析:∵ CD = BD - BC = BA - BC ,则 x= ,y=-1 2 2 1 ∴x+y=- . 2
2

1 答案:- 2 2.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ=________. 解析:由题意知 a+λb=k[-(b-3a)],
?λ=-k, ? 所以? 解得 ? ?1=3k,

?k=3, ? 1 ?λ=-3.
对应学生用书 P60

1

1 答案:- 3

考点一 1.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;

向量的有关概念

②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = CD 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是________. 解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, 则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |,因此, AB = DC . ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a∥b 不 是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤不正确.考虑 b=0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.

3

答案:②③. 2.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a =|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是________. 解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是 假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=- |a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. 答案:3 [备课札记]

[类题通法] 平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图像的平 移混为一谈. a a (3) 是与 a 同向的单位向量,- 是与 a 反向的单位向量. |a| |a| 考点二 向量的线性运算

1 2 [典例] (2013· 江苏高考)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= 2 3 BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 1 2 1 2 1 [解析] 由题意 DE = DB + BE = AB + BC = AB + ( BA + AC )=- AB + 2 3 2 3 6 2 AC , 3 1 2 1 所以 λ1=- ,λ2= ,即 λ1+λ2= . 6 3 2 [答案] 1 2

[备课札记]

1 若条件变为:若 AD =2 DB ,CD = CA +λ CB , 3 则 λ=________.

4

解析:∵ CD = CA + AD , CD = CB + BD , ∴2 CD = CA + CB + AD + BD . 又∵ AD =2 BD , 1 ∴2 CD = CA + CB + AB 3 1 = CA + CB + ( CB - CA ) 3 2 4 = CA + CB . 3 3 1 2 2 ∴ CD = CA + CB ,即 λ= . 3 3 3 2 答案: 3 [类题通法] 在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三 角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转 化为与已知向量有直接关系的向量来求解. [针对训练] 若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子: ① AB + CD = BC + DA ;② AC + BD = BC + AD ; ③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有________个. 解析: ①式的等价式是 AB - BC = DA - CD , 左边= AB + CB , 右边= DA + DC , 不一定相等;②式的等价式是 AC - BC = AD - BD , AC + CB = AD + DB = AB 成 立;③式的等价式是 AC - DC = AB + BD , AD = AD 成立. 答案:2 考点三 共线向量定理的应用

[典例] 设两个非零向量 a 与 b 不共线, (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线. (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. [解] (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ∴ AB , BD 共线, 又∵它们有公共点 B,
5

∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0, ∴k2-1=0.∴k=± 1. [备课札记]

[类题通法] 1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值. (2)若 a,b 不共线,则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用 非常广泛. 2.证明三点共线的方法 若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线. [针对训练] 已知 a,b 不共线, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, OE =e,设 t∈R,如果 3a =c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值,若不存在,请说明理由. 解:由题设知, CD =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
?t-3+3k=0, ? 6 因为 a,b 不共线,所以有? ,解之得 t= . 5 ? t - 2 k = 0 ?

6 故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上. 5
对应学生用书 P61

[课堂练通考点] 1.给出下列命题:

6

①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零. ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的有________个. 解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点. ②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数, 故可以比较大小. ③错误,当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0. ④错误,当 λ=μ=0 时,λa=μb=0,此时,a 与 b 可以是任意向量. 答案:3 2.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则

AD =________.
解析:∵ CB = AB - AC =a-b, 又 BD =3 DC , 1 1 ∴ CD = CB = (a-b), 4 4 1 1 3 ∴ AD = AC + CD =b+ (a-b)= a+ b. 4 4 4 1 3 答案: a+ b 4 4 3.(2013· 苏锡常镇二调)已知点 P 在△ABC 所在的平面内,若 2 PA +3 PB +4 PC = 3 AB ,则△PAB 与△PBC 的面积的比值为________. 解析:因为 2 PA +3 PB +4 PC =3 AB , 所以 2 PA +3 PB +4 PC =3 PB -3 PA , 即 5 PA +4 PC =0, 所以△PAB 与△PBC 的面积的比为 PA∶PC=4∶5. 4 答案: 5

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4.(2014· “江南十校”联考)如图,在△ABC 中,∠A=60° ,∠A 的平分 1 线交 BC 于 D,若 AB=4,且 AD = AC +λ AB (λ∈R),则 AD 的长为 4 ________. 1 3 解析:因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解得 λ= ,如图, 4 4 1 过点 D 分别作 AC,AB 的平行线交 AB,AC 于点 M,N,则 AN = AC , 4

AM =4 AB ,
经计算得 AN=AM=3,AD=3 3. 答案:3 3

3

AD =b, AN =3 NC , AB =a, 5. 在?ABCD 中, M 为 BC 的中点, 则 MN =________(用
a,b 表示). 解析:由 AN =3 NC 得 4 AN =3 AC =3(a+b),

AM =a+2b,
1 ? 3 1 1 所以 MN = (a+b)-? ?a+2b?=-4a+4b. 4 1 1 答案:- a+ b 4 4 6. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, | AB + AC |=| AB - AC |, BC 2=16, 则| AM |=________. 解析:由| AB + AC |=| AB - AC |可知, AB ⊥ AC , 则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线, 1 因此,| AM |= | BC |=2. 2 答案:2 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.设 a、b 是两个非零向量,下列结论正确的有________.(填写序号) ①若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ②若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| ③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ④若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 解析:对于①,可得 a,b =-1,因此 a⊥b 不成立;对于②,满足 a⊥b 时|a+b|

1

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=|a|-|b|不成立;对于③,可得 a,b =-1,因此成立,而④显然不一定成立. 答案:③ 2. (2013· 徐州期中)设 O 是△ABC 内部一点, 且 OA + OC =-2 OB , 则△AOB 与△AOC 的面积之比为________. 解析:设 M 为边 AC 的中点.因为 OA + OC =-2 OB ,所以点 O 是△ABC 的中线 BM 的中点,从而所求面积之比为 1∶2. 答案:1∶2 1 3. 在△ABC 中, N 是 AC 边上一点, 且 AN = NC , P 是 BN 上的一点, 若 AP =m AB 2 2 + AC ,则实数 m 的值为________. 9 1 解析:如图,因为 AN = NC , 2 1 2 2 所以 AN = AC , AP =m AB + AC =m AB + AN ,因为 3 9 3 B、P、N 三点共线, 2 1 所以 m+ =1,所以 m= . 3 3 1 答案: 3 1 4. (2013· 南通期中)设 D, P 为△ABC 内的两点, 且满足 AD = ( AB + AC ),AP = AD 4 S△APD 1 + BC ,则 =________. 5 S△ABC 1 解析:设 E 为边 BC 的中点.由 AD = ( AB + AC )可知, 4 1 点 D 在△ABC 的中线 AE 上,且 AD= AE, 2 1 1 由 AP = AD + BC ,得 DP = BC , 5 5 S△APD 1 1 1 利用平面几何知识知 = × = . S△ABC 2 5 10 答案: 1 10

