nbhkdz.com冰点文库

11-12学年高中数学 1.1.3 导数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2


选修 2-2
一、选择题

1.1

第 3 课时 导数的几何意义

1.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 [答案] B 1 1 [解析] 切线 x+2y-3=0 的斜率 k=- ,即 f′(x0)=- <0.故应

选 B. 2 2 3? 1 2 ? 2.曲线 y= x -2 在点?1,- ?处切线的倾斜角为( 2? 2 ? A.1 5 C. π 4 [答案] B 1 1 2 2 [ (x+Δ x) -2]-( x -2) 2 2 Δx B. π 4 ) B.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在

)

π D.- 4

[解析] ∵y′=liΔ m x→0 1 =liΔ x m (x+ Δ x)=x →0 2

∴切线的斜率 k=y′|x=1=1. π ∴切线的倾斜角为 ,故应选 B. 4 π 2 3.在曲线 y=x 上切线的倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0) B.(2,4) )

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?
[答案] D [解析]

?1 1? D.? , ? ?2 4?
π 1 ,则 2x0=1,∴x0= , 4 2

易求 y′=2x,设在点 P(x0,x0)处切线的倾斜角为

2

?1 1? ∴P? , ?. ?2 4?
4.曲线 y=x -3x +1 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=3x-4 C.y=-4x+3 B.y=-3x+2 D.y=4x-5
3 2

)

-1-

[答案] B [解析] y′=3x -6x,∴y′|x=1=-3. 由点斜式有 y+1=-3(x-1).即 y=-3x+2. 5.设 f(x)为可导函数,且满足lim x→0
2

f(1)-f(1-2x) =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1, 2x

f(1))处的切线斜率为(
A.2 C.1 [答案] B [解析] lim x→0

) B.-1 D.-2

f(1)-f(1-2x) f(1-2x)-f(1) =lim x→0 2x -2x

=-1,即 y′|x=1=-1, 则 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1,故选 B. 6.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( A.不存在 C.与 x 轴垂直 [答案] B [解析] 由导数的几何意义知 B 正确,故应选 B. 7. 已知曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线方程是 y=-x+8, 则 f(5)及 f′(5)分别为( A.3,3 C.-1,3 [答案] B [解析] 由题意易得:f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,故应选 B. 8.曲线 f(x)=x +x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P 点的坐标为( A.(1,0)或(-1,-4) C.(-1,0) [答案] A [解析] ∵f(x)=x +x-2,设 xP=x0, ∴Δ y=3x0·Δ x+3x0·(Δ x) +(Δ x) +Δ x, ∴ Δy 2 2 =3x0+1+3x0(Δ x)+(Δ x) , Δx
2 2 2 3 3 3

)

B.与 x 轴平行或重合 D.与 x 轴斜交

)

B.3,-1 D.-1,-1

)

B.(0,1) D.(1,4)

∴f′(x0)=3x0+1,又 k=4, ∴3x0+1=4,x0=1.∴x0=±1, 故 P(1,0)或(-1,-4),故应选 A.
2 2

-2-

2 3 9.设点 P 是曲线 y=x - 3x+ 上的任意一点,P 点处的切线倾斜角为 α ,则 α 的取值 3 范围为( )

? π ? ?2 ? A.?0, ?∪? π ,π ? 2 ? ?3 ? ? ?2 ? C.? π ,π ? ?3 ?
[答案] A [解析] 设 P(x0,y0),

? π ? ?5 ? B.?0, ?∪? π ,π ? 2 ? ?6 ? ?
D.?

?π ,5π ? ? ?2 6 ?

