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2015一轮复习数学第十章第六节课后限时自测


课后限时自测

A组

基础训练

一、选择题 1.(2013·衡阳模拟)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴 影部分,则可中奖,小明要想有最大中奖机会,应选择的游戏盘是( )

【解析】

3 1 1 1 3 1 1 由几何概型知 A,B,C,D 四

个游戏盘分别中奖的概率依次为 , , , .又 > > , 8 4 3 3 8 3 4

故应选择 A 游戏盘. 【答案】 A 2.(2013·淄博模拟)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个 正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( )

A.

1 4

B.

1 3

C.

4 27

D.

4 15

【解析】 ∴P=

面积为 36 cm2 时,边长 AM=6.面积为 81 cm2 时,边长 AM=9,

9-6 3 1 = = . 12 12 4 A

【答案】

图 10-6-3 3.(2013·三明模拟)如图 10-6-3 所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白 a 部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中 2 木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是( )

【解析】 【答案】

π? ? 1- ?a2 ? ?a?2 ? π? 4? π ? ? ? 2 阴影部分面积为 a -π·? ? =?1- 4 ?a2,故概率为 = 1 - . a2 4 ? ? ?2? B

图 10-6-4 4.如图 10-6-4 所示,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的 黄豆数为 96 颗,以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( ) A.7.68 B.16.32 C.17.32 D.8.68 【解析】 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率 P= S椭圆 S矩形 ,

而 P=

300-96 =0.68,S 矩形=24, 300

故 S 椭圆=P·S 矩形=0.68×24=16.32. 【答案】 B 5.

图 10-6-5 (2012·湖北高考)如图 10-6-5 在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半 圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

【解】

1 试验包含的基本事件形成的区域为扇形,其面积为 πR2(R 为扇形半径). 4 1
2

?R? 2 ? ? 事件包含的基本事件形成的区域为图中阴影部分,其面积为 πR -π·? ? + 4 ?2? ?1 ?R?2 1 ? ? ? ? ? 4? ·π·? ? - R2? 8 ? ?2? ?4

1 1 = πR2- R2, 4 2 1 1 πR2- R2 4 2 故概率为 1 πR2 4

2 =1-π.

【答案】 A 二、填空题 6.某人早晨醒来发现表停了,他打开收音机,则他等待时间不超过 10 分钟就听到整点报时的概 率为________. 【解析】 在一个小时内醒来时间是随机的, 在 50 分到 60 分之间醒来才能在 10 分钟内听到整点 报时,则所求概率 P= 1 6 60-50 1 = . 60 6

【答案】

7.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离 1 1 大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不 2 4 在家看书的概率为________.

? π×12-π× 【解析】 ∵去看电影的概率 P1= ?1?2 ? ? π×? ? ?4? π×12

?1?2 ? ?2? 3 ? ? = , π×12 4

去打篮球的概率 P2=



, 16

1

3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P= + = . 4 16 16 【答案】 13 16

8.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 1 的概率为________.

的长度小于

【解析】 如图所示,设 A、M、N 为圆周的三等分点,当 B 点取在优弧 来说,其长度小于 1. 2 故其概率为 . 3 【答案】 2 3

上时,对劣弧

三、解答题 9.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概 率. 【解】 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:

(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3, 1),(3,2). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生 的概率为 P(A)= 3 = . 12 4 9

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 1 3×2- ×22 2 所以所求的概率为 P(A)= 3×2

2 = . 3

10.在可行域内任取一点,规则如流程图 10-6-6 所示,求能输出数对(x,y)的概率.

图 10-6-6

【解】

1 由题意,求输出的数对(x,y)的概率,即求 x2+y2≤ 所表示的平面区域与不等式组 2

? ?-1≤x+y≤1 ? 所表示的平面区域面积的比. ? ?-1≤x-y≤1

π× 如图所示,所求概率 P(A)= 2×

1 2 2 = π 4 .

B组

能力提升 1 1.在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 的概率为( 2 A. 1 4 3 4 B. 1 2 7 8

)

C.

D.

【解析】

设任取两点所表示的数分别为 x,y,则 0≤x≤1 且 0≤y≤1.

1 1 1 1-2× × × 2 2 2 3 1 由题意知|x-y|< ,所以所求概率为 P= = . 2 1 4 【答案】 C 2.(2013·鄂西北九校联考)已知Ω ={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0, x-2y≥0},若向区域Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为________. 【解析】 作出集合Ω、A 对应的平面区域如图所示.

区域Ω的面积为 18,区域 A(阴影部分)面积为 4,故点 P 落入区域 A 的概率为 2 9

2 = . 18 9

4

【答案】

3.将长为 3 m 的木棍随机截成 3 段,求这三段能构成三角形的概率. 【解】 设随机截得的三段木棍长分别为 x m,y m,(3-x-y)m,则 x,y 应满足:

0<x<3, 0<x<3, ? ? ? ? 即?0<y<3, ?0<y<3, ? ?0<3-x-y<3, ? ?0<x+y<3, 9 满足条件的 x,y 形成的区域如图中△OAB 所示,其面积 S= . 2 三段木棍能构成三角形,x,y 还应满足: x+y>3-x-y, x+y>1.5, ? ? ? ? ?x+(3-x-y)>y,即?y<1.5, 它构成的区域如图中阴影部分所示,其面积 S ? ?y+(3-x-y)>x, ? ?x<1.5, 故能构成三角形的概率 P= S阴 1 = . S 4 9 = . 阴 8


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