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深圳市宝安区宝安中学2015届高三模拟考试(理数)


深圳市宝安区宝安中学 2015 届高三模拟考试 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x | x ? x ? 1? ? 0 , x ? R? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ? R? ,那么 A A. ? C. ?x | ?2 ? x

? 2 ,x ? R? B. ?x | 0 ? x ? 1,x ? R? D. ?x | ?2 ? x ? 1,x ? R?
B 等于

2.已知函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 B. 偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

3. 设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 l1 在平面 ? 内,直线 l2 在平面 ? 内, 且 l2 ⊥ m , 则“ l1 ⊥ l2 ”是“ ? ⊥ ? ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则数列 {an } 的前 10 项和为

A. 4 ? 1
10

B. (210 ? 1)2

C. (410 ? 1)

1 3

D. (210 ? 1)

1 3

6.若实数 x 、 y 满足 4 ? 4 ? 2
x y

x ?1

? 2 y ?1 ,则 t ? 2 x ? 2 y 的取值范围是
C. 2 ? t ? 4 D. t ? 4

A. 0 ? t ? 2 7.已知区域 ? ? ?( x, y ) | ?

B. 0 ? t ? 4

? ? ? ?

? ??1 ? x ? 1, ? 1 ?| x| ? ,区域 A ? {( x, y) | 0 ? y ? e , x ?[?1,1]} ,在 ? 内随 2 ? ??1 ? y ? 1 ?

机投掷一点 M ,则点 M 落在区域 A 内的概率是

1

A. (1 ? )

1 2

1 e

B. (1 ? )

1 4

1 e

C.

1 e

D. 1 ?

1 e

8. 已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 A.

?
3

,则椭

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 题,每小题 5 分,满分 30 分。 ) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 二项式 ( x ? a)10 的展开式中,x 的系数是 15 , 则实数 a =_____.
7

开始 S=0 T= 0 输入x x≥170? 否 T=T+1 否 T≥500? 是 输出S 结束 是 S=S+1

10.某学校为调查高中三年级 男生的身高情况,选取了 500 名男生 作为样本,右图是此次调查统计的流程图,若输出的结果是

380 ,则身高在 170cm 以下的频率为_____.
11.若命题“ ?x ?[1, 2] , x2 ? 2ax ? a ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值 . x2 y2 12.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近 a b 线的垂线,若垂足恰在线段 OF ( O 为原点)的垂直平分线上,则 双曲线的离心率为 . 13.如图,三条平行直线 l1 , l , l2 把平面分成①、②、③、④ 四个区域 (不含边界) , 且直线 l 到 l1 , l2 的距离相等. 点O 在 直线 l 上,点 A,B 在直线 l1 上, P 为平面区域内的点,且满 足 OP ? ?1OA ? ?2 OB(?1, ?2 ? R) . 若 P 所在的区域为④,则 ?1 ? ?2 的取值范围是是 . 范围是

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题. π 14. (极坐标与参数方程选做题)点(2, )到直线 ρsin θ=2 的距离等于________. 6 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D .过点 C 作 BD 的平 行线与圆交于点 E ,与 AB 相交于点 F , AF ? 3 , FB ? 1 , EF ? 则线段 CD 的长为____________.

C

D

3 , 2

A F E B

2

三、解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知将函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x cosx ? 3 cos2 x( x ? R) 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单 位 (m ? 0) 所得函数的图象关于直线 x ? ①求 m 的最小值; ②已知点 P (? , ) 是函数 y ? f ( x) 的图象上的一点,求 sin 4? 的值.

17 ? 对称. 8

8 3

17. (本小题满分 12 分) 某中学组建了 A、B、C、D、E 五个不同的社团组织.为培养学生的兴趣爱好,要求每个学 生必须参加,且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择 是等可能的. (I)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数; (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为甲、乙、丙三个学生参加 A 社团的人数,求 ? 的分布列与数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 1,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,将 ! ACD 沿矩形的对角线 AC 翻折, 得到如图 2 所示的几何体 D ? ABC ,使得 BD = 3 . (Ⅰ) 求证: AD ? BC ; (Ⅱ) 若在 CD 上存在点 P ,使得 VP ? ABC ?