5. (2014· 南通期末)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 且 3a BC +4b CA +5c AB =0,则 a∶b∶c=________. 解析:在△ABC 中有 BC + CA + AB =0,

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又 3a BC +4b CA +5c AB =0,消去 AB 得 (3a-5c) BC +(4b-5c) CA =0, 从而 3a-5c=0,4b-5c=0, 故 a∶b∶c=20∶15∶12. 答案:20∶15∶12 6.(2014· 淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得

AB + AC =m AM 成立,则 m=________.
解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心, 2 连接 AM 并延长交 BC 于 D,则 AM = AD , 3 因为 AD 为中线,则 AB + AC =2 AD =3 AM , 所以 m=3. 答案:3 π a b 7.(2014· 苏北四市质检)已知 a,b 是非零向量,且 a,b 的夹角为 ,若向量 p= + , 3 |a| |b| 则|p|=________. a b 解析: 和 分别表示与 a,b 同向的单位向量, |a| |b| π 所以长度均为 1.又二者的夹角为 , 3 故|p|= 答案: 3 8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出 1 1 1 1 下列命题:① AD = a-b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0. 2 2 2 2 其中正确命题的个数为________. 1 解析: BC =a, CA =b, AD = CB + AC 2 1 =- a-b,故①错; 2 π 1+1+2×1×1×cos = 3. 3

BE = BC +2 CA =a+2b,故②错;

1

1

CF =2( CB + CA )=2(-a+b)
1 1 =- a+ b,故③正确; 2 2

1

1

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1 1 1 1 ∴ AD + BE + CF =-b- a+a+ b+ b- a=0. 2 2 2 2 ∴正确命题为②③④. 答案:3 9.(2013· 苏北四市三调)如图,在边长为 1 的正三角形 ABC 中,E,F 分别是边 AB,AC 上的点,若 AE =m AB , AF =n AC ,其中 m,n ∈(0,1).设 EF 的中点为 M,BC 的中点为 N. (1)若 A,M,N 三点共线,求证:m=n; (2)若 m+n=1,求| MN |的最小值. 解:(1)证明:由 A,M,N 三点共线,得 AM ∥ AN . 1 1 设 AM =λ AN (λ∈R),即 ( AE + AF )= λ( AB + AC ), 2 2 所以 m AB +n AC =λ( AB + AC ). 因为 AB 与 AC 不共线,所以 m=n. 1 1 1 1 (2)因为 MN = AN - AM = ( AB + AC )- ( AE + AF )= (1-m) AB + (1-n) 2 2 2 2

AC ,
1 1 又 m+n=1,所以 MN = (1-m) AB + m AC , 2 2 1 1 1 1 1 1 2 AB · 所以| MN |2= (1-m)2 AB + m2 AC 2 + (1-m)m· AC =4(1-m)2+4m2+4(1- 4 4 2 m)m 1 1 3 m- ?2+ , = ? 2? 16 4? 1 3 故当 m= 时,| MN |min= . 2 4 2 AE =3 AD , 10.如图所示, 在△ABC 中, D, F 分别是 BC, AC 的中点,

AB =a, AC =b.
(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线. 解:(1)延长 AD 到 G, 1 使 AD = AG , 2 连接 BG,CG,得到?ABGC, 所以 AG =a+b,

11

AD =2 AG =2(a+b),

1 2

1 1

AE =3 AD =3(a+b), AF =2 AC =2b,
BE = AE - AB =3(a+b)-a=3(b-2a),
BF = AF - AB =2b-a=2(b-2a).
2 (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,又因为 3 1 1 1 1

1

1

BE , BF 有公共点 B,
所以 B,E,F 三点共线. 第Ⅱ组:重点选做题 1.A,B,O 是平面内不共线的三个定点,且 OA =a, OB =b,点 P 关于点 A 的对称 点为 Q,点 Q 关于点 B 的对称点为 R,用 a、b 表示 PR ,则 PR =________. 解析: PR = OR - OP =( OR + OQ )-( OP + OQ ) =2 OB -2 OA =2(b-a). 答案:2(b-a) 2. 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点, 且向量 OA ,OB ,OC ,OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD 的形状为________. 解析:由 OA + OC = OB + OD 得

OA - OB = OD - OC ,
∴ BA = CD .所以四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形

第二节

平面向量的基本定理及坐标表示
对应学生用书 P61

1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算
12

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模: 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2 λa=(λx1,λy1),|a|= x1 +y2 1.

(2)向量坐标的求法: ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1), | AB |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0.

1.若 a、b 为非零向量,当 a∥b 时,a,b 的夹角为 0° 或 180° ,求解时容易忽视其中一 种情形而导致出错; 2.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同, 向量坐标中既有方向也有大小的信息. x1 y1 3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可 x2 y2 能等于 0,应表示为 x1y2-x2y1=0. [试一试] 1.(2014· 南京、盐城一模)若向量 a=(2,3),b=(x,-6),且 a∥b,则实数 x=________. 解析:由 a∥b 得 2×(-6)=3x,解得 x=-4. 答案:-4 2. 已知向量 a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b, v=2a-b, 且 u∥v, 则实数 x 的值是________. 解析:∵u=(1+2x,4),v=(2-x,3),u∥v, 1 ∴8-4x=3+6x,∴x= . 2 1 答案: 2

用基向量表示所求向量时,注意方程思想的运用. [练一练] 设 e1、e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为 另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析:由题意,设 e1+e2=ma+nb.
13

因为 a=e1+2e2,b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2) =(m-n)e1+(2m+n)e2.
?m-n=1, ? 由平面向量基本定理,得? ?2m+n=1, ?

?m=3, 所以? 1 ?n=-3.
2 1 答案: - 3 3
对应学生用书 P61

2

考点一

平面向量的坐标运算

1.(2014· 苏中三市、宿迁调研 (一))在平面直角坐标系中,已知向量 AB =(2,1), AC = (3,5),则向量 BC 的坐标为________. 解析: BC = AC - AB =(1,4). 答案:(1,4) 2.(2013· 北京高考)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa+μb(λ,μ λ ∈R),则 =________. μ

解析:设 i,j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则 a=-i+j,b=6i+2j, 1 c=-i-3j,所以-i-3j=λ(-i+j)+μ(6i+2j),根据平面向量基本定理得 λ=-2,μ=- , 2 λ 所以 =4. μ 答案:4 3.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB =a, BC =b, CA =c. (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. 解:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)

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=(15-6-3,-15-3-24) =(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
?-6m+n=5, ?m=-1, ? ? ∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. ? ?

