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江苏省宿迁市2015届高三上学期第一次摸底考试数学试题 Word版含答案

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宿迁市 2015 届高三年级摸底考试 数学试题 数
2014.11

学Ⅰ

总体印象: 本次考试是市 2015 届第一次市统测,也是摸底考试,试题充分体现了摸底 的特点,试卷立足基础,总体平稳,注意知识点的覆盖,注重重点知识测试,突 出基本方法,加强思维和计算能

力考查,难易适中,区分度、信度较高,题型略 有创新。符合江苏省近两年高考试题趋势,顺应潮流。 试题评析:
一、填空题: 第 1~5、9、11 题难度系数都在 0.8 以上,属简单题,第 6、7、8、10、12 题难度系数在 0.6~0.8 之间,属中档题,第 13、14 题难度系数在 0.4 以下,属难题. 1.已知集合 M ? ?0,1,3? , N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M 2.若复数

?

?

N=


▲ . .

1 ? ai 为纯虚数, i 是虚数单位,则实数 a 的值是 1? i

3. 若采用系统抽样方法从 420 人中抽取 21 人做问卷调查, 为此将他们随机编号为 1 , …, 2,

420 ,则抽取的 21 人中,编号在区间 ? 241,360? 内的人数是
4.在如图所示的算法中,输出的 i 的值是 ▲ .





S←2 i←1 5.已知 {an } 是等差数列,若 2a7 ? a5 ? 3 ? 0 ,则 a9 的值是 ▲ . While S≤200 6.若将甲、乙两个球随机放入编号为 1 , 2 , 3 的三个盒子中,每个盒子的放球数量不限, i←i+2 S←S×i 则在 1 , 2 号盒子中各有一个球的概率是 ▲ . End While 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线的渐近线方程是 y ? ?2 x , Print i (第 4 题图) 且经过点 ( 2, 2) ,则该双曲线的方程是 ▲ . C

M

1

? 1 ? 8.若 cos(? ? ) ? ,则 sin(2? ? ) 的值是 3 3 ?

▲ .

A1

B1

C

A

(第 10 题图)

B

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9.若 a 2 ? ab ? b 2 ? 1 , a , b 是实数,则 a ? b 的最大值是

▲ .

10.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若各条棱长均为 2,且 M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M ? AB1C 的体积是 ▲ .

11.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≤ 0 时, f ( x) ? x 2 ? x ,则关于 x 的不等式

f ( x) ? ?2 的解集是

▲ .

12.已知光线通过点 M ? ?3, 4 ? ,被直线 l : x ? y ? 3 ? 0 反射,反射光线通过点 N ? 2, 6 ? , 则反射光线所在直线的方程是 ▲ . C

13.如图,已知 ?ABC 中, AB ? AC ? 4 , ?BAC ? 90 , D 是 BC 的中点,若向量 AM ?

1 AB ? m ? AC ,且 AM 的终点 M 在 4
A

D

?ACD 的内部(不含边界) ,则 AM ? BM 的取值范围是 ▲ .
B
(第 13 题图)

14.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 ,若关于 x 的不等式 f ( f ( x)) ? 0 的解集
2 2

为空集,则实数 a 的取值范围是





二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明 、 证 明 过程或演算步骤 . ........... .......... . . . ....... 15.已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ?B ? (1)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 c 的值; (2)若 tan A ? 2 3 ,求 tan C 的值.

? . 3

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 PB ? PD . (1)求证: BD ? PC ; (2)若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l ,求证: BC // l .

P

A

D

B 17.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知 AB 为直径,且 C 为圆周上靠近 A 的一点,D 为圆周上靠近 B 的一点, 且 CD AB ? 2 km, O 为圆心, ∥ AB . 现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条观光路线, 其中 A 到 C 是圆弧 AC ,C 到 D 是线段 CD .设 ?AOC ? x rad ,观光路线总长为 y km . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域;
C
(第 16 题图)

C

D
O
(第 17 题图)

A

B

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(2)求观光路线总长的最大值.