1 VD ? ABC ,求二面角 P ? AB ? C 的余弦值. 2
D D C A A B B P C

图1

图2

3

19. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 (1) 求 S1 , S2 及 Sn ;
* (2) 设 bn ? ( ) n ,若对一切 n ? N ,均有
a

1 1 ? ? S1 S2

?

1 n ? (n ? N * ) . Sn n ? 1

1 2

?b
k ?1

n

k

1 16 ? ( , m2 ? 6m ? ) ,求实数 m 的取值范 m 3

围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x (1)求 f ( x ) 的最小值; (2)设不等式 f ( x) ? ax 的解集为 P ,且 {x | 0 ? x ? 2} ? P ,求实数 a 的取值范围;

e ?k? (3)设 n ? N ,证明: ? ? ? ? . e ?1 k ?1 ? n ?
*

n

n

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,下顶点为 A , a 2 b2 2 线段 OA 的中点为 B ( O 为坐标原点) ,如图.若抛物线 C2 : y ? x ?1 与 y
设椭圆 C1 : 轴的交点为 B ,且经过 F1 , F2 . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 M (0, ? ) , N 为抛物线 C2 上的一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切 线交椭圆 C1 于 P、Q 两点,求 ?MPQ 面积的最大值.

y

P O N M B A Q F1 F2 x

4 5

4

参考答案
一、选择题: BABC 二、填空题: 9. ? CCBA 10. 0.24 ; 13. (??, ?1) ; 11. (? , ??) ;

1 ; 2

1 3

12. 2 ; 三、解答题

14. 1

15.

4 3

16、解 ① f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 cos( 2 x ?

?
4

)?2

…………2 分

将 f ( x) 的图象向左平移 m 个单位得函数 y ( x) ? 其对称轴为 x ? ∴ mmin ?

2 cos( 2 x ? 2m ?
又m ? 0

?
4

)?2

17 ? 8

∴2?

17 ? ? ? 2m ? ? k? (k ? Z ) 8 4

?
4

………………6 分
3? )?2 4

(由 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? 得到 2 ?

17 3? ? ? ? 2m ? ? k? ? (k ? Z ) 也可) 8 4 2

②∵ f (? ) ? 2 cos( 2? ? 令 t ? 2? ?

?
4

)?2?

8 3

∴ cos(2? ? ? ) ? 2 …8 分 4 3

? ,则 ? ? 2, 2? ? t ? , 4? ? 2t ? cost ? 4 4 2 3

∴ sin 4? ? sin( 2t ?

?

2

) ? ? cos 2t ? 1 ? 2 cos 2 t ? 1 ? 2 ?

2 5 ? 9 9

…12 分

17.解: (Ⅰ)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是 5 种, 故有 5× 5× 5=125(种) ……………… ……………………………………3 分 (Ⅱ)三名学生选择三个不同社团的概率是:
3 A5 12 ? …………………5 分 3 5 25

∴三名学生中至少有两人选择同一个不同社团的概率是: 1 ? (Ⅲ)由题意 ? ? 0,1, 2,3.

12 13 ? . ……6 分 25 25

P(? ? 0) ?

1 C3 ? 42 48 43 64 ? ; P ( ? ? 1) ? ? ; 53 125 53 125 3 C32 ? 4 12 C3 1 ? ; P ( ? ? 3) ? ? , 3 3 5 125 5 125

P(? ? 2) ?

5

∴ ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

64 125

48 125

12 125

1 125

………………………………………… …………………………………………10 分 ∴数学期望 E? ? 0 ?