[备课札记]

[类题通法] 1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转化 为数量运算. 2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用. 考点二 平面向量基本定理及其应用

1 [典例] 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD= BC,E,F 分别为线段 AD 与 BC 3 的中点.设 BA =a, BC =b,试用 a,b 为基底表示向量 EF , DF ,

CD .
[解析]

EF = EA + AB + BF =-6b-a+2b=3b-a,

1

1

1

1 1 ? 1 DF = DE + EF =-6b+? ?3b-a?=6b-a, 1 1 2 b-a?=a- b. CD = CF + FD =-2b-? ?6 ? 3 [备课札记]

[类题通法] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算 来解决. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面 几何的一些性质定理. [针对训练]

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1 (2014· 济南调研)如图,在△ABC 中, AN = NC ,P 是 BN 上的一点, 3 若 AP =m AB + 2 AC ,则实数 m 的值为________. 11

解析:因为 AP = AB + BP = AB +k BN = AB + k( AN - AB ) = 1 ? AB +k? ?4 AC - AB ? k =(1-k) AB + AC , 4 且 AP =m AB + 2 AC , 11

k 2 所以 1-k=m, = , 4 11 8 3 解得 k= ,m= . 11 11 答案: 3 11 考点三 平面向量共线的坐标表示

[典例] 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; [解] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
? ?-m+4n=3, 所以? 得 ? ?2m+n=2,

?m=9, ? 8 ?n=9.

5

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0. 16 ∴k=- . 13 [备课札记]

在本例条件下,若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d. 解:设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0, ? 由题意得? 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5, 16

? ? ?x=3, ?x=5, 得? 或? ?y=-1 ?y=3. ? ?

∴d=(3,-1)或(5,3). [类题通法] 1.向量共线的两种表示形式 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b?x1y2-x2y1=0,至于使用哪 种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②. 2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条 件可以列出方程(组),求出未知数的值. [针对训练] 已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; (2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标. 解:(1)由已知得 AB =(2,-2), AB =(a-1,b-1), ∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ AB . ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. (2)∵ AC =2 AB , ∴(a-1,b-1)=2(2,-2).
?a-1=4, ?a=5, ? ? ∴? 解得? ? ? ?b-1=-4, ?b=-3.

∴点 C 的坐标为(5,-3).
对应学生用书 P63

[课堂练通考点] 1.(2013· 南京二模)若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 y 轴,a=(2,-1),则 b=________. 解析:设 b=(x,y),则 a+b=(2+x,y-1),由条件知 2+x=0,|y-1|=1,解得 x=- 2,y=0 或 x=-2,y=2,故 b=(-2,0)或(-2,2). 答案:(-2,2)或(-2,0) m 2.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则 等于________. n 解析:由题意得 ma+nb=(2m-n,3m+2n) a-2b=(4,-1),
17

由于(ma+nb)∥(a-2b), m 1 可得-(2m-n)-4(3m+2n)=0,可得 =- . n 2 1 答案:- 2 3.(2014· 苏北四市质检)已知向量 a=(sin θ,cos θ),b=(3,-4),若 a∥b,则 tan =________. 3? 2×? ?-4? 3 24 解析:由题意,得-4sin θ-3cos θ=0,所以 tan θ=- ,所以 tan 2θ= =- . 4 3 7 - ?2 1-? ? 4? 24 答案:- 7 4.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行;② AB + BC = CA ; ③ OA + OC = OB ;④ AC = OB -2 OA . 其中正确结论的个数是________. 2-1 1 1 1 解析:∵由题意得 kOC= =- ,kBA= =- , 2 2 -2 0-2 ∴OC∥BA,①正确;∵ AB + BC = AC ,∴②错误; ∵ OA + OC =(0,2)= OB ,∴③正确; ∵ OB -2 OA =(-4,0), AC =(-4,0),∴④正确. 答案:3 5.已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=135° ,设 OC =- OA +λ OB (λ∈R),则 λ 的值为________. 解析:由∠AOC=135° 知,点 C 在射线 y=-x(x<0)上,设点 C 的坐标为(a,-a),a<0, 1 则有(a,-a)=(-1+λ,λ),得 a=-1+λ,-a=λ,消掉 a 得 λ= . 2 1 答案: 2 6.在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, AN =λ AB +μ AC ,则 λ +μ 的值为________. 解析:∵M 为边 BC 上任意一点, ∴可设 AM =x AB +y AC (x+y=1). ∵N 为 AM 中点, 1 1 1 ∴ AN = AM = x AB + y AC =λ AB +μ AC . 2 2 2
18



1 1 ∴λ+μ= (x+y)= . 2 2 1 答案: 2 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 辽宁高考改编)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为 ________. 3 4 AB 1 ,- ?. 解析: AB =(3,-4),则与其同方向的单位向量 e= = (3,-4)=? 5 5? ? 5 | AB | 3 4? 答案:? ?5,-5? 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD =2 DB , CD =r AB +s AC ,则 r+s 的 值是________. 解析:∵ CD =2 DB , 2 2 ∴ CD = CB = ( AB - AC ), 3 3 2 2 ∴ CD = AB - AC, 3 3 2 2 又 CD =r AB +s AC ,∴r= ,s=- , 3 3 ∴r+s=0. 答案:0 1 ? 3. 已知向量 a=? b=(x,1), 其中 x>0, 若(a-2b)∥(2a+b), 则 x 的值为________. ?8,2x?, 1 ? 解析:a-2b=? ?8-2x,2x-2?,2a+b=(16+x,x+1), 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然 2a+b≠0, 1 ? 故有? ?8-2x,2x-2?=λ(16+x,x+1),λ∈R, 8-2x=λ?16+x?, ? ? ∴?1 ?x=4(x>0). ?2x-2=λ?x+1? ? 答案:4 4.?创新题?若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α, β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一组 基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.

19

解析:∵a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2), 即 a=-2p+2q=(2,4), 令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
?-x+y=2, ?x=0, ? ? ∴? 即? ?x+2y=4, ?y=2. ? ?

∴a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). 答案:(0,2) 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线 段 OD 的中点,AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错误的是 ________.(填写序号) ① AC = AB + AD ② BD = AD - AB 1 1 ③ AO = AB + AD 2 2 5 ④ AE = AB + AD 3 解析:由向量减法的三角形法则知, BD = AD - AB ,排除②;由向量加法的平行四 1 1 1 边形法则知, AC = AB + AD , AO = AC = AB + AD ,排除①、③. 2 2 2 答案:④ 6. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且 BP =2 PC , 点 Q 是 AC 的中点, 若 PA =(4,3),PQ =(1,5),则 BC =________. 解析: AQ = PQ - PA =(-3,2), ∴ AC =2 AQ =(-6,4).

PC = PA + AC =(-2,7),
∴ BC =3 PC =(-6,21). 答案:(-6,21) 7.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量集 合,则 P∩Q 等于________. 解析:P 中,a=(-1+m,1+2m), Q 中,b=(1+2n,-2+3n).
? ?-1+m=1+2n, 则? ?1+2m=-2+3n. ?