18.已知函数 f ( x) ? e x (其中 e 是自然对数的底数) , g ( x) ? x 2 ? ax ? 1 , a ? R . (1)记函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 a ? 0 ,求 F ( x) 的单调增区间; (2)若对任意 x1 , x2 ? ? 0, 2? , x1 ? x2 ,均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实 数 a 的取值范围.

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,设 R( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上的 24 12

任一点,从原点 O 向圆 R : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,分别交椭圆于点 P , Q . (1)若直线 OP , OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP , OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0 ; (3)试问 OP ? OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明 理由.
2 2

y
Q

R P
O

x

(第 19 题图)

20.已知数列 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S 4 ? 10 , S13 ? 91 . (1)求 S n ; (2)若数列{Mn}满足条件: M 1 ? St1 ,当 n ≥ 2 时,M n ? Stn - Stn?1 ,其中数列 ?tn ? 单 调递增,且 t1 ? 1 , tn ? N? . ①试找出一组 t2 , t3 ,使得 M 2 2 ? M 1 ? M 3 ; 整数的平方.

②证明:对于数列 ?an ? ,一定存在数列 ?tn ? ,使得数列 ?M n ? 中的各数均为一个

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数学Ⅱ

附加题部分

?1? 21 B. 已知二阶矩阵 A 有特征值 ?1 ? 1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? 和特征值 ?2 ? 2 及对应 ?1? ?1 ? 的一个特征向量 e2 ? ? ? ,试求矩阵 A. ?0 ?

? x ? cos ? , 21C.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 是参数) ,若以 ? y ? 1 ? sin ? ,
O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲 线 C 的极坐标方程.

22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 ?BAC ? 90o , AB ? AC ? 1 , AA1 ? 3 ,点 E , 1 F 分别在棱 BB1 , CC1 上,且 C1 F ? C1C , BE ? ? BB1 , 0 ? ? ? 1 . 3 (1)当 ? ?

1 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; 3

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(2)当直线 AA1 与平面 AEF 所成角的正弦值为

2 29 时,求 ? 的值. 29

A1
A B1

C1
A F

A B

E C
(第 22 题图)

1 1 ? a a 1 1 23. 已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,对于任意 n∈N*, 都有 2 ? 成 ? n n ?1 ? 2 ? an ?1 1 ? 1 an n n ?1 立,且 a2 ? 4 . (1)求 a1 , a3 的值;
(2)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并给出证明.

数学参考答案与评分标准
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上 ) ........ 1. ?0,3?
2 9

2. 1 7. x ?
2

3. 6

4. 7
7 9

5. 3

6.

y2 ?1 4

8. ?

9. 2 14. ? ??, ?2?

10.

2 3 3

11. (2, ??)

12. 6 x ? y ? 6 ? 0

13. ? ?2, 6 ?

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明 、 证 明 过程或演算步骤 . ........... .......... . . . ....... 15. (1)由余弦定理得, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2c ? a cos B , 因为 ?B ? …………………………3 分

? , a ? 2,b ? 2 3 , 3

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所以 12 ? c 2 ? 4 ? 2c ,即 c 2 ? 2c ? 8 ? 0 解之得 c ? 4 , c ? ?2 (舍去) . 所以 c ? 4 .

…………………………5 分

……………………………7 分

(2)因为 A ? B ? C ? π , tan A ? 2 3 , tan B ? 3 所以 tan C ? ? tan( A ? B ) ……………………………9 分 ……………………………11 分

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B 2 3? 3 3 3 . ?? ? 5 1? 2 3 ? 3 ??
所以 tan C ?

