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【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学理试题

时间:2015-01-13


2014 学年杭州二中高三年级第二次月考 数学试卷(理科) 命题:胡克元 审核:黄宗巧 校对:李 鸽 【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学 科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常 规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规

划、 直线与圆、数列、充要条件等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 第 I 卷(共 50 分) 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 21cnjy.com
- x 【题文】1、若集合 M = { y | y = 2 } , P = { y | y =

x - 1} ,则 M

P=

A. { y | y ? 1}

B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0}

D. { y | y ? 0}

【知识点】集合的运算 A1 【答案】【解析】C 解析:因为集合

M ? ? y y ? 0? , P ? ? y y ? 0?

,所以

M ? P ? ? y y ? 0?

,故选择 C.

【思路点拨】先求得集合 M,P,然后利用交集的定义可求得 M ? P 的值. 【题文】2、实数等比数列

?a n ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a4 ”是“ a3 ? a5 ”



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 【知识点】等比数列性质 充分必要条件 A2 D3 【答案】 【解析】 A 解析: 设等比数列的公比为 , 由 由

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3 a1 ? a4 得 a1 ? a1q3 , a ?0, 因为 1 所以 q ? 1 , 即 q ? 1,

q

a 3 ? a5



a1q 2 ? a1q 4 ,因为 a1 ? 0 ,所以 q2 ? 1 即 q ? ?1或q ? 1 ,所以“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的充分

而不必要条件,故选择 A.21 教育网 【思路点拨】结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题文】3、已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是
2 2

A.一定相离 B..一定相切 C.相交且一定不过圆心 【知识点】直线与与圆的位置关系 H4 【答案】【解析】C 解析:因为直线恒过点 心坐标为

D.相交且可能过圆心[

?1,1? ,且该点在圆的内部,所以直线与圆相交,又因为圆的圆
21· cn· jy· com

?1,0? ,直线的斜率存在所以直线不能过圆心,故选择 C.

【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部,可得直线与圆相交,又因为直线恒过的点与圆心在一条斜率不 存在的直线上,而直线斜率存在,所以不过圆心.www.21-cn-jy.com 【题文】4、已知实数等比数列 成等差数列,则 q 等于 A .错误!未找到引用源。 B.1 D.错误!未找到引用源。 【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3 C .错误!未找到引用源。或 1
3

?a n ?公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 错误!未找到引用源。

【答案】【解析】A 解析:因为

S3 、 S9 、 S6 错误!未找到引用源。成等差数列,所以 2S9 ? S3 ? S6 ,若

2S ? S3 ? S6 ,所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得 公比 q ? 1 , 9
q??
得:

2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q3 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 6 ? 1? q
,整理可

1 2 ,故选择 A.

【思路点拨】根据等差数列的性质列的

2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1 时,再根据等

比数列的求和公式进行化简即可得到,【来源:21·世纪·教育·网】

【题文】5、已知 x 、 y 满足

?y ? x ? ?x ? y ? 2 ?x ? a ?
1 B. 4

,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是

3 A. 4
【知识点】线性规划 E5

2 C. 11

D. 4

【答案】【解析】B 解析:画出

x, y 满足

?y ? x ? ?x ? y ? 2 ?x ? a ?

的可行域如下图:

? y=x ?x ? a ? ? x ? y=2 ,得 A ?1,1? ,由 ? y ? x ,得 B ? a,a ? , 由 ?
当直线 z ? 2 x ? y 过点 当直线 z ? 2 x ? y 过点

A ?1,1?

时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最大值,最大值为 3; 时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最小值,最小值为 3a ;

B ? a,a ?
a?

由条件得 3 ? 4 ? 3a, 所以

1 4 ,故选择 B.www-2-1-cnjy-com

【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域,由 z ? 2 x ? y 可得 y ? ?2 x ? z ,则 z 表示直线

y ? ?2 x ? z 在 y 轴上的截距,截距越大, z 越大,可求 z 的最大值与最小值,即可求解 a .

