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高三一轮单元测试02:函数(带答案)


高三一轮单元测试 02:函数
(时间 120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设函数 y ? f ( x) 与函数 g ( x) 的图象关于 x ? 3 对称,则 g ( x) 的表达式为
3 A. g ( x) ? f ( ? x) 2

满分 150 分)

B. g ( x) ? f (3 ?

x) D. g ( x) ? f (6 ? x)

C. g ( x) ? f (?3 ? x)

2.设 a ? log0.3 4,b ? log4 3,c ? 0.3?2,则a、b、c的大小关系是 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<a<c

3.指数函数 y=f(x)的反函数的图象过点(2,-1),则此指数函数为 A. y ? ( ) x
1 2

B. y ? 2 x

C. y ? 3 x

D. y ? 10x

4 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?x ? x 3,x1、x2、x3 ? R,且x1 ? x2 ? 0,x2 ? x3 ? 0,x3 ? x1 >0 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 的值
A.一定大于零 B.一定小于零 C.等于零 D.正负都有可能

5.若函数 f ( x) ? loga x ? 1 在区间(-1,0)上有 f ( x) ? 0,则f ( x) 的递增区间是 A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)

6.已知 0 ? loga 2 ? logb 2,则a、b 的关系是 A.0<a<b<1 B.0<b<a<1
x

C.b>a>1

D.a>b>1

7.已知 0 ? a ? 1,则方程 a A.1 个

? log a x 的实根个数是

B.2 个

C.3 个

D.1 个或 2 个或 3 个

8.若 logx y ? ?2,则x ? y 的最小值为 3 3 2 A. 2 3 2 3 B. 3 3 3 C. 2 2 2 D. 3
-1

1 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=(3 )x,那么 f A.2 B.-2 C.3 D.-3

(-9)的值为

10.若方程 1 ? x 2 ? x ? m无实数解,则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,-1) B.[0,1) C.[ 2,+∞) D.(-∞,-1)∪( 2,+∞)

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. 函数f ( x) ? loga x满足f (9) ? 2,则f ?1 (? log9 2) 的值是__________________. 12. 使函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 具有反函数的一个条件是____________________________. (只填上 一个条件即可,不必考虑所有情形). 13.函数 y ? log1 ( x 2 ? 2x) 的单调递减区间是________________________.
2

14.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,并且 f ( x ? 2) ? ?
f (105.5) ? _________________.

1 ,当 2 ? x ? 3 时, f ( x) ? x ,则 f ( x)

15.关于函数 f ( x) ? lg

x2 ?1 ( x ? 0, x ? R) 有下列命题: | x|

①函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;②在区间 (??,0) 上,函数 y ? f ( x) 是减函数; ③函数 f ( x) 的最小值为 lg 2 ; ④在区间 (1, ? ) 上,函数 f ( x) 是增函数.

其中正确命题序号为_______________. 三、解答题 16.(12 分)已知函数 f(x)=ax+
x?2 (a>1) x ?1

⑴证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; ⑵用反证法证明 f(x)=0 没有负数根. 17.(12 分)已知 f(x)=2x-1 的反函数为 f
?1

(x),g(x)=log4(3x+1).

⑴若 f-1(x)≤g(x),求 x 的取值范围 D; 1 ⑵设函数 H(x)=g(x)-2 f
?1

(x),当 x∈D 时,求函数 H(x)的值域.

18.(14 分)函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0,且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. ⑴写出函数 y=g(x)的解析式. ⑵当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围. 19. (14 分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额, 拟在 2005 年度进行一系列促销活动, 经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销t万元之间满足 3-x 与t+1 成反比 例, 如果不搞促销活动, 化妆品的年销量只能是 1 万件, 已知 2005 年生产化妆品的设备折旧, 维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆

品的售价定为:其生产成本的 150%“与平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的化妆品 正好能销完. ⑴将 2005 年的利润 y(万元)表示为促销费t(万元)的函数; ⑵该企业 2005 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 20.(14 分)已知 f(x)在(-1,1)上有定义,f( f(
x? y ) 1 ? xy
1 )=-1,且满足 x,y∈(-1,1)有 f(x)+f(y)= 2

⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;

2 xn 1 ⑵对数列 x1= ,xn+1= ,求 f(xn); 2 2 1 ? xn
⑶求证
1 1 1 2n ? 5 ? ??? ?? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) n?2

21.(14 分)对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.如果函 数 f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点 x1,x2. ⑴若 x1<1<x2,且 f(x)的图象关于直线 x=m 对称,求证: ⑵若|x1|<2 且|x1-x2|=2,求 b 的取值范围.
1 <m<1; 2

函数参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题次 答案 1 D 2 A 3 A 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 A 10 D

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 2 11. 2 ; 12.x≥2; 13. (2,+∞) ; 14. 2.5 ; 15 (1) (3) (4)

三、解答题(共 80 分) 16.略 17. 解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? 2 x ? 1 ∴ f ?1 ( x) ? log2 ( x ? 1) (x>-1) 由f
?1