64 48 12 1 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

……………………12 分

18 解: (Ⅰ)当 BD ? 3 时, AD ? 1 , AB ? 2 , ∴ AD ? BD ,又 AD ? DC , ∴ AD ? 平面 BCD ,而 BC ? 平面 BCD , ∴ AD ? BC . ……………………6 分

(Ⅱ)如图,以 B 为 原点, BC 所在直线为 x 轴,BA 所 在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系, 由(Ⅰ)知 AD ? BC ,又 AB ? BC , ∴ BC ? 平面 ABD , ∵ BC ? 平面 ABC ,∴平面 ABD ⊥平面 ABC , 过 D 作 DH ? AB ,则 DH∥z 轴, 在 Rt! ABD 中, AD ? 1 , AB ? 2 ,可得 AH ? , BH ? ……………………8 分

1 2

3 . 2

1 3 3 1 3 3 ) ,∵ VP ? ABC ? VD? ABC ,∴ P 为 DC 中点,∴ P ( , , ) . 故 D(0, , 2 2 2 4 4 2
设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

?( x, y, z ) ? (0, 2,0) ? 0, ? ?n ? BA ? 0, ? 则? ∴? 1 3 3 ? ?n ? BP ? 0, ?( x, y, z ) ? ( , , ) ? 0, ? 2 4 4

? y ? 0, ? 即 ?1 3 z ? 0, ? x? ?2 4

…………10 分

取 z ? ?2 ,则 n ? ( 3,0, ?2) ,又平面 ABC 的法向量为 m ? (0,0,1) , ……12 分 则 cos m, n =

m?n 2 7 = . | m |?| n | 7 2 7 . 7
……………………14 分

故二面角 P ? AB ? C 的余弦值为

6

19. 解: (1)依题意, n ? 1 时, S1 ? 2 , n ? 2 时, S2 ? 6 .

2分

1 1 ? ? S1 S2
n ? 2 时,

?

1 n ,① ? Sn n ? 1 ? 1 n ?1 ,② ? Sn?1 n
4分

1 1 ? ? S1 S2

① ? ②,得

1 n n ?1 ,? Sn ? n(n ? 1) . ? ? Sn n ? 1 n

上式对 n ? 1 也成立,? Sn ? n(n ? 1)(n ? N * ) . (也可先猜测,然后用数学归纳法证明)

5分

(2)由(1) Sn ? n(n ? 1) ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ,

7分

a1 ? 2 ,?an ? 2n(n ? N * ) ,
1 ? bn ? ( ) n . 4
n

8分 9分

bn ?1 1 ? ,? 数列 ?bn ? 是等比数列. bn 4

1 1 (1 ? n ) 4 ? 1 (1 ? 1 ) . 则 ? bk ? 4 1 3 4n k ?1 1? 4

10 分

1 1 1 n 1 (1 ? n ) 随 n 的增大而增大,? ? ? bk ? , 3 4 4 k ?1 3

11 分

1 1 ? ? ? ? m 4 依题意,得 ? , 16 1 2 ? m ? 6m ? ? ? 3 3 ?
解得, ?

12 分

? m ? 0, 或m ? 4 ? m ? 1, 或m ? 5

? m ? 0 或 m ? 5 ,即 m ? (??,0) [5, ??) .

14 分

20.

x (1)解: f ( x ) 的导 数 f ?( x) ? e ?1 .

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ;令 f ?( x) ? 0 ,

解得 x ? 0 .……………………2 分

0) 内单调递减,在 (0,+?) 内单调递增. 所以,当 x ? 0 时, f ( x ) 取得 从而 f ( x ) 在 (??,
最小值 1 . ……………………3 分

(2)解:因为不等式 f ( x) ? ax 的解集为 P , 且 {x | 0 ? x ? 2} ? P ,

7

2] ,不等式 f ( x) ? ax 恒成立. 所以对于任意 x ?[0,
由 f ( x) ? ax ,得 (a ? 1) x ? e x .

