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第三节 基本初等函数与初等函数(1)


第三节

基本初等函数与初等函数

一、 基本初等函数 常量函数、 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 1.常量函数: y

? c (c为任意常数)
y

y=c

O

x
1

2.幂函数

r />
y?x

?

( ?是常数 )

y?x

2

y
1

y?x
(1,1)
y? x

o
图像特点:
y? 1 x

1

x

1、图形都通过点(1,1)。 且在 (0,??) 内单调增加。 2、 ? ? 0 时,图形过原点,

3、 ? ? 0 时,图形在 (0,??)内单调减少。
2

例1:求函数 y ? ?3x ? 2? ? ?4 x ? 1?

1 2

?

1 3

的定义域。

? 3x ? 2 ? 0 解: ? ? 4x ?1 ? 0

2 ? x ? ?3 ? ? 1 x?? 4

?

2 1 1 x ? [? ,? ) ? ( ? ,??) 3 4 4

3

3、指数函数

?a ? 0, a ? 1? 它的定义域是整个实数集 x ? ?? ?,?? ?.
y?a
x

性质: (1)图形在 x 轴的上方

y?a

x

(0 ? a ? 1)

y?a

x

y?0

x ? ?? ?,?? ?.

(a ? 1)
? (0,1)

(2)图形均过点 ?0,1? (3) (a ? 1) 曲线从左到右逐渐上升。

(0 ? a ? 1)
曲线从左到右逐渐下降。 但与 x 轴不相交.
4

以无理数 e ? 2.7182818 ? 为底的指数函数 y ? e x 是常用的实数函数. 指数函数的运算性质:

1. a 0 ? 1 3. (a x ) y ? a x y

2. a x ? a y ? a x? y
ax x? y 4. ?a y a

5

例2: 比较下列数值的大小

1.
解:

1 32

1 与 33

? a ?1
1 2 1 与 0.7 3

a

x

?

1 1 ? 2 3
1 2

?

1 32

1 ? 33

2. 0.7

解: ? a ? 1

a

x

?

? 0.7

1 ? 0.7 3

6

4. 对数函数 x y ? a 的反函数记为 y ? log a 称为对数函数, x ? ?0,?? ?.

x (a ? 0, a ? 1)

y ? log a x (a ? 1)
(1,0)
?

性质: (1)图形均过点 ?1,0?
(2)图形在 y 轴的右方 x ? 0

不与 y 轴相交. (3) a ? 1 曲线从左到右逐渐上升。

y ? log 1 x
a

0< a< 1
曲线从左到右逐渐下降。
7

以 e 为底的对数 log e x 是常用的对数函数, 称为自然对数,记为 y ? ln x 对数函数的运算性质:

1. log a 1 ? 0 2. log a a ? 1

ln1 ? 0 ln e ? 1
ln x ? ln y ? ln xy x ln x ? ln y ? ln y ln x? ? ? ln x

3. log a x ? log a y ? log a x y x 4. log a x ? log a y ? log a y 5. log a x? ? ? log a x

x?e

ln x

? ( x) ? e ln? ( x ) ? ( x) ? 0 x?0
8

5、三角函数 (1)正弦函数

y ? sin x x ? ?? ?,?? ?

性质: 1、 sin x ? 1 是有界函数 2. sin ?? x ? ? ? sin x 是奇函数 3、 x ? [? , ] y ? sin x 是单增函数。 2 2 4、周期 l ? 2 ?
9

? ?

(2)余弦函数

y ? cos x x ? ?? ?,?? ?

性质:

1、 cos x ? 1 是有界函数

2. cos ?? x ? ? cos x 是偶函数
3、 x ? [0, ? ] y ? cos x 是单减函数。 4、周期 l ? 2 ? 值域W: [-1, 1]
10

(3)正切函数

y ? tan x x ? ?? ?,?? ? x ? k ? ?

?
2

k ? 0, ? 1 ,?2?

性质:

(1)在定义域中是无界函数。 (2)是奇函数 ??? , ? ? (3)在 ? 2 2 ? 内是单调增函数。 4)周期为 l ? ? ( ? ?
11

(4)余切函数

y ? cot x x ? ?? ?,?? ? x ? k ? k ? 0, ? 1 ,?2?

