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上海市虹口区2016年高三数学二模(理)


虹口区 2016 年数学学科(理科)高考练习题
2016.04 考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 . 2.本考试分设考试卷和答题纸. 作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律 不得分. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 小题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果,每 个

空格填写对得 4 分,否则一律不得分.
2 1. 设集合 M ? x | x ? x , N ? ? x | log 2 x ? 0? , 则 M ? N ?

?

?

. .

2. 已知虚数 1 ? 2i 是方程 x2 ? ax ? b ? 0 ? a, b ? R ? 的一个根,则 a ? b ?

3. 在报名的 5 名男生和 4 名女生中,选取 5 人参加志愿者服务,要求男生、女生都有,则不同的选取方法 的种数为 (结果用数值表示) 4. 已知复数 z 在复平面内对应的点在曲线 y ? 5. 已知函数 f ? x ? 的对应关系如下表:

2 上运动,则 z 的最小值为 x
C

.

x
f ? x?

?2
3

?1
?2

0

1
5

2
A

O

B

1

m
. .

若函数 f ? x ? 不存在反函数,则实数 m 的取值集合为 6. 在正项等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 1 , a2 ? a3 ? 7. 已知 f ? x ? ? 2sin ?x ?? ? 0 ? 在 ? 0,

4 ,则 lim ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? n ?? 3

? ?? 单调递增,则实数 ? 的最大值为 ? 3? ?

.

1
8. 若行列式 cos ?? ? x ?

?1
n

3 2 0 中的元素 4 的代数余子式的值等于 ,则实数 x 的取值集合为 2 1 6
.

2 4

.

1 ? ? 9. 二项式 ? 2 x ? ? 展开式中的第 5 项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为 x? ?
?

10. 已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90 , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最大

32 值为 ,则球 O 的表面积为 3
11. 如图,A,B 为椭圆

y

.
A

B
O

C

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个顶点,过椭圆的右焦点 a 2 b2

F

x

F 作 x 轴的垂线,与其交于点 C,若 AB//OC (O 为坐标原点) ,则直线 AB 的斜率 为 .
1/5

12. 若 经 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 焦 点 的 直 线 l 与 圆

? x ? 4?

2

? y2 ? 4 相 切 , 则 直 线 l 的 方 程

为 . 13. 假设某 10 张奖券中有 1 张,奖品价值 100 元,有二等奖 3 张,每份奖品价值 50 元;其余 6 张没有奖. 现 从 这 10 张 奖 券 中 任 意 抽 取 2 张 , 获 得 奖 品 的 总 价 值 ? 不 少 于 其 数 学 期 望 E? 的 概 率 为 .
2

14. 已知对任意的 x ? ? ??,0? ? ? 0, ??? , y ???1,1? ,不等式 x ? 实数 a 的取值范围为 .

6 8 ? 2 xy ? 1 ? y 2 ? a ? 0 恒成立,则 2 x x

二、填空题(本大题满分 20 分)本大题共 4 小题,每小题有且只有一个正确答案,考生应再答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得 5 分,否则一律得 0 分.
2 15.“ a ? 3 ”是“直线 a ? 2a x ? y ? 0 和直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行”的(

?

?



(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B) 必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

16. 已知抛物线 C1 : y 2 ? 4x 的焦点 F 恰好是椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,且两条曲线 C1 与 a 2 b2
) (D) 4

C2 交点的连线过点 F,则椭圆 C2 的长轴长等于(
(A) 2 ? 1 (B) 2 (C) 2 2 ? 2

17. 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是内角 A,B,C 的对边,若 S? ABC ?

a 2 ? b2 ? c 2 (其中 S? ABC 表示 ? ABC 的面 4

? 积) ,且 ? ? ?

??? ? ???? ??? ? AB AC ? ??? ? ? ???? ? ? BC ? 0 ,则 ? ABC 的形状时( AB AC ? ?
(B)等边三角形



(A)有一个角是的等腰三角形
? 18. 已 知 点 列 An ? an , bn ? n ? N

(C)直角三角形

(D)等腰直角三角形

?

? 均为函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1? 的 图 像 上 , 点 列 Bn ? n,0? 满 足


An Bn ? An B ?1 n ,若数列 ?bn ? 中任意连续三项能构成三角形的三边,则 a 的取值范围为(
(A) ? 0,

? ? ?

? 5 ?1 ? ? 5 ?1 ? , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 3 ?1 ? ? 3 ?1 ? , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

(B) ? ?

? 5 ?1 ? ? 5 ?1 ? ,1? ? 1, ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

(C) ? 0, ?

? ?

(D) ?

? 3 ?1 ? ? 3 ?1 ? ,1 ? 1, ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

2/5

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 19.(本题满分 12 分)本题有 2 个小题,每小题 6 分. 在锐角 ? ABC 中, sin A ? sin 2 B ? sin ? (1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC ? 12 ,求 ? ABC 的面积.

?? ? ?? ? ? B ? sin ? ? B ? . ?4 ? ?4 ?

??? ? ??? ?

20.(本题满分 14 分)本题有 2 个小题,每小题 7 分. 如 图 , 在 四 棱 锥 P? A B C D 中 , 已 知 PA ? 平 面 A B C D , 且 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ,

?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? AD ? AP ? 2, BC ? 1.
(1)求点 A 到平面 PCD 的距离; (2)若点 Q 为线段 BP 的中点,求直线 CQ 与平面 ADQ 所成角的大小.

21.(本题满分 14 分)本题有 2 个小题,每小题 7 分. 已知函数 f ? x ? ? log 1 ?

? 1 ? ax ? ? 满足 f ? ?2? ? 1,其中 a 为实常数. 3 ? x ?1 ?

(1)求 a 的值,并判定函数 f ? x ? 的奇偶性;

?1? (2)若不等式 f ? x ? ? ? ? ? t 在 x ? ? 2,3? 上恒成立,求实数 t 的取值范围. ?2?

x

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22.(本题满分 16 分)本题有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 6 分. 已知直线 y ? 2 x 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线, 点 A?1,0? , M ? m, n?? n ? 0? 都在双曲线 C 上, a 2 b2

直线 AM 与 y 轴相交于点 P,设坐标原点为 O. (1)求双曲线 C 的方程,并求出点 P 的坐标(用 m, n 表示) ; (2)设点 M 关于 y 轴相交的对称点为 N,直线 AN 与 y 轴相交于点 Q,问:在 x 轴上是否存在定点 T, 使得 TP ? TQ ? 若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若过点 D ? 0,2? 的直线 l 与双曲线 C 交于 R,S 两点,且 OR ? OS ? RS ,试求直线 l 的方程.

??? ? ??? ?

??? ?

23. (本题满分 18 分)本题有 3 个小题,每小题 6 分. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 ? Sn ? 1? ? an Sn n ? N
2

?

?

?.

(1)求出 S1 , S2 , S3 的值,并求出 Sn 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? ? ?1?
n ?1

? an an ?1 ? n ? N ? ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ;

? (3)设 cn ? ? n ?1? ? an ? n ? N ?? ,在数列 ?cn ? 中取出 m m ? N 且m ? 3 项,按照原来的顺序排列

?

?

成一列,构成等比数列 ?dn ? ,若对任意的数列 ?dn ? ,均有 d1 ? d2 ? ? ? dn ? M ,试求 M 的 最小值.

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