2] 的情况. 当 x ? 0 时,上述不等式显然成立,故只需考虑 x ? (0,
将 (a ? 1) x ? e x 变形为 a ?

ex ?1, x

……………………5 分

ex ( x ? 1)e x ? 1 ,则 g ( x) 的导数 g '( x) ? 令 g ( x) ? , x x2
令 g ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ;令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

1) 内单调递减, 2) 内单调递增. 从而 g ( x) 在 (0, 在 (1,
实数 a 的取值范围是 (??,e ? 1) .

当 x ? 1 时,g ( x) 取得最小值 e ? 1 ,

……………………8 分

x (3)证明:由(Ⅰ)得,对于任意 x ? R ,都有 e x ? x ? 1 ,即 1 ? x ? e .

令x??

i n
n

(n ? N*,i ? 1, 2, ,n ? 1) , 则 0 ? 1 ?
n

i ? i ?e n. n

i ? i? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? e n ? ? e ?i ? n? ? ?

(i ? 1 , , 2 ,n ? 1 )

? n ?i ? ?i 即 ? ? ?e n ? ?
n n n

n

(i ? 1 , , 2 ,n ? 1 ) .……………………11 分
n

?k ? ?1? ? 2? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n? ?n? k ?1 ? n ?
e? ( n?1) ? e? ( n?2) ?
n n

? n ?1 ? ? n ? ? ( n ?1) ?? ? e?( n?2) ? ? ?? ? ? e ? n ? ?n?
1 ? e? n 1 e ? ? ?1 ?1 1? e 1? e e ?1

n

n

? e?1 ? 1 .

? e?1 ? 1 ?



e ?k? . ……………………14 分 ? ?? ? ? e ?1 k ?1 ? n ?
y 21.解: ( Ⅰ)由题意可知 B(0,-1) ,则 A(0,-2) ,故 b=2.
2 令 y=0 得 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1 ,则 F1(-1,0),F2(1,0) ,故

P O N M B F1 F2 x

c=1.
8

A Q

所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 5 .于是椭圆 C1 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 .……………………4 分 5 4

(Ⅱ)设 N( t , t 2 ? 1 ) ,由于 y ' ? 2 x 知直线 PQ 的方程为:

y ? (t 2 ?1) ? 2t ( x ? t ) . 即 y ? 2tx ? t 2 ? 1.
代入椭圆方程整理得: 4(1 ? 5t 2 ) x2 ? 20t (t 2 ? 1) x ? 5(t 2 ? 1)2 ? 20 ? 0 ,

? ? 400t 2 (t 2 ? 1)2 ? 80(1 ? 5t 2 )[(t 2 ? 1)2 ? 4] = 80(?t 4 ? 18t 2 ? 3) ,

x1 ? x2 ?

5(t 2 ? 1)2 ? 20 5t (t 2 ? 1) , ,……………………6 分 x x ? 1 2 1 ? 5t 2 4(1 ? 5t 2 )
2

故 PQ ? 1 ? 4t

x1 ? x2 ? 1 ? 4t 2 . ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

?

5 ? 1 ? 4t 2 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 .……………………8 分 1 ? 5t 2
4 ? ? t 2 ?1 5 1 ? 4t 2 1 5

t2 ? ?

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 d ?

1 ? 4t 2

.……………………10 分

1 t2 ? 1 5 ? 1 ? 4t 2 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 1 5 ? 所以, ?MPQ 的面积 S ? PQ ? d ? 2 2 2 1 ? 5t 1 ? 4t 2

?

5 5 5 105 ?t 4 ? 18t 2 ? 3 ? ?(t 2 ? 9)2 ? 84 ? 84 ? 10 10 10 5

当 t ? ?3 时取到“=”,经检验此时 ? ? 0 ,满足题意. 综上可知, ?MPQ 的面积的最大值为

105 .……………………14 分 5

9


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