性质: (1)在定义域中是无界函数。 (2)是奇函数 (3)在 ?0, ? ?内是单调减函数。(4)周期为 l

??
12

(5)正割函数

1 y ? sec x ? cos x
是余弦函数的倒数,无界函数,周期为 2?

(6)余割函数

1 y ? csc x ? sin x
是正弦函数的倒数,无界函数,周期为 2?

13

常用的三角函数的公式

sin x ? cos x ? 1
2 2

sin 2 x ? 2 sin x cos x
1 ? cos 2 x cos x ? 2
2

cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 x

1 ? cos 2 x sin x ? 2
2

1 ? tan 2 x ? sec2 x

1 ? cot 2 x ? csc2 x

2sin x cos y ? sin ? x ? y ? ? sin ? x ? y ?
2cos x cos y ? cos ? x ? y ? ? cos ? x ? y ?
14

6.反三角函数

反正弦函数
反余弦函数 反正切函数

y ? arcsin x

x ? [?1,1] x ? [?1,1]

y ? arccos x
y ? arctan x
y ? arc cot x

x ? ?? ?, ? ? ? x ? ?? ?, ? ? ?

反余切函数

15

反正弦函数

y ? arcsin x x ? [?1,1]
y
1 ? 2

(1,

1 ?? 2 y=arcsinx

-1

O
? 1 ? 2

1

x

1 (?1, ? ?? 2

性质 (1)在[ -1, 1] 上有界函数。 arcsin x ? (2)是奇函数。 (3)在 [?1, 1] 上是单调增函数。

?
2

16

? 反三角函数值的确定
求arcsin x的方法是:

? ? 在 [? , ] 内确定一点?,使 sin ? ?x,则 arcsin x???。 2 2 1 例如,求 arcsin(? )。 2 ? ? 1 1 因为 sin(? )?? ,所以 arcsin(? )?? 。 2 2 6 6

17

反余弦函数

y ? arccos x
y

x ? [?1,1]

?
1 ? 2

y=arccosx -1 O 1 x

性质 (1)在[ -1, 1 ]是有界函数。 0 ? arccos ? ? (2)是非奇非偶函数 (3)在 [?1, 1] 上是单调减函数。
18

? 反三角函数值的确定 求arccos x的方法是: 则arccos x??。 在[0, ?]内确定一点?, 使cos ??x,
1 例如,求 arccos(? )。 2 2? 1 1 因为 cos ?? ,所以 arccos(? 2 2 3

2? )? 3



19

反正切函数

y ? arctan x y

x ? ?? ?, ? ? ?
y?

?
2

0

x
y??

?
2

性质 ? (1)在 ?? ?, ? ? ? 内是有界函数 arctan x ? 2 (2)是奇函数 (3)在 ?? ?, ? ? ? 上是单调增函数。
20

反余切函数

y ? arc cot x y
?
2

x ? ?? ?, ? ? ?

y ??

性质

0

x

(1)在 ?? ?, ? ? ?内是有界函数. (2)是非奇非偶函数 (3)在 ?? ?, ? ? ? 上是单调减函数。
21

二、 复合函数 1、简单函数
由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数 称为简单函数。

如: 都是简单函数。
是由基本初等函数 所构成。

都不是简单函数。 与简单函数

22

定义(复合函数) 设函数 y = f (u)的定义域为D,函数u=g (x)在E上有定 义,且 g(E)? D,则由下式确定的函数 y = f [g (x)],x∈E 称为由函数 y = f (u)和函数u = g (x)构成的复合函数,它 的定义域为E,变量u称为中间变量. 函数g与函数 f 能构成复合函数的条件是: 函数 g 在E上的值域 g(E) 必须含在 f 的定义域内,即 g (E)?D. 否则,不能构成复合函数. 两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复

合运算.

23

例4

函数 y = arcsin(x2 ? 1)可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 ? 1

复合而成的函数. y = f (u)的定义域D={u | |u|≤1}, u = g (x) 的定义域 E={x | ??< x < +? }, 复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义域为

?x | ?