20

? ?m=-12, 得? ?n=-7. ?

此时 a=b=(-13,-23). 答案:{?-13,-23?} 8.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点 能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 解析:若点 A,B,C 能构成三角形, 则向量 AB , AC 不共线. ∵ AB = OB - OA =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),

AC = OC - OA =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1 9.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1),所以 a+3b=(7,3), 故|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=- . 3 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=? ?-3,-1?, a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线. 解:(1) OM =t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时,
? ?4t2<0, 有? ?2t1+4t2≠0, ?

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时,
21

由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵ AB = OB - OA =(4,4),

AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,
∴A,B,M 三点共线. 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013· 南通二模)如图,正六边形 ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括边 界)的动点.设 AP =α AB +β AF (α,β∈R),则 α+β 的取值范围是 ________. 解析:法一:分别延长 DC,AB 交于点 G,则 CG∥AF,且 CG =AF, 从而 AC = AG + GC =2 AB + AF , 同理可得 AE = AB +2 AF ,

AD =2 AB +2 AF ,因为点 P 在△CDE 内部(包括边界),
所以 α+β∈[3,4]. 法二:建立如图所示的直角坐标系, 不妨设正六边形 ABCDEF 的边长为 2, 则点 A(0,0),B(2,0),C(3, 3),D(2,2 3),

E(0,2 3),F(-1,

?x+ 3y≥6, 3),从而点 P 位于区域? 3x+y≤4 3, ?y≤2 3,

中.

又 AP =α AB +β AF =(2α-β, 3β), α+β≥3, ? ? 代入可行域得?α≤2, ? ?β≤2, 答案:[3,4] 2.(2014· 苏锡常镇一模)如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 为以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点,设向量 AC =λ DE + μ AP ,则 λ+μ 的最小值为________. 解析:以 A 为原点,如图建立直角坐标系,不妨设正方形 ABCD 的边长为 1, 1 ? 则 AC =(1,1), DE =? ?2,-1?.设 AP =(cos α,

于是 α+β∈[3,4].

22

λ ? ? 1 = +μcos α, π 0, ?.由 AC =λ DE +μ AP 得? 2 sin α),α∈? ? 2? ? ?1=-λ+μsin α, 1+sin α 故 λ+μ=μsin α-1+μ=3· -1. 2cos α+sin α 1+sin α π? 设 f(α)= ,α∈? ?0,2?, 2cos α+sin α 2+2sin α-cos α 则 f′(α)= . ?2cos α+sin α?2 π? 因为 f′(α)>0 恒成立,故 f(α)在? ?0,2?上单调增. 1 所以当 α=0 时,f(α)min=f(0)= , 2 1 所以(λ+μ)min= . 2 1 答案: 2

3 所以 μ= , 2cos α+sin α

第三节

平面向量的数量积与平面向量应用举例

对应学生用书 P63

1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内 积),记作 a· b.即 a· b=|a||b|cos θ,规定 0· a=0. 2.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a; (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 3.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 结论 几何表示 坐标表示

23

模 夹角 a⊥b 的充要条件 |a· b|与|a||b|的关系

|a|= a· a a· b cos θ= |a||b| a· b=0 |a· b|≤|a||b|

2 |a|= x2 1+y1

cos θ=

x1x2+y1y2 2 2 2 x1+y1 · x2 2+y2

x1x2+y1y2=0
2 2 2 |x1x2+y1y2|≤ ?x2 1+y1??x2+y2?

1.若 a,b,c 是实数,则 ab=ac?b=c(a≠0);但对于向量就没有这样的性质,即若向 量 a,b,c,若满足 a· b=a· c(a≠0),则不一定有 b=c,即等式两边不能同时约去一个向量, 但可以同时乘以一个向量. 2.数量积运算不适合结合律,即(a· b)· c≠a· (b· c),这是由于(a· b)· c 表示一个与 c 共线的 向量,a· (b· c)表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,因此(a· b)· c 与 a· (b· c)不一定相 等. [试一试] 1.(2014· 苏锡常镇一调)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 120° ,若向量 a=e1+2e2,b =4e1,则 a· b=________. 解析:a· b=(e1+2e2)· 4e1=4e2 e2 1+8e1· 1? =4+8×1×1×? ?-2?=0. 答案:0 2π 2.(2013· 镇江期末)在菱形 ABCD 中,AB=2 3,B= , BC =3 BE , DA =3 DF , 3 则 EF · AC =________. 2π BA 所成角为 3 , 解析: 如图, 依题意向量 BC , | BC |=| BA |=2 3,AC 1 1 ? ( BC - AC =? = BC - BA ,EF― →= BC + BA , EF · ?3 BC + BA ?· 3

BA )=3| BC |2+3 BC · BA -| BA |2=-12.
答案:-12

1

2

1.明确两个结论: (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角,则有 a· b>0,反之不成立(因为夹角为 0 时不成立); (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角,则有 a· b<0,反之不成立(因为夹角为 π 时不成立). 2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [练一练]

24

1.已知向量 a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为________. 解析:(a-2b)· a=|a|2-2a· b=0,(b-2a)· b=|b|2-2a· b=0,所以|a|2=|b|2,即|a|=|b|,故 |a|2-2a· b= |a|2-2|a|2 π . 3 π 答案: 3 2.(2013· 南通三模)已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且|a|=1,|b|=2,那么(a+b)2 的值为 ________. 解析:(a+b)2=1+4+2×1×2cos 60° =7. 答案:7
对应学生用书 P64

a,b =0,可得

1 a,b = ,又因为 0≤ a,b ≤π,所以 a,b = 2

考点一

平面向量的数量积的运算

1 1.(2014· 南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a=(1,2),a- b= 2 (3,1),则 a· b=________.

?a-1b?=5,得 a2-1a· 解析:法一:由 a· b=5, ? 2 ? 2
1 即 5- a· b=5,所以 a· b=0. 2 1 法二:由 a=(1,2),a- b=(3,1),得 b=(-4,2), 2 所以 a· b=0 答案:0 2.已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b=-6.则 ________. 解析:由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0,即 3(x1,y1)+2(x2, x1+y1 2 2 2 y2)=(0,0),得 x1=- x2,y1=- y2,故 =- . 3 3 3 x2+y2 2 答案:- 3 3.(2012· 江苏高考)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的 x1+y1 的值为 x2+y2

AF = 2,则 AE · BF 的值是________. 中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ·
25

解析:以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐

AF 标系,则 AB =( 2,0), AE =( 2,1), AD =(0,2).设 AF =(x,2),x>0,则 AB · BF = 2. = 2x= 2,解得 x=1.所以 F(1,2), BF =(1- 2,2),于是 AE ·
答案: 2 4.在△ABC 中,若∠A=120° , AB · AC =-1,则|BC―→|的最小值是________. 解析:∵ AB · | AC |cos 120° =-1,即 AC =-1,∴| AB |· | AB |· | AC |=2,∴| BC |2=| AC - AB |2= AC 2-2 AB · | AC | AC + AB 2≥2| AB |· -2 AB · AC =6, ∴| BC |min= 6. 答案: 6 [备课札记]

[类题通法] 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a· b=|a||b a,b .