3 3 . 5

……………………………………14 分 P

16. (1)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 PO. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BD ? AC ……2 分 又因为 PB ? PD ,O 为 BD 的中点, 所以 BD ? PO ……………………………………4 分 又因为 AC PO ? O

A O

D

C 所以 BD ? 平面APC , B (第 16 题图) 又因为 PC ? 平面APC 所以 BD ? PC ……………………………………7 分 (2)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BC // AD …………………………9 分 因为 AD ? 平面PAD,??BC ? 平面PAD . 所以 BC // 平面PAD ………………………………………11 分 又因为 BC ? 平面PBC ,平面 PBC 平面 PAD ? l . 所以 BC / /l . ………………………………………………14 分 17.(1)由题意知, AC ? x ? 1 ? x , …………………………………2 分 CD ? 2 cos x , …………………………………5 分 因为 C 为圆周上靠近 A 的一点, D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD // AB , 所以 0 ? x ?

? 2

? ?? ? …………………………………………7 分 ? 2? (2)记 f ? x ? ? x ? 2 cos x ,则 f ?( x) ? 1 ? 2sin x , ………………………………9 分
所以 y ? x ? 2 cos x , x ? ? 0, 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 列表 x (0, + 递增

? , 6

………………………………………………11 分

f ?( x)
f (x) 所以函数 f ? x ? 在 x ?

? ) 6

? 6
0 极大值

(

? ? , ) 6 2

- 递减

π 处取得极大值,这个极大值就是最大值,…………13 分 6

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即 f( )?

? 6

? ? 3, 6

答:观光路线总长的最大值为

? ? 3 千米. 6

……………………………14 分

18. (1)因为 F ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? e x x 2 ? ax ? 1 , 所以 F ? ? x ? ? e x ? ? x ? ? a ? 1? ? ? ? x ? 1? , 令 F ? ? x ? ? 0 ,因为 a ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ? a ? 1? , 所以 F ? x ? 的单调增区间为 ? ??, ? a ? 1? 和 ? ?1, ?? ? ; ……………………2 分 ……………………5 分 ……………………6 分

?

?

(2)因为对任意 x1 , x2 ? ? 0,2? 且 x1 ? x2 ,均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 不妨设 x1 ? x2 ,根据 f ( x) ? e x 在 ? 0, 2? 上单调递增, 所以有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 对 x1 ? x2 恒成立,……………………8 分 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 对 x1 , x2 ? ? 0, 2? , x1 ? x2 恒成立, 即?

? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) 对 x1 , x2 ? ? 0, 2? , x1 ? x2 恒成立, ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 )

所以 f ( x) ? g ( x) 和 f ( x) ? g ( x) 在 ? 0, 2? 都是单调递增函数,………………11 分 当 f ?( x) ? g ?( x) ≥ 0 在 ? 0, 2? 上恒成立, 得 e x ? ? 2 x ? a ? ≥ 0 在 ? 0, 2? 恒成立,得 a ≥ ? e x ? 2 x 在 ? 0, 2? 恒成立, 因为 ? e x ? 2 x 在 ? 0, 2? 上单调减函数,所以 ? e x ? 2 x 在 ? 0, 2? 上取得最大值 ?1 , 解得 a ≥ ?1 . 当 f ?( x) ? g ?( x) ≥ 0 在 ? 0, 2? 上恒成立, 得 e x ? ? 2 x ? a ? ≥ 0 在 ? 0, 2? 上恒成立,即 a ≤ e x ? 2 x 在 ? 0, 2? 上恒成立, 因为 e x ? 2 x 在 ? 0,ln 2? 上递减,在 ? ln 2, 2? 上单调递增, 所以 e x ? 2 x 在 ? 0, 2? 上取得最小值 2 ? 2ln 2 , 所以 a ≤ 2 ? 2ln 2 , 所以实数 a 的取值范围为 ? ?1, 2 ? 2ln 2? . ……………………………15 分 ………………………16 分 ………………………………13 分

?

?

?

?

?

?

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19. (1)由圆 R 的方程知,圆 R 的半径的半径 r ? 2 2 , 因为直线 OP , OQ 互相垂直,且和圆 R 相切, 所以 OR ?

2r ? 4 ,即 x0 2 ? y0 2 ? 16 ,①………………………………………1 分
x0 2 y0 2 ? ? 1 ,②……………………………………2 分 24 12
……………………………………………………3 分

又点 R 在椭圆 C 上,所以

联立①②,解得 ?