S65 S25 S ? ? 5, 45 ? 25 ?a ? S a a a33 【题文】6、等差数列 n 前 n 项和为 n ,已知 23 ,则 43
A.125 B.85 C.45 【知识点】等差数列前 n 项和 D2 D.35

S25 S ? 5, 45 ? 25 S ? ? 2n ?1? an a a33 【答案】【解析】C 解析:根据等差数列前 n 项和的性质可得 2n?1 ,所以 23 ,

a13 1 a 23 5 a33 5 ? 4 9 S65 a 9 ? , ? , ? ? ? 65 33 ? 65 ? 45 a 5 a33 9 根据合比定理可得: a43 9 ? 4 13 ,所以 a43 a43 13 可得 23 ,故选择
C.21·世纪*教育网

a13 1 a23 5 ? , ? , S2n?1 ? ? 2n ?1? an a 5 a 9 根据合比定理 33 【思路点拨】根据等差数列前 n 项和的性质可得 ,可得 23 a33 5 ? 4 9 ? ? a 9 ? 4 13 ,即可求得. 43 可得:
1 9 1 1 ? ? ?1 【题文】7、若正数 a,b 满足 a b ,则 a ? 1 b ? 1 的最小值
A.1 B.6 C.9 【知识点】基本不等式 E6 D.16

a 1 1 >0 ? ? 1 ? b= 1, 同理 b>1 , a ?1 【答案】【解析】B 解析:∵ 正数 a, b ,满足 a b , ,解得 a>

1 9 1 9 1 1 ? ? ? ? ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 1 a a ?1 b ?1 a ?1 a ? 1 a ? 1 ? 9 ? a ? 1? ?1 a ?1 所以 ,当且仅当 a ? 1 ,
a?


4 3 等号成立,所以最小值为 6.故选择 B.

b=
【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 可 得

a 1 9 >0 ? a ?1 , 代 入 a ?1 b ?1 , 整 理 可 得

1 1 ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 a ?1 a ?1 ,可得结果.
【题文】8、已知

F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 2-1-c-n-j-y
2 C. 2 3 D. 2

点 M , N ,若过 F1 的直线

A. 3 ? 1

B. 2 ? 3

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】【解析】A 解析:因为过 F1 的直线 为

MF1 是圆 F2 的切线,所以可得 ?F1MF2 ? 90 , MF2 ? c ,因

F1F2 ? 2c

,所以可得

MF1 ? 3c

,由椭圆定义可得

MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a

,可得题意离心率为

e?

2 ? 3 ?1 1? 3 ,故选择 A.

21*cnjy*com

【思路点拨】由已知条件推导出 出椭圆的离心率. 【题文】9、若等差数列

MF2 ? c, F1F2 ? 2c,?F1MF2 ? 90?

,从而得到

MF1 ? 3c

,由此能求

2 {an } 满足 a12 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

A.60 B.50 【知识点】等差数列的性质 D2

C. 45

D.40【来源:21cnj*y.co*m】
2

2 2 a10 ? 9d ? ? a10 2 ? 10, ? a ? a ? 10 d 1 10 【答案】【解析】 B 解析:设等差数列的公差为 ,因为 ,所以 而

S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 ? 10a10 ? 45d , 可 得

a10 ?

S ? 45d 2 ? a ? 9d ? ? a10 2 ? 10,整 理 得 10 , 代 入 10
0
d 的 二 次 方 程 有 实 根 可 得

?1 3 5?
2

2 4 d ?5

2

?

3 d6 S0 ?

S2 ? 2

1 , ?0 0 0

由 关 于

2 2 ??3 6 S 0?

?

4? 2 1 ?? 3 S 52 ?

4 2 ?5? , 2

21 0 0 0 0 化简可 S ? 2500 得,解得 S ? 50 ,故选择 B.

? a ? 9d ? 【思路点拨】设等差数列的公差为 d ,易得 10 ? a10 ? 9d ?
2

2

? a10 2 ? 10,

由求和公式可得

a10 ?

S ? 45d 10 ,代入

? a10 2 ? 10,

整理可得关于 d 的方程,由 ? ? 0 可得 S 的不等式,解不等式可得.

【题文】10、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下 列结论: ①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; x , x , x , x 则 x1 ?x2 ?x3 ?x4 ?? 8 ③ 若方程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内恰有四个不同的实根 1 2 3 4 ,

或 8;④函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至多有 13 个零点 2· 1· c· n· j· y 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4 C.3 个 D.4 个【版权所有:21 教育】

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【答案】【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 ,即函数的周期为 8,因此函数
是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意图,由图看出,

① 若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , ( f x) 在 (0, 2] 上 0<x1<5 ? x1<4 ,即
1< x1< 5 2 ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;故②正确;③当 m>0 时,四
, 另 两 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 2 ? 2 ? 4, 所 以

是增函数,则

个交点中两个交点的横坐标之和为

2 ? ? ?6? ? ?12

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? 8 .当 m<0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 2× (-2),另两个交点的横坐标
之和为 2× 6,所以 正确.故选择 C.