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2 +y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解. 考点二 平面向量数量积的性质

平面向量数量积的性质是高考的重点,归纳起来常见的命题角度 有:(1)平面向量的模; (2)平面向量的夹角; (3)平面向量的垂直. 角度一 平面向量的模 π 1.(2014· 南京一模)已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 .以 a,b 为 3 邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________. 解析:设 AD =a, AB =b,如图所示, π | BD |2=1+4-2×1×2cos =3, 3

26

所以 BD= 3. 答案: 3 角度二 平面向量的夹角 2.(1)(2013· 盐城二模)已知向量 a 的模为 2,向量 e 为单位向量,e⊥(a-e),则向量 a 与 e 的夹角大小为________. 解析:由条件得 e· (a-e)=0,从而 e· a=1. 1 π 所以 cos〈a,e〉= ,故〈a,e〉= . 2 3 π 答案: 3 (2)(2014· 苏北四市一调)设 a,b,c 是单位向量,且 a=b+c,则向量 a,b 的夹角等于 ________. 解析:a,b,c 是单位向量,模都为 1,由 a=b+c 得 a-b=c,所以(a-b)2=c2,即 a2 1 1 1 π +b2-2a· b=c2,得 a· b= ,所以|a||b|· cos θ= ,即 cos θ= ,故 θ= . 2 2 2 3 π 答案: 3 角度三 平面向量的垂直 3.(1)(2013· 盐城二模)已知向量 a=(-3,2),b=(-1,0),且向量 λa+b 与 a-2b 垂直, 则实数 λ 的值为________. 解析:由条件知|a|= 13,|b|=1,a· b=3, 又 λa+b 与 a-2b 垂直,所以(λa+b)· (a-2b)=0, 即 λa2-2b2+(1-2λ)a· b=0, 1 于是 13λ-2+(1-2λ)×3=0,解得 λ=- . 7 1 答案:- 7 (2)在直角三角形 ABC 中,已知 AB =(2,3), AC =(1,k),则 k 的值为________. 解析:①当 A=90° 时,

AC =0. ∵ AB ⊥ AC ,∴ AB ·
2 ∴2×1+3k=0,解得 k=- . 3 ②当 B=90° 时,∵ AB ⊥ BC , 又 BC = AC - AB =(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), ∴ AB · BC =2×(-1)+3×(k-3)=0,

27

11 解得 k= . 3 ③当 C=90° 时, ∵ AC ⊥ BC ,∴1×(-1)+k(k-3)=0, 3± 13 即 k2-3k-1=0.∴k= . 2 2 11 3± 13 答案:- 或 或 . 3 3 2 [备课札记]

[类题通法] 1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角为 直角,数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角. 2.利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a2=a· a=|a|2 或|a|= a· a. (2)|a± b|= ?a± b?2= a2± 2a· b+b2. (3)若 a=(x,y),则|a|= x2+y2. 考点三 平面向量与三角函数的综合

[典例] (2013· 江苏高考)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. [解] (1)证明:由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
? ?cos α+cos β=0, 所以? ?sin α+sin β=1. ?

由此得,cos α=cos (π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π. 又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α+sin β=1,

28

1 5π π 得 sin α=sin β= ,而 α>β,所以 α= ,β= . 2 6 6 [备课札记]

[类题通法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立 等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题 思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. [针对训练] 已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tan θ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 解:(1)因为 a∥b,所以 2sin θ=cos θ-2sin θ, 1 于是 4sin θ=cos θ,故 tan θ= . 4 (2)由|a|=|b|,知 sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 所以 1-2sin 2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4,即 sin 2θ+cos 2θ=-1, π 2 2θ+ ?=- . 于是 sin? 4 ? ? 2 π π 9π 又由 0<θ<π,知 <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π 所以 2θ+ = 或 2θ+ = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ= 或 θ= . 2 4
对应学生用书 P65

[课堂练通考点] 2π 1. (2011· 江苏高考)已知 e1, e2 是夹角为 的两个单位向量, a=e1-2e2, b=ke1+e2.若 a· b 3 =0,则实数 k 的值为________. 解析:由题得|e1|=|e2|=1,e1· e2=|e1|· |e2|cos 2π 1 =- ,所以 a· b=(e1-2e2)· (ke1+e2)=k|e1|2 3 2

29

+(1-2k)· e1e2-2|e2|2=k+ 5 答案: 4

2k-1 5 -2=0,解得 k= . 2 4

2.在△ABC 中,若 AB · AC = AB · CB =2,则边 AB 的长等于________. 解析:由题意得 AB · ( AC + CB )=| AB |2=4,所以 AB=2. AC + AB · CB = AB · 答案:2 3.已知向量 a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则实数 k 的取值范围是________. 解析:因为 a=(-2,2),b=(5,k),所以 a+b=(3,k+2),所以|a+b|= 32+?k+2?2= 13+4k+k2≤5,解得-6≤k≤2 答案:[-6,2] 4.(2013· 淮安二模)在△ABC 中,已知 AB=2,BC=3,∠ABC=60° ,BD⊥AC,D 为垂 足,则 BD · BC― →的值为________. 解析: BD · ( BA + AC )= BD · BA + BD · AC BC = BD ·

BA =| BD |· = BD · | BA |· cos∠ABD=| BD |2.
1 1 在△ABC 中,由余弦定理得 AC= 7,又 S△ABC= AB· BC· sin∠ABC= ×2×3×sin 60° 2 2 = 3 3 1 3 3 3 21 ,所以 AC· BD= ,所以 BD= , 2 2 2 7 所以 BD · BC =| BD |2= 27 答案: 7 5.若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为________. 解析:由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=(a+2b)2 =|a|2+4|b|2+4a· b,所以 a· b=-|b|2. 又|a|=3|b|,所以 1 答案:- 3
2 a· b -|b| 1 a,b = = =- . |a||b| 3|b|2 3

27 . 7

BC =________. 6. 在△ABC 中, AB=10, AC=6, O 为 BC 的垂直平分线上一点, 则 AO ·
解析:取 BC 边的中点 D,连接 AD,则 AO · BC =( AD + DO )· BC = AD · BC +

DO · ( AC - AB )= ( AC 2- AB 2)= (62-102)=-32. BC = AD · BC =2( AB + AC )· 2 2
答案:-32 [课下提升考能]

1

1

1

30

第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 盐城二模)若 e1,e2 是两个单位向量,a=e1-2e2,b=5e1+4e2,且 a⊥b,则 e1, e2 的夹角为________. 1 2π 解析:因为 a⊥b,所以 a· b=0,从而 5-6e1· e2-8=0,所以 e1· e2=- ,故〈e1· e2〉= . 2 3 2π 答案: 3 2. (2014· 南通一模)在△ABC 中, 若 AB=1, AC= 3, | AB + AC |=| BC |, 则 =________.