? ? x0 ? ?2 2, ? ? y0 ? ?2 2.

所以所求圆 R 的方程为 x ? 2 2

?

? ?? y ? 2 2?
2

2

? 8 . ………………………4 分

(2)因为直线 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x ,与圆 R 相切, 所以

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2 x0 y0 k1 ? y0 ? 8 ? 0 ………………6 分 ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理 ( x0 ? 8)k2 ? 2 x0 y0 k2 ? y0 ? 8 ? 0 ,……………………………………………7 分 2 2 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,

k1 ? k2 ?

2 ?8 ?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac c y0 ? ? ? 2 …………………………8 分 2a 2a a x0 ? 8
2 x0 y2 1 2 2 , ? 0 ? 1 ,即 y0 ? 12 ? x0 24 12 2

因为点 R ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

1 2 4 ? x0 1 所以 k1k2 ? 2 2 ? ? ,即 2k1k2 ? 1 ? 0 . x0 ? 8 2
2 2

………………………………10 分

(3) OP ? OQ 是定值,定值为 36,……………………………………………11 分 理由如下: 法一:(i)当直线 OP, OQ 不落在坐标轴上时,设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,

24 ? 2 x ? , 1 ? y ? k1 x, ? 1 ? 2k12 ? ? 2 联立 ? x 解得 ? ………………………………………12 分 y2 2 24 k ? ? 1, 2 1 ?y ? ? . ? 24 12 1 ? 1 ? 2k12 ? 24(1 ? k12 ) 24(1 ? k2 2 ) 2 2 2 2 所以 x1 ? y1 ? ,同理,得 x2 ? y2 ? ,…………13 分 1 ? 2k12 1 ? 2k 2 2

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1 , 2 所以 OP 2 ? OQ 2 ? x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2
由 k1k2 ? ?

24(1 ? k12 ) 24(1 ? k2 2 ) ? 1 ? 2k12 1 ? 2k 2 2 1 2 24(1 ? (? ) ) 2 24(1 ? k1 ) 2k1 ? ? 1 2 1 ? 2k12 1 ? 2(? ) 2k1 ? 36 ? 72k12 1 ? 2k12 ? 36 ………………………………………………………15 分 ?
(ii)当直线 OP, OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP ? OQ ? 36 ,
2 2

综上: OP ? OQ ? 36 . ……………………………………………………16 分
2 2

法二:(i)当直线 OP, OQ 不落在坐标轴上时,设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) , 因为 2k1k2 ? 1 ? 0 ,所以

2 y1 y2 1 2 2 , ……………12 分 ? x12 x2 ? 1 ? 0 ,即 y12 y2 4 x1 x2

? x12 y12 ? ?1 ? ? 24 12 因为 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,所以 ? 2 , 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 24 12
1 ? 2 y1 ? 12 ? x12 ? ? 2 , 即? ? y 2 ? 12 ? 1 x 2 2 2 ? ? 2
所以 (12 ?

……………………………………………13 分

1 2 1 2 1 2 2 ,整理得 x12 ? x2 ? 24 , x1 )(12 ? x2 ) ? x12 x2 2 2 4

2 所以 y12 ? y2 ? ?12 ?

? ?

1 2? ? 1 2? x1 ? ? ?12 ? x2 ? ? 12 , 2 ? ? 2 ?
……………………………………………………15 分
2 2

所以 OP ? OQ ? 36 .
2 2

(ii)当直线 OP, OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP ? OQ ? 36 , 综上: OP ? OQ ? 36 .
2 2