∵f′(x)=liΔ x m →0
2

2 2 3 3 (x+Δ x) - 3(x+Δ x)+ -x + 3x- 3 3 Δx
2

=3x - 3,∴切线的斜率 k=3x0- 3, ∴tanα =3x0- 3≥- 3.
2

? π ? ?2 ? ∴α ∈?0, ?∪? π ,π ?.故应选 A. 2 ? ?3 ? ?
10.(2010·福州高二期末)设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线 π 倾斜角的取值范围为[0, ],则点 P 横坐标的取值范围为( 4 1 A.[-1,- ] 2 C.[0,1] [答案] A [解析] 考查导数的几何意义. π ∵y′=2x+2,且切线倾斜角 θ ∈[0, ], 4 ∴切线的斜率 k 满足 0≤k≤1,即 0≤2x+2≤1, 1 ∴-1≤x≤- . 2 二、填空题 11.已知函数 f(x)=x +3,则 f(x)在(2,f(2))处的切线方程为________. [答案] 4x-y-1=0 [解析] ∵f(x)=x +3,x0=2 ∴f(2)=7,Δ y=f(2+Δ x)-f(2)=4·Δ x+(Δ x) ∴ Δy Δy =4+Δ x.∴liΔ m =4.即 f′(2)=4. x→0 Δ x Δx
2 2 2 2

)

B.[-1,0] 1 D.[ ,1] 2

-3-

又切线过(2,7)点,所以 f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 y-7=4(x-2) 即 4x-y-1=0. 1 12.若函数 f(x)=x- ,则它与 x 轴交点处的切线的方程为________.

x

[答案] y=2(x-1)或 y=2(x+1) 1 [解析] 由 f(x)=x- =0 得 x=±1,即与 x 轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).

x

(x+Δ x)- ∵f′(x)=liΔ x m →0

1

x+Δ x Δx

1 -x+

x

?1+ =liΔ x m ? →0 ?

1 ?=1+ 1 . x(x+Δ x)? x2 ?

1 ∴切线的斜率 k=1+ =2. 1 ∴切线的方程为 y=2(x-1)或 y=2(x+1). 13.曲线 C 在点 P(x0,y0)处有切线 l,则直线 l 与曲线 C 的公共点有________个. [答案] 至少一 [解析] 由切线的定义,直线 l 与曲线在 P(x0,y0)处相切,但也可能与曲线其他部分有 公共点,故虽然相切,但直线与曲线公共点至少一个. 14.曲线 y=x +3x +6x-10 的切线中,斜率最小的切线方程为________. [答案] 3x-y-11=0 [解析] 设切点 P(x0,y0),则过 P(x0,y0)的切线斜率为 其最小值. 设切点为 P(x0,y0),过点 P 的切线斜率 k= =3x0+6x0+6=3(x0+1) +3.当 x0
2 2 3 2

,它是 x0 的函数,求出

=-1 时 k 有最小值 3,此时 P 的坐标为(-1,-14),其切线方程为 3x-y-11=0. 三、解答题 7? 1 ? 15.求曲线 y= - x上一点 P?4,- ?处的切线方程. 4? x ?

[解析] ∴y′=Δ lim x→0

? 1 -1?-( x+Δ x- x) ?x+Δ x x? ? ?
Δx

-Δ x Δx - x(x+Δ x) x+Δ x+ x =Δ lim x→0 Δx 1 1 1 ? -1 - ? =Δ lim . ?x(x+Δ x) ?=-x2- x→0 x+Δ x+ x? ? 2 x

-4-

1 1 5 ∴y′|x=4=- - =- , 16 4 16 7? ? ∴曲线在点 P?4,- ?处的切线方程为: 4 ? ?

y+ =- (x-4).
即 5x+16y+8=0. 16.已知函数 f(x)=x -3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于点 P 的直线方程 y=g(x). [解析] (1)y′=liΔ m x→0 (x+Δ x) -3(x+Δ x)-3x +3x 2 =3x -3. Δx
3 3 3