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故③正确;④如图可得函数 f ( x) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 ,说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在
(0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题.
第 II 卷(共 100 分) 【题文】二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 【题文】11、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的 长度 (单位:km ) :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示, 且 A、 B、 C、 D 四点共圆, 则 AC 的长为_________ km .

【知识点】解三角形 C8 【答案】【解析】7.解析:因为 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?D ? ?B ? ? ,在 ABC 和 ADC 中,由

余弦定理可得:

82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ? cos ?? ? D? ? 32 ? 52 ? 2 ? 3? 5 ? cos D

cos D ? ?


1 2 ,代入可得

? 1? AC 2 ? 3 2 ? 5 2? 2? 3 ? 5 ??? ? ? 49 ? 2? ,故答案为 7.
【思路点拨】根据 A、B、C、D 四点共圆,可得 ?D ? ?B ? ? ,再由余弦定理可得解得 入余弦定理可得.

cos D ? ?

1 2 ,代

A?
【题文】 12、 在△ABC 中,

?

2 2 6, D 是 BC 边上任意一点 (D 与 B、 C 不重合) , 且 | AB | ?| AD | ? BD ? DC ,

则角 B 等于 . 【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8


2




2











5? 12

.







由 ,



知 整

可 理



: 得

? ? ? B D? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 ,即
B C?

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC
AB ? AC

?

??

? , 又 因 为 D 在 BC 上 , 所 以
5? 6 ?? 2 12 ,故答案为 12 .

? ?

AB ?

AC

? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 ?B ?
2 2

??

?

【思路点拨】由已知变形可得

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC

?

??

? ?

?

,可得

BC ? AB ? AC

? ,即 AB ? AC ,三角形为等腰三角形,可求得.
x?0 x?0
,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合为________.

?x ?1 f ( x) ? ? ?log 2 x 【题文】13、函数
【知识点】函数的零点问题 B9

1 1 ? ? ??3, ? , , 2 ? 2 4 ? . 解 析 : 当 x ? ?1 时 , f ? x ? ? x ? 1 ? 0 , 【 答 案 】 【 解 析 】 ?

f ? x? ? x ?1 >0 f x) ] ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 1 ? 0, ∴f[( ∴x ? ?3; 当 ?1 ? x ? 0 时, ,
f [ f ? x ?] ? 1 ? log( ) ? 1 ? 0, ?x ? ? 2 x ?1 1 2
0 ? x ?1











f

? ??

? fl [ x 2 ? 0,

? ?]o f 1

? g2 x

1 1 ? 1, l ?0 o x 4;

g ?

x?

?

x?

当 x>1 时,

f ? x ? ? log 2 x>0, ? f [ f ? x ?] ? 1 ? log( ) ? 1 ? 0, ?x ? 2 2 log 2 x

1 1 1 1 ? ? ? ? ??3, ? , , 2 ? ??3, ? , , 2 ? 2 4 2 4 ? ,故答案为 ? ?. 所以函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合为: ?
f ? f ? x ?? ? ? 1 ? 0 的解,下面分:当 x ? 0 时, 【思路点拨】欲求函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 函数的零点, 即求方程 ?
当 x>0 时分别求出函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合即可.

9 ABC - A1B1C1 体积为 4 ,底面是边长为 3 .若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA1 【题文】14、已知正三棱柱
与平面 ABC 所成角的大小为 【知识点】求线面角 G7

? AA ? A B C 所以 ?APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, 【答案】 【解析】3 .解析: 因为 1 底面 1 1 1 , 因为平面 ABC
9 ABC ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角,因为正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 体积为 4 ,底面是 ∥平面 1 1 1 ,所以

1 V? S 3 边长为 3 ,所以 ?APA1 ?

ABC

AA1 ?

AA 9 tan ?APA1 ? 1 ? 3 A1 P 4 ,可得 AA1 ? 3 , A1 P ? 1 ,所以 ,即

?