………………………………………………16 分

20. (1)设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

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4?3 ? 4a1 ? d ? 10 ? ? 2 由 S 4 ? 10 , S13 ? 91 ,得 ? , ……………………2 分 ?13a ? 13 ?12 d ? 91 1 ? ? 2 ?a1 ? 1 解得 ? , ?d ? 1 n(n ? 1) n2 ? n 所以 S n ? na1 ? ……………………………………………4 分 d? 2 2 (2)① 因为 M 1 ? S1 ? 1 ,
若 t2 ? 2, M 2 ? S 2 ? S1 ? 3 ? 1 ? 2 , M 3 ? St3 ? S 2 ? 因为 M 2 2 ? M 1 ? M 3 , 所以

t3 ? t3 ? 1? ?3, 2

t3 ? t3 ? 1? ? 3 ? 4 , t3 ? t3 ? 1? ? 14 ,此方程无整数解; ………………6 分 2 t3 ? t3 ? 1? 若 t2 ? 3, M 2 ? S3 ? S1 ? 6 ? 1 ? 5 , M 3 ? St3 ? S3 ? ?6, 2 因为 M 2 2 ? M 1 ? M 3 ,
所以

t3 ? t3 ? 1? ? 6 ? 25 , t3 ? t3 ? 1? ? 62 ,此方程无整数解;………………8 分 2 t3 ? t3 ? 1? 若 t2 ? 4, M 2 ? S 4 ? S1 ? 10 ? 1 ? 9 , M 3 ? St3 ? S 4 ? ? 10 , 2 因为 M 2 2 ? M 1 ? M 3 , t3 ? t3 ? 1? ? 10 ? 81 , t3 ? t3 ? 1? ? 182 ,解得 t3 ? 13 , 2 所以 t2 ? 4 , t3 ? 13 满足题意…………………………………………………10 分
所以 ② 由① 知 t1 ? 1 , t2 ? 1 ? 3 , t3 ? 1 ? 3 ? 32 ,则 M 1 ? 1 , M 2 ? 32 , M 3 ? 92 ,

3n ? 1 一般的取 tn ? 1 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? , ………………………13 分 2 3n ? 1 ? 3n ? 1 ? 3n ?1 ? 1 ? 3n ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 此时 Stn ? , Stn?1 ? , 2 2 3n ? 1 ? 3n ? 1 ? 3n ?1 ? 1 ? 3n ?1 ? 1 ? ?1 ? ? ?1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 则 M n = Stn - Stn?1 = ? ? ? 3n ?1 ? , 2 2 所以 M n 为一整数平方.
2 n ?1

因此存在数列 ?tn ? ,使得数列 ?M n ? 中的各数均为一个整数的平方.……16 分

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数学Ⅱ部分
21. 【选做题】 A.(选修 4—1:几何证明选讲) 因为 BE 切⊙ O 于点 B,所以 ?CBE ? ?BAC ? 60 , 因为 BE ? 2 , BC ? 4 ,由余弦定理得 EC ? 2 3 .………4 分 又因为 BE 2 ? EC ? ED ,所以 ED ?
2 3 ,…………………8 分 3
A

O

C

2 3 4 3 所以 CD ? EC ? ED ? 2 3 ? . ? 3 3 B. (选修 4—2:矩阵与变换)

………………10 分 B
D E
(第 21—A 题图)

?a b ? 设矩阵 A ? ? ? ,这里 a , b , c , d ? R , ?c d ? ?1? ?a 因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?1 ? 1 的特征向量,则有 ? ?1? ?c

b ? ?1? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? d ? ?1? ?1?

①, ……4 分

?1 ? ? a b ? ?1 ? ?1 ? 又因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?2 ? 2 的特征向量,则有 ? ? 2? ? ? ② ? ? ? ?0 ? ?c d ? ?0? ?0?

…6 分

?a ? b ? 1, ?c ? d ? 1, ? 根据①②,则有 ? ?a ? 2 , ? ?c ? 0 ,

…………………………………………………8 分

? 2 ? 1? 从而 a ? 2 , b ? ?1, c ? 0 , d ? 1, 所以 A ? ? ? . ?0 1?
C. (选修 4-4:坐标系与参数方程)

……………………………10 分

? x ? cos ? , ? x ? cos ? , 由? 得? 两式平方后相加得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , …………4 分 y ? 1 ? sin ? , y ? 1 ? sin ? , ? ?
因为曲线 C 是以 (0,1) 为圆心,半径等于 1 的圆.得 ? ? 2sin ? . 即曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . …………………………10 分 D. (选修 4-5:不等式选讲) 因为 ax ? 1 ? ax ? a ≥ a ? 1 , ……………………………5 分

所以原不等式解集为 R 等价于 a ? 1 ≥1. 所以 a ≥ 2或a ≤ 0. 所以实数 a 的取值范围为 ? ??,0?