BA · BC | BC |

AB =0, 解析: 由条件得| AB + AC |=| AC - AB |, 故 AC · 即 AC⊥AB, 故| BC |=2,
1×2×cos 60° 1 ∠ABC=60° ,从而原式= = . 2 2 1 答案: 2 3.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 OA =(2,2), OB =(4,1),在 x 轴上

BP 有最小值,则 P 点的坐标是________. 取一点 P,使 AP ·
解析:设 P 点坐标为(x,0), 则 AP =(x-2,-2), BP =(x-4,-1).

AP · BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)
=x2-6x+10=(x-3)2+1.

BP 有最小值 1. 当 x=3 时, AP ·
∴此时点 P 坐标为(3,0). 答案:(3,0) π CA = 4.在直角三角形 ABC 中,∠C= ,AC=3,取点 D 使 BD =2 DA ,那么 CD · 2 ________. 解析:如图, CD = CB + BD . 又∵ BD =2 DA , 2 2 ∴ CD = CB + BA = CB + ( CA - CB ), 3 3 2 1 即 CD = CA + CB , 3 3 π CB =0, ∵∠C= ,∴ CA · 2 2 1 ? CA CA =? ∴ CD · ?3 CA +3 CB ?·
31

2 1 = CA 2+ CB · CA =6. 3 3 答案:6 5.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,M 为 BC 的中点,点 E 在线段 AB 上运动,则 EC― →· EM― →的取值范围是________. 解析:将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设 E(x,0), 1? 1? ? 0≤x≤1.又 M? ?1,2?,C(1,1),所以 EM =?1-x,2?, EC =(1-x,1), 1? 1 1 所以 EM · (1-x,1)=(1-x)2+ .因为 0≤x≤1,所以 EC =? ?1-x,2?· 2 2 1 3? 1 3 ≤(1-x)2+ ≤ ,即 EM · 的取值范围是? EC ?2,2?. 2 2 1 3? 答案:? ?2,2? 6.已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 解析:∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, ∴a· b=|a|· |b|· cos 45° = ∴|2a-b|2=4-4× 答案:3 2 7.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y), N(y,x),则向量 MN 的模为________. 解析:∵a∥b,∴x=4.∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3), b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)· (b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4. ∴向量 MN =(-8,8),∴| MN |=8 2. 答案:8 2 8. (2013· 山东高考)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120° , 且| AB |=3, | AC |=2.若 AP = λ AB + AC ,且 AP ⊥ BC ,则实数 λ 的值为________. 解析: BC = AC - AB ,由于 AP ⊥ BC ,所以 AP · BC =0,
2 AC =-9λ+4+(λ- 即(λ AB + AC )· ( AC - AB )=-λ AB + AC 2 +(λ-1) AB ·

2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10.∴|b|=3 2. 2

1 7 - ?=0,解得 λ= . 1)×3×2×? ? 2? 12

32

答案:

7 12

9.(2014· 泰州期末)已知向量 a=(cos λθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ,θ ∈R. (1)求|a|2+|b|2 的值; (2)若 a⊥b,求 θ; π (3)若 θ= ,求证:a∥b. 20 解:(1)因为|a|= cos2?λθ?+cos2[?10-λ?θ], |b|= sin2[?10-λ?θ]+sin2?λθ?, 所以|a|2+|b|2=2. (2)因为 a⊥b, 所以 cos λθ· sin(10-λ)θ+cos(10-λ)θ· sin λθ=0. 所以 sin[(10-λ)θ+λθ]=0,所以 sin 10θ=0, kπ 所以 10θ=kπ,k∈Z,所以 θ= ,k∈Z. 10 π (3)证明:因为 θ= , 20 所以 cos λθ· sin λθ-cos(10- λ)θ· sin(10- λ)θ π λπ? ?π λπ? λπ λπ =cos · sin -cos? sin?2-20? ?2-20?· 20 20 λπ λπ λπ λπ =cos · sin -sin · cos =0, 20 20 20 20 所以 a∥b. 10.已知△ABC 为锐角三角形,向量 m=(3cos2A,sin A),n=(1,-sin A),且 m⊥n. (1)求 A 的大小; (2)当 AB =pm, AC =qn(p>0,q>0),且满足 p+q=6 时,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)∵m⊥n,∴3cos2A-sin2A=0. ∴3cos2A-1+cos2A=0, 1 ∴cos2A= . 4 又∵△ABC 为锐角三角形, 1 ∴cos A= , 2 π ∴A= . 3 3 3 (2)由(1)可得 m=? , ?, ?4 2 ?
33

n=?1,-

?

3? . 2? 21 7 p,| AC |= q. 4 2

∴| AB |=

1 21 ∴S△ABC= | AB |· | AC |· sin A= pq. 2 32 又∵p+q=6,且 p>0,q>0, p+q ∴ p· q≤ , 2 ∴ p· q≤3.∴p· q≤9. 21 189 ∴△ABC 面积的最大值为 ×9= . 32 32 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2014· 扬州期末)在边长为 6 的等边三角形 ABC 中,点 M 满足 BM =2 MA ,则

CM · CB =________.
解析:法一:由题知, CM · CB =( CB + BM )· CB = CB2 + 2 2 BA― →· =24. CB =36+3×6×6×cos 120° 3 法二: 以 BC 所在的直线为 x 轴, BC 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系, 则 B(-3,0), C(3,0),A(0,3 3),从而 M(-1,2 3), 所以 CM =(-4,2 3),CB =(-6,0). 因此 CM · CB =(-4)×(-6)+2 3 ×0=24. 答案:24 2. (2013· 盐城二模)若点 G 为△ABC 的重心, 且 AG⊥BG, 则 sin C 的最大值为________.

1 1 解析:记 CA =b, CB =a,则 AB =a-b,从而 AG = (a-2b), BG = (b-2a).因 3 3 2b2+2a2 4 为 AG⊥BG,所以(a-2b)(b-2a)=0,即 2b2-5b· a+2a2=0,所以 cos C= ≥ ,故 5|b|· |a| 5 4 3 当|b|=|a|时,cos C 有最小值 ,此时 sin C 有最大值 . 5 5 3 答案: 5 3π 3.(2014· 泰州模拟)如图,半径为 1,圆心角为 的圆弧 AB 上有一点 C. 2 (1)若 C 为圆弧 AB 的中点,点 D 在线段 OA 上运动,求| OC + OD |的最 小值;

DE 的取 (2)若 D,E 分别为线段 OA,OB 的中点,当 C 在圆弧 AB 上运动时,求 CE ·
34

值范围. 解: 以 O 为原点,OA 为 x 轴正方向, 建立如图所示的直角坐标系. (1)设 D(t,0)(0≤t≤1), 又 C?-

?