? x ? 1? 0 ( x) ≤g(x) ∴ ? 2 ?( x ? 1) ? 3 x ? 1

解得 0≤x≤1 ∴D=[0,1]
1 ?1 1 3x ? 1 1 2 f ( x) ? log 2 ? log 2 (3 ? ) 2 2 x ?1 2 x ?1 2 ∵0≤x≤1 ∴1≤3- ≤2 x ?1 1 1 ∴0≤H(x)≤ ∴H(x)的值域为[0, ] 2 2

(Ⅱ)H(x)=g(x)-

? x ? x0 ? 2a 18.解:(Ⅰ)设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上点,Q(x,y),则 ? , ? y ? ? y0 ? x0 ? x ? 2a ∴? ? y0 ? ? y

∴-y=loga(x+2a-3a),∴y=loga

1 (x>a) x?a

?x ? 3a ? 0 (Ⅱ) ? ?x ? a ? 0
∴x>3a ∵f(x)与 g(x)在[a+2,a+3]上有意义. ∴3a<a+2 ∴0<a<1 6 分 ∵|f(x)-g(x)|≤1 恒成立 ?|loga(x-3a)(x-a)|≤1 恒成立.

?? 1 ? loga [(x ? 2a) 2 ? a 2 ] ? 1 1 ?? ? a ? ( x ? 2a ) 2 ? a 2 ? a ?0 ? a ? 1

对 x∈[a+2,a+3]上恒成立,令 h(x)=(x-2a)2-a2 其对称轴 x=2a,2a<2,2<a+2 ∴当 x∈[a+2,a+3] hmin(x)=h(a+2),hmax=h(a+3)

?a ? hmin ( x) ? ∴原问题等价 ? 1 ? hmax ( x) ? ?a ?a ? 4 ? 4a 9 ? 57 ? ? ?1 ?0?a? 12 ? 9 ? 6a ? ?a
19.解:(Ⅰ)由题意: 3 ? x ?
k t ?1

将 t ? 0, x ? 1代入 k ? 2,? x ? 3 ?

2 t ?1 2 )+3, t ?1

当年生产 x(万件)时,年生产成本=年生产费用+固定费用=32x+3=32(3- 当销售 x(万件)时,年销售收入=150%[32(3- 由题意,生产 x 万件化妆品正好销完 ∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费 即y?
2 1 +3]+ t t ?1 2

? t 2 ? 98t ? 35 (t≥0) 2(t ? 1)

t ? 1 32 ? ) ≤50- 2 16 =42 万件 2 t ?1 t ? 1 32 ? 当且仅当 即 t=7 时,ymax=42 2 t ?1

(Ⅱ)∵ y ? 50 ? (

∴当促销费定在 7 万元时,利润增大. 20.(Ⅰ)证明:令 x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(x)为奇函数 ∴f(-x)=-f(x) 4分

2 xn x ? xn 1 (Ⅱ)解:f(x1)=f( )=-1,f(xn+1)=f( )=f( n )=f(xn)+f(xn)=2f(xn) 2 2 1 ? xn ? x n 1 ? xn

f ( xn?1 ) =2 即{f(xn)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列 f ( xn )

∴f(xn)=-2n-1

(Ⅲ)解:

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2

1 n 1 1 ? ? 2 ? ?(2 ? n?1 ) ? ?2 ? n?1 ? ?2 1 2 2 1? 2 2n ? 5 1 1 ? ?( 2 ? ) ? ?2 ? ? ?2 而? n?2 n?2 n?2 1?

1 1 1 2n ? 5 ? ??? ?? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) n?2

21.(Ⅰ)证明:g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1 ∴(x1-1)(x2-1)<0 即 x1x2<(x1+x2)-1

a>0

∵x1<1<x2<2

b 1 b ?1 1 1 1 ? (? ? ) ? ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 2a 2 a a 2 2 1 1 1 > ( x1 ? x 2 ) ? [(x1+x2)-1]= 2 2 2 1 1 1 1 1 又∵x1<1<x2<2 ∴x1x2>x1 于是有m= (x1+x2)- x1x2< (x1+x2)- x1= x2 2 2 2 2 2 1 <1 ∴ <m<1 2 1 (Ⅱ)解:由方程 g ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0, 可知 x1 x 2 ? >0,∴x1x2 同号 a

于是 x ? m ? ?

(ⅰ)若 0<x1<2 则 x2-x1=2 ∴x2=x1+2>2 即 4a+2b-1<0
2

∴g(2)<0 ①

(b ? 1) 2 4 ? ?4 又(x2-x1) = a a2

∴ 2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ,(∵a>0)代入①式得
2 (b ? 1) 2 ? 1 <3-2b,解之得:b<

1 4

(ⅱ)若-2<x1<0,则 x2=-2+x1<-2 ∴g(-2)<0,即 4a-2b+3<0 又 2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 代入②得 2 (b ? 1) 2 ? 1 <2b-1 解之得 b>
1 7? ? 综上可知 b 的取值范围为 ?b b? 或b? ? 4 4? ?
7 4




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