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(理数+答案)湖北省襄阳市2015届高三元月调考理科数学试卷及答案


2015 年 1 月襄阳市普通高中调研统一测试 数学(理工类)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进 行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答 在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时

,可视影响程度决 定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不 给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:BCACB 二.填空题:11.3 15.45° 三.解答题: 17.(1)解:当 x ? [? ∴ T ? 2? ,故 ? ? 1 DDBAC 12.1 16.1 13.

9 2

14.(1) (0,2) 2 分

(2) ln x0 ?

1 ab

3分

2 ? T ? 2? ? ? , ] 时,由图象知:A = 2, ? ? ? (? ) ? 3 6 4 6 3 2
2分

2? 又 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 过 (? , 2) (0 ? ? ? ? ) ,∴ ? ? ? ? ? ?? 6 6 2 3 2? ) ∴ f ( x) ? 2sin( x ? 3
∵函数 y = f (x)的图象关于直线 x ? 当

?

?

?

4分 6分

?

2? ? ? ? ? 2? ≤ ? x ≤ ,∴ f ( x) ? f ( ? x) ? 2sin( ? x ? ) ? 2sin x 6 3 3 6 3 3 3 2? 2 ? ? 2sin( x ? ) ? ? ≤x? ? ? 3 3 6 ∴ f ( x) ? ? 8分 ? ?2sin x ≤ x ≤? ? 6 ? ≤ x ≤ ? 时, ?

?

6

对称,∴ f ( x) ? f (

?

3

? x)

? ? 6 6 3 (2)解:∵ ? ? [ , ] ,∴由 f (? ) ? 得: 2sin ? ? ? sin ? ? 6 2 5 5 5 4 因此, cos ? ? 5 ? ? ? 3 sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? sin ? cos ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) 3 3 3 2 3 4 3 16 9 24 ? 7 3 . ? ? ? ( ? )? 5 5 2 25 25 50
1 2 2 an?1 ? n?1 ? 得: 3n?1 an ? 3n?2 an?1 ? 2 ? 2 ? 3n?2 3 3 3 ∴ 3n?1 (an ? 1) ? 3n?1 an ? 3n?1 ? 3n?2 an?1 ? 2 ? 3n?2 ? 3n?2 (an?1 ? 1) ? 2
18.(1)证:由 an ? 即 bn ? bn?1 ? 2 ? bn ? bn?1 ? 2 (n ≥ 2) 又 b1 ? 3 (a1 ? 1) ? 2 ∴数列{bn}是首项为 2,公差为 2 的等差数列. (2)解:由(1)知, bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,∴ 3n?1 (an ? 1) ? 2n ? an ?
1?1

10 分

12 分 2分

4分 6分

2n ?1 3n?1

8分

2 4 6 2n 1 2 4 ? ? 2 ? ? n?1 ,则 Tn ? ? 2 ? 1 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 2n 两式相减得: Tn ? 2(1 ? ? 2 ? ? n?1 ) ? n 3 3 3 3 3 1 n 2[1 ? ( ) ] 2n 2n ? 3 3 ? ? n ? 3? 1 3 3n 1? 3 9 2n ? 3 ∴ Tn ? ? 2 2 ? 3n?1 9 2n ? 3 因此, Sn ? Tn ? n ? ? ?n 2 2 ? 3n?1
记 Tn ?

?

2(n ? 1) 2n ? n 3n?1 3
10 分

12 分 2分 4分 6分

19.(1)解: f ?( x) ? e x ? a ,∵ f ?(0) ? 1 ? a ? 0 ,∴a = 1 令 f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得:x > 0;令 f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得:x < 0 ∴f (x)的单调递增区间为(0,+∞);单调递减区间为(-∞,0) (2)解:∵

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ?m x2 ? x1
8分 9分 10 分 12 分 1分 2分 3分 4分

∴当 x1 < x2 时,有: g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 当 x1 > x2 时,有: g ( x1 ) ? mx1 ? g ( x2 ) ? mx2 令 F ( x) ? g ( x) ? mx ,则 F(x)在 R 上单调递增 ∴ F ?( x) ? g ?( x) ? m ≥ 0 ,即 m ≤ g ?( x) 在 R 上恒成立 而 g ?( x) ? f ?( x) ? f ?(? x) ? e x ? e ? x ? 2 ≥ 0 (当且仅当 x = 0 时取“=”) ∴m≤0. 20.(1)证:∵PA⊥平面 ABC,BC 在平面 ABC 内,∴PA⊥BC 又∵AD⊥平面 PBC,BC 在平面 ABC 内 ,∴AD⊥BC PA、AD 在平面 PAB 内且相交于 A,∴BC⊥平面 PAB 而 PB 在平面 PAB 内,∴BC⊥PB. (2)解:由(1)知 BC⊥平面 PAB,AB 在平面 PAB 内,∴BC⊥AB ∵AD⊥平面 PBC,其垂足 D 落在直线 PB 上,∴AD⊥PB 设 PA = x,则 4 ? x 2 ? 3 ? 2 x ? x ? 2 3 以 AB 、AP 为 x 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0, 1,0),P(0,0, 2 3 ),C(2,2,0) P

z 0), Q(1,

PB ? (2, 0, ? 2 3 ),PQ ? (1,, 1 ? 2 3) 设平面 PBQ 的法向量为 n = (x,y,z),则 ? 0, ? 2 3) ? 0 ?( x,y,z ) ? (2, ? x ? y ? 3z ? 1 ? 2 3) ? 0 ? ?( x,y,z ) ? (1,, 3, 3 ) ∴ n ? (3,
8分 A 在 Rt△ABD 中, AD ? 3 ,AB = 2,则 BD = 1 3 3 ∴ D( , 0, ) 2 2 3 3 10 分 DA ? (? , 0, ? ) 2 2 由已知 DA 是平面 PBC 的法向量

y D Q

C

B

x

cos ? n,DA ??