? 3 ,故答案为 3 .

【思路点拨】利用三棱柱

ABC - A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知, ?APA1 为 PA 与平面

A1B1C1 所成角,,即为 ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得 AA1 ? 3 ,再 A1P ,在 Rt AA1P 中,利用
tan ?APA1 ? AA1 ? 3 A1 P 即可得出.

利用正三角形的性质可得

【题文】15、已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 的两个根,则
2

1 + cos 2a - sin 2a 1- sin 2a - cos 2a + = 1- sin 2a - cos 2a 1 + cos 2a - sin 2a



【知识点】二倍角公式 同角三角函数基本关系式 韦达定理 C6 C2 【 答 案 】 【 解 析 】

2 ?1





















1 ? cos 2? ? 2cos2 ? ,1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? , 可 将 已 知 式 子 化 简 为 :
2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 1 ? ?? ? ?? 2 2 2sin ? ? 2sin ? cos ? 2cos ? ? 2sin ? cos ? sin ? cos ? sin ? cos ? ,由韦达定理可得:

?sin ? ? cos ? ? a 2 ? ? sin ? ? cos ? ? ? a 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2a , ?sin ? .cos ? ? a , 根据同角三角函数基本关系式可得:
即 a ? 2a ? 1 ? 0 , 解 得 a ? 1 ? 2 , 又 因 为 sin ? ? cos ? ? 2 , 所 以 a ? 1 ? 2 , 所 以
2

?

1 1 ? ? ? 2 ?1 sin ? cos ? a ,故答案为 2 ? 1 .21 教育名师原创作品
2

【思路点拨】 由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得 a ? 2a ? 1 ? 0 , 再根据 sin ? ? cos ? ? 2 ,

1 确定 a 值,利用二倍角公式将已知式子降角升幂化简为 sin ? cos ? ,即可求得. ?
【题文】16、已知 O 是 ?ABC 外心,若 【知识点】向量的数量积 F3
2 2 1 1 6 AO AB ? AB , AO AC ? AC , 2 2 【答案】【解析】 4 . 解析:因为 O 为三角形的外心,所以 ,由 2 2 2 1 2 1 AB ? AC AB AO AC ? AB AC ? AC 2 5 5 5 5 整理得: AB ? 2 AC AB ,同理 整理可得:

AO ?

2 1 AB ? AC 5 5 ,则 cos ?BAC ?



AO AB ?

AC ?

2

4 AB AC 3 ,所以

cos ?BAC ?

AC AB AC AB

?

1 2? 4 3

?

6 4

6 ,故答案为 4 .

AO AB ?
【思路点拨】根据 O 为三角形外心,可得

2 2 1 1 AB , AO AC ? AC , 2 2 再让已知式子分别与向量

AB, AC 求数量积,可得到 AB ? 2 AC AB 与

2

AC ?

2

4 AB AC 3 ,再结合向量夹角公式求得结果.

f ( x) ?
【题文】17、已知函数

a ?x x ,对 ?x ? (0,1) ,有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1恒成立,则实数 a 的取值范围

为 . 【知识点】不等式恒成立问题 E8

1 a ? ? 或a ? 1 ? x) ? 恒 1 成立,,即 4 【答案】【解析】 解 析 : 因 为 ?x ? (0,1) , 有 f ( x)? f ( 1

?a ?? a ? 2 2 ? ?1 ? x ? ? ? 1 ? ? x ?? a2 ? a ??1 ? x ? ? x2 ? ? x2 ?1 ? x ? ? x ?1 ? x ? x 1 ? x ? ? ? ?? ? , 整 理 可 得 , 令
1 2 x ?1 ? ?x ? t ? ( 0 , ] 2 4 ,上式为 a ? a ?1 ? 2t ? ? t ? t ? 0 ? ? a ? t ?? a ? t ?1? ? 0 ,所以 a ? ?t或a ? 1 ? t 因
1 1 1 t ? (0, ] a ? ? 或a ? 1 a ? ? 或a ? 1 4 ,所以 4 4 为 ,故答案为

?a ?? a ? 1 ? x ?? ? ?1 ? x ? ? ? 1 x ?1 ? x ? ? t ? (0, ] ? f ?1 ? x ? f ? x ? ? 1 ?? 1 ? x ? 4 , 【思路点拨】根据题意可得 ,即 ? x ,令

整理可得

a2 ? a ?1 ? 2t ? ? t 2 ? t ? 0 ? ? a ? t ?? a ? t ?1? ? 0

1 t ?( 0 , ] 4 ,所以 , a ? ?t或a ? 1 ? t 因 为

1 a ? ? 或a ? 1 4 .
【题文】三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 【题文】18、在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围. 【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8

? 【答案】(Ⅰ) 3 ;(Ⅱ) ( 3, 2 7] .
【解析】(1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0

? 1 sin( B ? ) ? 6 2 即
B ? (0, ? )

?B ?