? 2, ?? ? .

………………………10 分

22.建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .

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(1)因为 AB=AC=1, AA1 ? 3, ? ?
AE ? (1,0,1) , A1 F ? (0,1, ?1) .

1 , 3
…………2 分

所以各点的坐标为 A(0, 0, 0) , E (1, 0,1) , A1 (0, 0,3) , F (0,1, 2) . 因为 AE ? A1 F ? 2 , AE ? A1 F ? ?1 , 所以 cos
AE , A1 F

?

AE ? A1 F AE A1 F

?

1 ? ? .所以向量 AE 和 A1 F 所成的角为 120o , 2 2? 2

?1

所以异面直线 AE 与 A1 F 所成角为 60 .

……………4 分

(2)因为 E (1, 0,3? ) , F (0,1, 2) ,所以 AE ? (1, 0,3? ), AF ? (0,1, 2) . z 设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

A1 则 n ? AE ? 0 ,且 n ? AF ? 0 . 即 x ? 3? z ? 0 ,且 y ? 2 z ? 0 .令 z ? 1 ,则 x ? ?3? , y ? ?2 . 所以 n ? (?3? , ?2,1) 是平面 AEF 的一个法向量. ………6 分 A
又 AA1 ? (0, 0,3) ,则 cos
n, AA1

C1
B1 , E C B x ……………… 10 分 y A F

?

n AA1 n AA1

?

3 3 9? 2 ? 5

?

1 9? 2 ? 5

又因为直线 AA1 与平面 AEF 所成角的正弦值为 所以
1 9? 2 ? 5 ? 2 29 1 ,解得, ? ? . 29 2

2 29 , 29

A

1 1 ? a an ?1 1 1 23. (1)因为 2 ? , a2 ? 4 ? n ? 2? 1 1 an ?1 a n ? n n ?1 ?1 1? 1 1 1 2 2 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ,即有 2 ? ? ? ? 2 ? , 当 n ? 1 时,由 2 ? a2 a1 4 a1 4 a1 ? a1 a2 ? 2 8 解得 ? a1 ? .因为 a1 为正整数,故 a1 ? 1 . ………………………………2 分 3 7 ?1 1 ? 1 1 ? 6? ? ? ? 2 ? , 当 n ? 2 时,由 2 ? a3 4 ? 4 a3 ?
解得 8 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? 9 . …………………………………………………4 分 (2)由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n 2 ………………………………5 分 下面用数学归纳法证明. 1? 当 n ? 1 , 2 , 3 时,由(1)知 an ? n 2 均成立.……………………………6 分 2? 假设 n ? k ? k ≥ 3? 成立,则 ak ? k 2 , 由条件得 2 ?

k ? k 2 ? k ? 1? k 3 ? k ? 1? ? ak ?1 ? 所以 2 , ………………………………………8 分 k ? k ?1 k ?1 k ?1 1 2 2 所以 ? k ? 1? ? 2 …………………………9 分 ? ak ?1 ? ? k ? 1? ? k ? k ?1 k ?1

? 1 1 1 ? 1 ? k ? k ? 1? ? 2 ? ? ? 2? 2 , ak ?1 ak ?1 ? k ?k

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k ?1 1 ?1,0 ? ? 1, k ? k ?1 k ?1 2 又 ak ?1 ? N? ,所以 ak ?1 ? ? k ? 1? .
因为 k ≥ 3 , 0 ?
2

即 n ? k ? 1 时, an ? n 2 也成立. 由 1?,2? 知,对任意 n ? N? , an ? n 2 . ……………………………………10 分


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