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高三数学第一轮复习单元讲座第03讲 函数的基本性质

时间:2013-04-15


高三数学第一轮复习 3—函数的基本性质
一.知识整合
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函 数;如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性 质

,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的 任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个 函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2) 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是映 射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减函数。
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(4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1) 定义: 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=
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f(x),则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最 2 2

小的正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0) 是周期函数,且周期为

T |? |



二.典例精析
题型一:判断函数的奇偶性 例 1.讨论下述函数的奇偶性:

16 x ? 1 ? 2 x (1) f ( x) ? ; 2x

?1n( x ? 1 ? x )( x ? 0) ? (2) f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ; ? ?1n( 1 ? x ? ? x )( x ? 0)

(3) f ( x) ? 1og 2 ( 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ? 1);
(4) f ( x) ? a2 ? x2 (常数a ? 0); | x ? a | ?a

例 2.(2002 天津文.16)设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=- |f(x)|;②y=xf(x2) ;③y=-f(-x) ;④y=f(x)-f(-x) 。 必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号) 题型二:奇偶性的应用 例 3. (2002 上海春,4)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3 (1+x) ,则 f(-2)=____ _。 例 4.已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2-x),且 f(x)是偶函数,当 x∈ [0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式。

题型三:判断证明函数的单调性 例 5. (2001 天津,19)设 a ? 0 , f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数。 a ex

(1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数。 例 6.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)=

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f(x)+

1 ,讨论 F (x)的单调性,并证明你的结论。 f ( x)

例 7. (2001 春季北京、安徽,12)设函数 f(x)= 单调区间,并证明 f(x)在其单调区间上的单调性。

x?a (a>b>0) ,求 f(x)的 x?b

例 8. (1)求函数 y ? log 0.7 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间;
2

(2)已知 f ( x) ? 8 ? 2x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调
2 2

性。

题型五:单调性的应用 例 9.已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,解不等式 f[log2(x2+5x+4)] ≥0。

例 10.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞]上是增函数,是否存在实 数 m,使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0, 符合条件的所有实数 m 的范围,若不存在,说明理由。
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? ]都成立?若存在,求出 2

例 11. (2002 全国理,21)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值。

1 )。 m ?1 (1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意 义,则 m∈M; (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值; (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1。
例 12.设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

题型七:周期问题 例 13.若 y=f(2x)的图像关于直线 x ? 为 。

a b 和 x ? (b ? a) 对称,则 f(x)的一个周期 2 2

例 14 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 函 数 , 周 期 T ? 5 , 函 数 在 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数, [1, 4] 上是二次函
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数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。 ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; ③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。
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三.知识回顾
1.判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定 义的等价形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上,要 明确对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点 对称 这是函数具备奇偶性的必要条件。 稍加推广, 可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称 的充要条件是对定义域内的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立 函数的奇偶性是其相应图象的 特殊的对称性的反映; 3.若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分 非必要条件; 4.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称 性可以判断函数的奇偶性。 5.若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为函数 f(x) 的周期,一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集。 6.单调性是函数学习中非常重要的内容,应用十分广泛,由于新教材增加了“导数” 的内容,所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高,因此解决具体函数的单调性问 题,一般求导解决,而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。 注意,关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析,严格的解答还是应该运 用定义或求导解决。
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