?
3

(Ⅱ)由(1)得:

2R ?

b ?2 sin B

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )

sin ? ?
其中,

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

A ? (0,

2? ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【思路点 拨】由正弦定理可得 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 , ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 , 化一得

sin( B?

?
6

)?

1 2 即可得角 B 的值;由正弦定理可得 2a ? c ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin( A ? ? ) 再根据正弦

函数的范围求得 2a + c 的范围.21 世纪教育网版权所有 【题文】19、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PBC ;

AF (Ⅱ)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求 FC 的值.

P

D A F E B
【知识点】线面垂直 线面平行 G4 G5

C

1 【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ) 2 .
【解析】(Ⅰ)证明:
BC ? 平面 PAB ? BC ? AD

PA ? AB ,D 为 PB 中点 ? AD ? PB
PB ? BC ? B

? AD ? 平面 PBC

(Ⅱ)连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG ? AD / / FG

又 G 为 ?PBC 重心

?

AF DG 1 ? ? FC GC 2

【思路点拨】证明 AD ? PB, AD ? BC ,即可证明 AD ? 平面 PBC ,连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG ,? AD / / FG ,即可得 G 为三角形重心.

【题文】20、已知数列 (Ⅰ)求数列

?an ? 的首项为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 .

?an ? 的通项公式;

* b ? b5 (Ⅱ)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N ,都有 n ,求 a 的取值范围;

c ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (a, t ) . (Ⅲ)当 t ? 1 时,若 n
【知识点】等比数列的性质 数列求的和 D3 D4

a ? at n?1 ;(Ⅱ) [? 9 , ? 11] ;(Ⅲ) (1, 2) . 【答案】(Ⅰ) n
【解析】解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

2

2

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan

又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) an

n ?1 ,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,? an ? at

(Ⅱ)当 t ? 1时, Sn ? an, bn ? an ? 1 , 当 a ? 0 时, {bn } 单调递增,且 bn ? 0 ,不合题意;

当 a ? 0 时, {bn } 单调递减,由题意知: b4 ? 0, b6 ? 0 ,且

?b4 ?| b5 | ? ??b6 ?| b5 |

2 2 ? ?a?? 11 , 解得 9

2 2 [? , ? ] 综上 a 的取值范围为 9 11
a ? at n 1? t

(Ⅲ) t ? 1 ,

? bn ? 1 ?

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) at a at n ?1 )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? ? 2 ? ? (1 ? ) n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t )2 (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?a ? 1 ?1 ? t ? a ? 0 ? ?c ? ? t ? 2 ,即满足条件的数对是 (1, 2) . 由题设知 n 为等比数列,所以有, ? 1 ? t ,解得 ?

(或通过

?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明)
an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由等比数列的通项 bn ? na ? 1 ,因为 bn?1 ? bn ? a ,所以得到 ?bn ? 为等差数列,当 a ? 0 时,

【思路点拨】(Ⅰ)由数列递推式求得首项,得到 公式得答案; (Ⅱ)根据题意可得

?bn ? 为单调递增数列,且对任意 n ? N *,an>0 恒成立,不合题意.当 a ? 0 时,?bn ? 为单调递减数列,由
题意知得

b ? b5 b4>0,b6<0, 结合去 n 绝对值后求解 a 的取值范围;(Ⅲ)由题意得

bn ? 1 ?

a ? at n 1 ? t ,代

Cn ? 2 ?
入可得
【出处:21 教育名师】

at

?1 ? t ?

2

a ? at n ?1 ? ? ?1 ? n ? ? 2 ? t ?1 ? ?1 ? t ?

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?1 ? t ? a ? 0 ? , 由等比数列通项的特点列式, 可得需满足 ? 1 ? t .