2 2? , , 2 2?

所以 OC + OD =?-

?

2 2? , +t, 2 2?

1 1 所以| OC + OD |2= - 2t+t2+ =t2- 2t+1(0≤t≤1), 2 2 当 t= 2 1 时,其最小值为 , 2 2 2 . 2

即| OC + OD |的最小值为

3π? (2)设 OC =(cos α,sin α)? ?0≤α≤ 2 ?, 1? 则 CE = OE - OC =? ?0,-2?-(cos α,sin α) 1 ? =? ?-cos α,-2-sin α?. 1 ? 1? 1? ? ? 1 又 D? ?2,0?,E?0,-2?,所以 DE =?-2,-2?, 1 π? 1 1 2 ? ? DE =2? 故 CE · ?cos α+2+sin α?= 2 sin?α+4?+4. π π 7π 因为 ≤α+ ≤ , 4 4 4 1 2 1 2 DE ∈?4- 2 ,4+ 2 ?. 所以 CE · ? ?

第四节

数系的扩充与复数的引入

对应学生用书 P65

1.复数的有关概念 (1)复数的概念: 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R).

35

(3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复数的模: 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi(a, b∈R)的模, 记作|z|或|a+bi|, 即|z|=|a+bi|= a2+b2. 2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi 一一对应 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数 z=a+bi(a,b∈R) 一一对应 平面向量 OZ . 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ④除法: = = = z2 c+di ?c+di??c-di? ac+bd bc-ad + i(c+di≠0). c2+d2 c2+d2 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +z3=z1+(z2+z3).

1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 3.z2<0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2=-9<0. [试一试] 11-7i 1.(2012· 江苏高考)设 a,b∈R,a+bi= (i 为虚数单位),则 a+b 的值为________. 1-2i 11-7i ?11-7i??1+2i? 解析:由题意知 = =5+3i, 5 1-2i 所以 a=5,b=3,所以 a+b=8. 答案:8 2. (2011· 江苏高考)设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位), 则 z 的实部是________. 解析:因为 i(z+1)=-3+2i,所以 i2(z+1)=-3i-2,即-(z+1)=-3i-2,所以 z+1 =2+3i,所以 z=1+3i.故 z 的实部是 1. 答案:1

36

1.把握复数的运算技巧 (1)设 z=a+bi(a, b∈R), 利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的 常用方法. (2)在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分 母实数化. 2.掌握复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. (1)(1± i)2=± 2i; 1+i 1-i =i; =-i; 1-i 1+i

(2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,i4n+i4n 1+i4n 2+i4n 3=0,n∈N*.
+ + + + + +

[练一练] 已知 i 是虚数单位,则? 解析:∵? ∴? 限. 答案:三
对应学生用书 P66

?1+i?2 013 在复平面内对应的点位于第________象限. ? ? 2?

?1+i?2=2i=i, ? ? 2? 2
013

?1+i?2 ? ? 2?

=?

?1+i? 2 ? ? 2?

012 1+i

2

= i1

006

1+i 1+i 2 2 · = i2· =- - i. ∴其对应点位于第三象 2 2 2 2

考点一 1.复数

复数的有关概念

5 的实部为________. 1-2i 5?1+2i? 5 = =1+2i, 5 1-2i

解析:因为

5 所以复数 的实部为 1. 1-2i 答案:1 2+i 2.(2013· 苏州暑假调查)设复数 z= (i 为虚数单位),则复数 z 的虚部是________. ?1+i?2 2+i 2+i ?2+i?· ?-2i? 2-4i 1 解析:由 z= = = = -i 知复数 z 的虚部为-1. 2= 2i 4 2 ?1+i? 2i· ?-2i? 答案:-1

37

a+3i 3.(2013· 徐州、宿迁三检)已知 i 是虚数单位,若 =b+i(a,b∈R),则 ab 的值为 i ________. 解析:原等式可化为 a+3i=bi-1,于是 a=-1,b=3,则 ab=-3. 答案:-3 2-i 4.已知 =a+bi(a,b∈R),则 a+b=________. 3-4i 2-i ?2-i??3+4i? 10+5i 2 1 解析:由题知 = = = + i= 25 5 5 3-4i ?3-4i??3+4i?

?a=5, a+bi(a,b∈R),所以? 1 ?b=5,
3 答案: 5 [备课札记]

2

3 所以 a+b= . 5

[类题通法] 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. 考点二 [ 典例 ] 复数的几何意义 3+i 对应的点在第 1+i

(1)(2013· 苏锡常镇调研 ( 二 )) 已知 i 是虚数单位,复数 z =

________象限. ?3+i??1-i? 4-2i [解析] 由题可得 z= = =2-i, 2 2 故复数 z 对应的点为(2,-1),在第四象限. [答案] 四 (2)(2014· 苏州一调)若复数(a+i)2 对应点在 y 轴的负半轴上(其中 i 是虚数单位),则实数 a 的值是________. [解析] 因为(a+i)2=a2-1+2ai,由条件得
2 ? ?a -1=0, ? ?2a<0, ?

38

从而 a=-1. [答案] -1 [备课札记]

[类题通法] 对复数几何意义的理解及应用 (1)复数 z、 复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系,即 z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)? OZ . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联 系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. [针对训练] 1. (2013· 盐城二模)若复数 z 满足|z-i|=1(其中 i 为虚数单位), 则|z|的最大值为________. 解析:根据复数的几何意义可知,题中所给复数 z 在复平面上表示以点(0,1)为圆心,1 为半径的圆,从而|z|的最大值为 2. 答案:2 2.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为 A,B, C,若 OC =λ OA +μ OB ,(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值是________. 解析:由条件得 OC =(3,-4), OA =(-1,2),

OB =(1,-1),
根据 OC =λ OA +μ OB 得 (3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
? ? ?-λ+μ=3, ?λ=-1, ∴? 解得? ?2λ-μ=-4, ?μ=2. ? ?

∴λ+μ=1. 答案:1 考点三 复数的代数运算

[典例] (1)(2013· 江苏高考)设 z=(2-i)2(i 为虚数单位),则复数 z 的模为________. [解析] 因为 z=3-4i, 所以复数 z 的模为|z|= 32+42=5. [答案] 5 (2)(2014· 常州期末)若 z · z+z= 15 +2i(i 为虚数单位),则复数 z=________. 4

39

[解析] 因为 z · z∈R,所以可设 z=a+2i(a∈R), 从而(a-2i)· (a+2i)+a+2i= 15 即 a2+4+a= , 4 1 解得 a=- , 2 1 所以 z=- +2i. 2 1 [答案] - +2i 2 [备课札记] 15 +2i, 4

[类题通法] 复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分子分母同乘以分 母的共轭复数,解题中要注意把 i 的幂写成最简形式. [针对训练] 1.(2013· 山东高考改编)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为 ________. 解析:由(z-3)(2-i)=5,得 z=3+ -i. 答案:5-i 2.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z=1-i(i 为虚数单位),则 z 1+i +z2= +(1-i)2 z 1-i z z +z2 的值为________. 5?2+i? 5 =3+ =3+2+i=5+i,所以 z =5 2-i ?2-i??2+i?

