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【1.2.2《空间中的平行关系(2)》


1.2.2空间中的平行关系(2)

复习回顾
1. 证明直线与平面平行,三个条件必须 具备,才能得到线面平行的结论. 三个条件中注意:“面外、面内、平行” 线线平行 线面平行

运用定理的关键是找平行线; 找平行线又经常会用到三角形中位线定理.

D 小试牛刀:如图,正方体 ABCD ? A?B?C?D?

中,E为 D? ? 的中点,试判断 BD与平面AEC的位置关系,并说明理 由. D? 证明:连接BD交AC于点O,

连接OE, 在 ?DBD?中,E,O分别是 DD?, BD 的中点.

A?

E
D

B?

C?

C

?EO// BD?

? ? EO ? 平面ACE ? ? BD // 平面AEC ? BD ? 平面ACE ?

A

O

B

直线和平面平行的性质定理 (1)文字语言:如果一条直线和一个平 面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线就和交线平行.
a

(2)图形语言:

?
a//α (3) 符号语言: a ? β α∩β=b

b

? a//b

已知:l //α,l

?β,α∩β=m,
? ?
l m

求证:l //m. 证明:因为l //α,所以
l与α没有公共点,

又因为m在α内,所以l与m也没有公共点. 因为l和m都在平面β内,且没有公共点, 所以l //m. 这条定理,由“线面平行”去判断“线线平 行”

例3. 求证:如果过一个平面内一点的直线 平行于与该平面平行的一条直线,则这条 直线在这个平面内。 已知:l //α,点P∈α,P∈m,m // l, 求证:m ? α. 证明:设l与P确定的平面为β, 且α∩β=m’, 则l //m’,又知l //m, m∩m’=P,
l

?

P

m

?

m'

由平行公理可知,m与m’重合. 所以m ? α.

练习:
1.以下命题(其中a,b表示直线,?表示 平面) ①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b 其中正确命题的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

2.判断下列命题是否正确,若正确,请简述 理由,若不正确,请给出反例. (1)如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a 平行 于经过b的任何平面;( ) (2)如果直线a、b和平面α 满足a∥α, b∥α,那么a∥b ;( )

(3)如果直线a、b和平面α 满足a∥b, a∥α, b α,? b∥α;( 那么 ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只 有一条.( )

D1

3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中

C1
B1 C B

A1 D

A

1.与直线AB平行的平面是______. 2. 和直线AA1平行的平面是_____. 3.与直线AD平行的平面是______.

4.

长方体ABCD -A1 B1C1 D1中,点P ? BB1 (异于B、B1) PA ? BA1 ? M , PC ? BC 1 ? N , 求证:MN // 平面ABCD
D1 C1

问题的关键是证明MN//AC, 在⊿PAC中,证明 PM:MA=PN:NC.

A1

B1 P M D N C

A

B

证法1
A 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
1

D1

C1

B1 P M D N C

PM PB ?PBM∽ ?AA1 M ? ? MA AA1 PN PB ?PBN ∽?CC 1 N ? ? NC CC 1
A

B

PM PN ? ? ? AC // MN MA NC

CC 1 ? AA1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

证明2:
连结AC 、A1C1 长方体中A1 A//C1C ? A1C1 // AC AC ? 面A1C1 A1C1 ? 面A1C1
? AC // 面A1C1 B AC ? 面ACP
A A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

A1 B ? PA ? M ? ? ? 面ACP ? 面A1C1 B ? MN PC ? BC 1 ? N ?

? AC // MN MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD
? MN // 面ABCD


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