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 2 b 【题文】21、如图,已知圆 G:x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 ,经过椭圆 a 的右焦点 F 及上

5? 顶点 B,过圆外一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为 6 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,21*cnjy*com
(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

【知识点】椭圆方程 直线与椭圆 H5 H8

x2 y2 ? ?1 2 【答案】(Ⅰ) 6 ;(Ⅱ) 3 ? m ? 2 3 .
【解析】解析:(Ⅰ)∵圆 G: x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B.
2 2

∴F(2,0),B(0, 2 ),

x2 y2 ? ?1 2 2 ∴ c ? 2 , b ? 2 . ∴ a ? 6 .故椭圆的方程为 6 .

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 ? 3 ? y ? ? 3 ( x ? m) y?? ( x ? m)(m ? 6 ) ? 3 3 (Ⅱ )设直 线 l 的方 程为 . 由 ? 消 去 y 得

2x 2 ? 2mx ? (m2 ? 6) ? 0 .
m2 ? 6 x1 x 2 ? 2 , 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m ,
y1 y 2 ? [? 3 3 1 m m2 ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3 .



∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ) , FD ? ( x2 ? 2, y2 ) ,

∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2

?

4 (m ? 6) m2 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3

2 m ( m ? 3) 3 = .
∵点 F 在圆 G 的外部, ∴ FC ? FD ? 0 ,

2m( m ? 3) ?0 3 即 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 .
由△= 4m ? 8(m ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .又 m ? 6 , 6 ? m ? 2 3 .
2 2

∴3? m ? 2 3. 【思路点拨】根据圆与 x 轴的交点求得 F(2, 0),B(0, 2 ),可得椭圆方程;设直线 l 的方程为

y??

m2 ? 6 3 x1 x 2 ? ( x ? m)(m ? 6 ) 2 , 3 与椭圆方程联立,得到 x1 ? x2 ? m ,

因为点 F 在圆 G 的外部, 所以 FC ? FD ? 0 ,即 FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 >0,求得 3 ? m ? 2 3 .
2 【题文】22、已知函数 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| .

(Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值. 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2

?3a ? 3 ? a ? 0 ? ? h ? x ? ? ?a ? 3 ? ?3 ? a ? 0 ? ? ?0 ? a ? ?3? a ≤ ? 2 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
2 【解析】解析:(1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,

①当 x ? 1 时,(*)显然成立,此时 a ? R ;

②当 x ? 1 时,(*)可变形为

a?

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ? ( x) ? ?? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). | x ? 1| ,令

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? 2 ?? x ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ? x2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). 2 (2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x ? 1| ?a | x ? 1| = ? …10 分

a ? 1, 即a ? 2 ①当 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,
且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a a 0 ≤ ≤1,即0 ≤ a ≤ 2 [? ,1] h ( x ) [ ? 2, ? 1] 2 ②当 时,结合图形可知 在 , 2 上递减,
a a2 a h( ? ) ? ? a ?1 [?1, ? ] [1, 2] 2 4 2 , 在 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a a ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 [? ,1] h ( x ) [ ? 2, ? 1] 2 ③当 时,结合图形可知 在 , 2 上递减,
a a2 a h( ? ) ? ? a ?1 [?1, ? ] [1, 2] 2 4 2 , 在 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

3 a a a ? ≤ ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 [?2, ] [1, ? ] h ( x ) 2 , 2 上递减, ④当 2 2 时,结合图形可知 在 a a [ ,1] [? ,2] 在 2 , 2 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3≥ 0 ,

经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

a 3 ? ? , 即a ? ?3 2 当2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,
故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 .

?3a ? 3 ? a ? 0 ? ? h ? x ? ? ?a ? 3 ? ?3 ? a ? 0 ? ? ?0 ? a ? ?3? 综上所述, .
2 【思路点拨】根据题意可得 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,讨论当 x ? 1 时,(*)显然成立,此时

a ? R ,当 x ? 1 时,(*)可变形为

a?

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ? ( x) ? ?? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). 只需求其最小值即可; | x ? 1| ,令

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? h ? x ? ? ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), a a ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ? 1, 即a ? 2 0 ≤ ≤1,即0 ≤ a ≤ 2 ? 2 ,讨论对称轴①当 2 时,②当 时,

a 3 a ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 ? ≤ ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 2 ③当 时,④当 2 2 时,四种情况,分别求得最大值.


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