解析:依题意得 =

-i2+i -2i=i-2i=-i. 1-i

答案:-i
对应学生用书 P66

[课堂练通考点] 1.(2014· 无锡模拟)已知复数 z=i(3-i)(i 是虚数单位),则复数 z 的虚部为________.
40

解析:因为 z=i(3-i)=3i-i2=1+3i, 所以复数 z 的虚部为 3. 答案:3 2.(2014· 南京、盐城一模)复数(1-2i)2(i 是虚数单位)的共轭复数是________. 解析:因为(1-2i)2=-3-4i, 所以其共轭复数为-3+4i. 答案:-3+4i 3.设复数 z 满足(3+4i)· z+5=0(i 是虚数单位),则复数 z 的模为________. 解析:由条件得(3+4i)z=-5, 从而|(3+4i)|· |z|=5,故|z|=1. 答案:1 4. (2014· 镇江质检)若复数 z=2-i(i 为虚数单位),z 是 z 的共轭复数, 则 z·z =________. 解析:z·z =|z|2=22+(-1)2=5. 答案:5 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2010· 江苏高考)设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为________. 6+4i ?6+4i??2+3i? 26i 解析:法一:由 z(2-3i)=6+4i 得 z= = = =2i,所以|z|=2. 2-3i ?2-3i??2+3i? 13 法二:由 z(2-3i)=6+4i 得|z||2-3i|=|6+4i|, 所以|z|· 13= 52,所以|z|=2. 答案:2 2.(2014· 盐城摸底)若复数 z=(m2-1)+(m+1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值 为________.
?m2-1=0, ? 解析:由 z 为纯虚数知? ?m+1≠0, ?

所以 m=1. 答案:1 3.(2013· 苏北三市调研)已知 i 是虚数单位,实数 a,b 满足(3+4i)(a+bi)=10i,则 3a- 4b=________. 解析:由(3+4i)(a+bi)=10i 得 3a-4b+(4a+3b)i=10i,所以 3a-4b=0. 答案:0 2+ai 4.若实数 a 满足 =2i,其中 i 是虚数单位,则 a=________. 1-i
41

2+ai 解析:因为 =2i,所以 2+ai=(1-i)· 2i=2+2i, 1-i 故 a=2. 答案:2 1-mi 5.(2013· 南京、淮安二模)若复数 z= (i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值是 2+i ________. 1-mi ?1-mi??2-i? 2-m-?1+2m?i 2-m 1+2m 解析:z= = = = - i. 5 5 5 2+i ?2+i??2-i?
? ?2-m=0, 又 z 是纯虚数,所以? ? ?1+2m≠0,

即 m=2. 答案:2 6.(2014· 常州质检)已知复数 z=-1+i(i 为虚数单位),则 解析:因为 z·z =(-1+i)(-1-i)=2, z- z =-1+i-(-1-i)=2i, 所以 2 1 = = =-i. 2i i z- z z·z z·z z- z =________.

答案-i 3+bi 7.若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 1-i 3+bi ?3+bi??1+i? 3-b+?3+b?i 解析:由 = = =a+bi, 2 1-i ?1-i??1+i? 3-b 3+b 得 a= ,b= , 2 2 解得 b=3,a=0,所以 a+b=3. 答案:3 z2-2z 8.已知复数 z=1-i,则 =________. z-1 z2-2z ?z-1?2-1 1 1 i 解析: = =z-1- =(-i)- =-i- =-2i. z-1 z-1 z-1 -i -i· i 答案:-2i z1 9. (2013· 南通二模)已知复数 z1=m+2i, z2=3-4i, 若 为实数, 则实数 m 的值为________. z2

42

z1 解析:因为 为实数,所以 z1 z 2 为实数,即(m+2i)(3+4i)=(3m-8)+(4m+6)i 为实数, z2 3 从而由 4m+6=0 得 m=- . 2 3 答案:- 2 2-i 10.已知复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在 z 的象限为第________象限. 2-i 2-i ?2-i??-1-2i? -4-3i 解析:依题意得 = = = ,因此该复数在复平面内对 z 5 -1+2i ?-1+2i??-1-2i? 4 3? 应的点的坐标是? ?-5,-5?,位于第三象限. 答案:三 z1 11.(2013· 湖北黄冈中学)已知 i 是虚数单位,若 z1=a+i,z2=a-i, 为纯虚数,则实 z2 数 a=________.
2 z1 a -1+2ai 解析: = 为纯虚数,则 a≠0,a2-1=0,a=± 1. z2 a2+1

答案:± 1 z 12.已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应 2-i 的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i, 由题意得 y=-2. ∵ x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4, ∴z=4-2i. ∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i. 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
?12+4a-a2>0, ? ∴? ?8?a-2?>0, ?

解得 2<a<6. ∴实数 a 的取值范围是(2,6).

43

第Ⅱ组:重点选做题 1.定义:若 z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根 据定义,则复数-3+4i 的平方根是________. 解析:设(x+yi)2=-3+4i,
?x2-y2=-3, ? 则? ? ?xy=2, ? ? ?x=1, ?x=-1, 解得? 或? ?y=2 ? ? ?y=-2.

答案:1+2i 或-1-2i y 2.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 的最大值为________. x 解析:∵|z-2|= ?x-2?2+y2= 3, ∴(x-2)2+y2=3. y? 3 由图可知? ?x?max= 1 = 3. 答案: 3 x-y+5≥0, ? ? 3.(2013· 陕西师大附中模拟)已知实数 x,y 满足条件?x+y≥0, ? ?x≤3, 单位),则|z-1+2i|的最小值是________. 解析:∵|z-1+2i|= ?x-1?2+?y+2?2,所以|z-1+2i|的最小值即点(1,-2)到不等式组 x-y+5≥0, ? ? ?x+y≥0, ? ?x≤3 最小值为 2 . 2 2 2

z=x+yi(i 为虚数

所表示的平面区域的距离的最小值,即为(1,-2)到 x+y=0 的距离,易得

答案:

y 4.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为 3,则 的最大值是________. x 解析:由题意知 ?x-2?2+y2= 3,即(x-2)2+y2=3,所以对应的圆心为(2,0),半径为 y |2k| r= 3.设 k= ,则 y=kx.当直线与圆相切时,圆心到直线 y=kx 的距离为 = 3,解得 x 1+k2 y k=± 3,可知 的最大值是 3. x 答案: 3

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