3 3 (3, 3, 3 ) ? (? , 0, ? ) 2 2 3 3 2 32 ? 32 ? ( 3 ) 2 ? (? ) 2 ? 02 ? (? ) 2 2

??

2 7 7 2 7 7
12 分

∴二面角 Q-PB-C 的余弦值为 另:……

∴ n ? (3, 3, 3 ) 设平面 PBC 的法向量为 m = (x,y,z),则

8分

BC = (0,2,0) 2, 0) ? 0 ?( x,y,z ) ? (0, ?x ? 3 z ? ? ? 0, ? 2 3) ? 0 ?( x,y,z ) ? (2, ?y ? 0
∴ m ? (3, 0, 3 ) 10 分

cos ? m, n ??

(3, 3, 3 ) ? (3, 0, 3 ) 3 ? 3 ? ( 3) ? 3 ? 0 ? ( 3)
2 2 2 2 2 2

?

2 7 7
12 分

∴二面角 Q-PB-C 的余弦值为

2 7 7

21.(1)解:在方程 x 2 ? ? y ? 8 中令 y = 0 得: x ? ?2 2 ∴A( ?2 2 ,0),B( 2 2 ,0) y y 1 设 P(x,y),则 k AP k BP ? ? ?? 2 x?2 2 x?2 2 x2 y 2 整理得: ? ?1 8 4 x2 y 2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? ?1 8 4 (2)解:设直线 MN 的方程为:y = kx + m,M(x1,y1),N(x2,y2) ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 ? ? 1 ? 4 ?8 4km 2m 2 ? 8 ∴ x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2分

4分

5分

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 ?
∵ kOM kON 即

2m 2 ? 8 ?4km m 2 ? 8k 2 ? km ? ? m2 ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 y y 1 1 ? ? ,∴ 1 ? 2 ? ? 2 x1 x2 2

6分

m 2 ? 8k 2 1 2m 2 ? 8 ? ? ? ? m 2 ? 4k 2 ? 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 m 2 ? 9 m 2 ? 8k 2 4 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 2? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

7分 8分 9分 10 分

∴ ?2 ≤ OM ? ON ? 2 当直线 MN 的斜率不存在时,设 M(x1,y1),则 N(x1,-y1) y2 1 则 kOM kON ? ? 1 ? ? ? x12 ? 2 y12 2 x1 2 又

x12 y12 ? ? 1 ,∴ y12 ? 2 8 4

OM ? ON ? x12 ? y12 ? y12 ? 2
∴ OM ? ON 的最大值为 2 11 分

1 |m| 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 1? k2 1 当直线 MN 的斜率不存在时, S OMN ? | x1 || 2 y1 |? 2 2 2 S
OMN

?

∴△OMN 的面积为 2 2 .

13 分

1 , f ?(0) ? 1 x ?1 ∴f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为 y = x ?y ? x 由? 得: x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0 2 y ? x ? bx ? 1 ?
22.(1)解: f ?( x) ? ∵y = x 与函数 g (x)的图象相切,∴ ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 0 ,b =-1 或 b = 3 (2)解:当 b =-2 时, h( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 1

2分

4分

1 3 ? 2 x2 ? 2x ? 2 ? x ?1 x ?1 当 x∈[0,1]时, h ?( x) ? 0 ,∴h (x)在[0,1]上单调递增 h ?( x) ? h( x) max ? h(1) ? ln 2, h( x) min ? h(0) ? ?1
∴ [h( x1 ) ? h( x2 )]max ? h( x) max ? h( x) min ? 1 ? ln 2 ∵?x1、x2∈[0,1]使得 h (x1)-h (x2)≥M 成立 ∴M 的最大值是 1 + ln2 (3)证:因为 h (x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A (x1,0)、B(x2,0) ?ln( x1 ? 1) ? x12 ? bx1 ? 1 ? 0 所以方程 ln( x ? 1) ? x 2 ? bx ? 1 ? 0 的两个根为 x1、x2,故 ? 2 ?ln( x2 ? 1) ? x2 ? bx2 ? 1 ? 0 ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1) 两式相减得: b ? ? ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 1 h ?( x) ? ? 2x ? b x ?1 x ?x ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1) 2 2 h?( 1 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? b ? ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 x ?x ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1) 2 要证: h?( 1 2 ) ? 0 ,即 ? ?0 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 2( x2 ? x1 ) x ?1 也就是 ? ln 1 ?0 x1 ? x2 ? 2 x2 ? 1 x ?1 2 ? 2t 令t ? 1 (0 ? t ? 1) ,则 u (t ) ? ? ln t ? 0 在(0,1)上恒成立 x2 ? 1 1? t

5分 6分 7分 8分

10 分

12 分

?2(t ? 1) ? 2(1 ? t ) 1 (t ? 1) 2 ? ? (t ? 1) 2 t t (t ? 1) 2 又 0 < t < 1,∴ u ?(t ) ? 0
∵ u ?(t ) ? 因此 u (t)在(0,1)上是增函数,则 u (t) < u (1) = 0,即 故

2( x2 ? x1 ) x ?1 ? ln 1 ?0 x1 ? x2 ? 2 x2 ? 1
14 分

x ? x2 ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1) 2 ? ? 0 ,即 h ?( 1 ) ? 0 成立 x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 2


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