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空间向量与立体几何复习课

时间:2015-03-28


第三章

空间向量与立体几何 小结与复习

理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念; 2、空间向量的运算; 3、三个定理; 4、坐标表示。

二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。

一、空间

向量及其运算 (一)基本概念 1. 空间向量:空间中具有大小和方向的量 叫做向量. 2. 空间向量也用有向线段表示,并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 3. 向量的模:向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量:模是 1 的向量。 5. 零向量:模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。

6. 相等向量:模相等且方向相同的向量. 7. 相反向量:模相等且方向相反的向量
8.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,这些向量叫做共线向量或平行向量。

9.平行于同一平面的向量,叫做共面向量
10.把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都 称为直线的方向向量.
11.平面的法向量:如果表示向量 n的有向线段所在直线 垂直于平面? ,则称这个向量垂直于平面? ,记作n ⊥ , n ?么 向 量 叫做平面 n ? ⊥ ,那 如果 的法向量 ? .

(二)空间向量的运算
1.加法:三角形法则或平行四边形法则 2.减法:三角形法则 3.数乘运算 4.数量积运算

(三)空间向量的理论

1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a, b(b ? 0), a // b的充要条件是存在实数 ? 使

a ? ?b
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb .

3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、、 b c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ,存在唯一的有序实数对

( x, y , z ) 使 p ? xa ? yb ? zc .

(四)空间向量运算的坐标表示

a ? a12 ? a22 ? a32

cos ? a, b ??
AB ??

a ?b a b
2

?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32
2 2

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?

二、立体几何中的向量方法 (一)、空间位置关系的向量法:
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;
线面平行

l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; 线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.
面面平行

(二)、空间角的向量方法: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ?
的法向量分别为 u, v ,则
两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤
直线 l 与平面 ? 所成角 ? ( 0 ≤ ?

?
2

), cos ? ? cos? a ? b? ;



?
2

), sin ?

? cos? a ? u?



二面角 ? ─l ─ ? 的为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), cos? ? ? cos? u ? v? .

(三)空间距离的向量法
E为平面α外一点,F为α内任意一 点, 为平面 n α 的法向量,则点E到平面的距离为:
E

| n ? EF | d? |n|

n

?

F

?O

常见题型:
(一)证明平行垂直,求解空间角和距离

例1
(二)探索性问题 例2

例1
(2014山东理科)在四棱柱ABCD ? A1B1C1D1中,底面ABCD 是等腰梯形,?DAB ? 60 , AB ? 2CD ? 2,是线段的中点. (1)求证:C1M / / 平面A1 ADD1 (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1 = 3,求平面C1D1M 和 平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值
A1 D1 C1 B1

D A M

C B

D1 A1

C1 B1

D A M

C B

例2
D为BC的中点,PO ? 平面ABC,垂足O落在线段AD上, 已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2

(2011浙江理科)如图,在三棱锥P ? ABC中,AB=AC,

(Ⅰ)证明:AP ? BC; 使得二面角A ? MC ? B为直二面角? 若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由。

(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M ,

练习
(2012北京)如图1,在Rt ABC中,?C ? 90?,BC ? 3, AC ? 6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE BC, DE ? 2,将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置,使A1C ? CD, 如图2.

? I ? 求证:A1C ? 平面BCDE; ? II ? 若M 是A1D的中点,求CM 与平面A1BE所成角的大小; ? III ? 线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由


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