7 4

5 16

则过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率

k1=f′(1)=0,
∴所求直线方程为 y=-2. (2)设切点坐标为(x0,x0-3x0), 则直线 l 的斜率 k2=f′(x0)=3x0-3, ∴直线 l 的方程为 y-(x0-3x0)=(3x0-3)(x-x0) 又直线 l 过点 P(1,-2), ∴-2-(x0-3x0)=(3x0-3)(1-x0), ∴x0-3x0+2=(3x0-3)(x0-1), 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- . 2 9 2 故所求直线斜率 k=3x0-3=- , 4 9 9 1 于是:y-(-2)=- (x-1),即 y=- x+ . 4 4 4 1 17.求证:函数 y=x+ 图象上的各点处的切线斜率小于 1.
3 2 3 2 3 2 2 3

x

[解析] y′=liΔ x m →0

f(x+Δ x)-f(x) Δx

=liΔ x m →0 =liΔ x m →0 =liΔ x m →0

?x+Δ x+ 1 ?-?x+1? ? ? ? x+Δ x? ? ? ? x?
Δx

x·Δ x(x+Δ x)-Δ x (x+Δ x)·x·Δ x
(x+Δ x)x-1 (x+Δ x)x
-5-



x2-1 1 2 =1- 2<1, x x x

1 ∴y=x+ 图象上的各点处的切线斜率小于 1. 18.已知直线 l1 为曲线 y=x +x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且
2

l1⊥l2.
(1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. [解析] (1)y′|x=1 =liΔ x m →0 (1+Δ x) +(1+Δ x)-2-(1 +1-2) =3, Δx
2 2

所以 l1 的方程为:y=3(x-1),即 y=3x-3. 设 l2 过曲线 y=x +x-2 上的点 B(b,b +b-2),
2 2

y′|x=b=liΔ m x→0

(b+Δ x) +(b+Δ x)-2-(b +b-2) Δx
2 2

2

2

=2b+1,所以 l2 的方程为:y-(b +b-2)=(2b+1)·(x-b),即 y=(2b+1)x-b -2. 2 1 22 因为 l1⊥l2,所以 3×(2b+1)=-1,所以 b=- ,所以 l2 的方程为:y=- x- . 3 3 9

y=3x-3, ? ? (2)由? 1 22 y=- x- , ? 3 9 ?

1 ? ?x=6, 得? 5 ?y=-2, ?

5? ?1 即 l1 与 l2 的交点坐标为? ,- ?. 6 2? ?

? 22 ? 又 l1,l2 与 x 轴交点坐标分别为(1,0),?- ,0?. ? 3 ?
1 ? 5? ? 22? 125 所以所求三角形面积 S= ×?- ?×?1+ ?= . 3 ? 12 2 ? 2? ?

-6-


11-12学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修2-2

11-12学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修2-2_...(1,2) [答案] B [解析] 令 k≤0 得 x0≤2,由导数的几何意义可知,...

11-12学年高中数学 1.1.3 导数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2

11-12学年高中数学 1.1.3 导数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2 隐藏>> 学大教育科技(北京)有限公司 XueDa Education Technology(Beijing)Ltd. 选修 2-...

2015-2016学年高中数学 1.1.3导数的几何意义练习 新人教A版选修2-2

2015-2016学年高中数学 1.1.3导数的几何意义练习 新人教A版选修2-2_数学_...一、选择题 11.曲线 y=x +x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则...

高中数学新人教A版选修2-2同步练习:1.1.3 导数的几何意义

高中数学新人教A版选修2-2同步练习:1.1.3 导数的几何意义_数学_高中教育_...2 二、填空题 11.已知函数 f(x)=x +3,则 f(x)在(2,f(2))处的切线...

11-12学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2

11-12学年高中数学章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2_数学_...[解析] 由导数的几何意义知,曲线 y=x +3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率...

11-12学年高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习 新人教A版选修2-2 - 副本

6页 1财富值 11-12学年高中数学 1.3.3 ... ...及导数运算法则1同步练习 新人教A版选修2-2 - ...[解析] 本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法...

2015-2016学年高中数学 1.1.3导数的几何意义课后习题 新人教A版选修2-2

2015-2016学年高中数学 1.1.3导数的几何意义课后习题 新人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。1.1.3 课时演练·促提升 导数的几何意义 A组 1. 已知...

11-12学年高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同

11-12学年高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同_数学_高中教育_教育专区。学而思网校 www.xueersi.com 选修 2-2 1.2.2 第 1 课时 基...

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.1.3 导数的几何意义 课时作业

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.1.3 导数的几何意义 课时作业_高中教育_教育专区。【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教...

更多相关标签