2?x? 2

?
24

分解复合函数的原则是: 最后一个中间变量与 自变量的关系是简单函数
的形式,之前中间变量都应该是基本初等函数的形

式。

25

例4 分析下列函数是由几重基本初等函数所构成, 并写出其中间变量. (1) y ? (3x ? 1)
2

(2) y ? sin(5x ? 3)

y ? ln 2 2 x ? 3 (3)
解 (1)

y ? u ,u ? 3x ? 1
2

(2) y ?

u , ? sin v, ? 5x ? 3 u v

(3)

y ? u , ? ln v,v ? w , ? 2x ? 3 u w
2
26

? x 2 , x ? 0, ?2 ? x, x ? 0, 例7 设 g( x ) ? ? f ( x) ? ? ? ? x , x ? 0, ? x ? 2, x ? 0, 二) 则g[ f ( x )] ? ( )。 (研.1997.


?2 ? f ( x ), f ( x ) ? 0, g[ f ( x )] ? ? ? f ( x ) ? 2, f ( x ) ? 0,
2

x ? 0时,f ( x ) ? x ? 0; x ? 0时,f ( x) ? ? x ? 0;

? 2 ? x, x ? 0, g[ f ( x )] ? ? 2 ? x ? 2, x ? 0,
27

三、 幂指函数 有一类既不能称为幂函数也不能称为指数函数的函数, 如

y?x

x

y ? (1 ? 2x) sin x 等,

其底数部分和指数部分都是自变量 x 的表达式,像

y ? [ f ( x)]g ( x) 形式的函数称为幂指函数.

28

四、 初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限

次的复合运算得到的可用一个式子表示的函数称为
初等函数. 例如,

y ? ax 2 ? bx ? c, 1 y ? sin , x

y?e

? x2

,

29

非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当 y
? 2 ? 1o

y
1

o
?1

x

1 2 3

4

x
30

作 业
P19 4 (1)、(4)、(5)、(6)

31

在直角坐标系中取单位圆 在圆周上任意一点 M ? x, y ? 圆的半径 R ? OM ? 1

?1

1 y M ? x, y ? y
0

1 x

从现在开始角度用弧度x 表示 ?1 y (1)正弦函数 sin x ? y ? sin x x ? ?? ?,?? ? 1 图形 性质:

2. sin ?? x ? ? ? sin x 是奇函数 ? ? 3、 x ? [? , ] y ? sin x 是单增函数。 2 2

1、 sin x ? 1 是有界函数

4、周期 l ? 2 ?
32

5、三角函数 在直角三角形中: 正弦

c
?

a

a sin ? ? c

正切

b 余弦 cos ? ? c a sin a tan ? ? ? b cos a

b

b 1 cos a ? 余切 cot ? ? ? a tan ? sin a c 1 c ? 1 正割 sec ? ? ? 余割 csc ? ? b cos ? a sin ?
33

任意三角形:
角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。

y

当射线绕着它的端点旋转一周 以上,就形成大于3600 的角。 习惯上规定:

0

x

逆时针方向旋转而成的角是正角。
顺时针方向旋转而成的角是负角。

角的度量单位用弧度(实数):

360 ? 2?
0

180 0 180 ? 57018? 1 弧度=

1 ?
0

?

? 0.017453 弧度

?

34

二、 复合函数 定义 设函数 y = f (u)的定义域为D,函数u=g (x)在E上 有定义,且 g(E)? D,则由下式确定的函数 y = f [g (x)],x∈E 称为由函数 y = f (u)和函数u = g (x)构成的复合函数, 它的定义域为E,变量u称为中间变量. 例如 是由基本初等函数 复合而成。 与函数

两个及多个函数构成复合函数的过程叫函数的复 合运算.
35

函数g与函数 f 能构成复合函数的条件是: 函数 g 在E上的值域 g(E) 必须含在 f 的定义域内, 即g (E)?D. 否则,不能构成复合函数. 例3 函数 y = arcsin(x2 ? 1)可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 ? 1 复合而成的函数. y = f (u)的定义域D={u | |u|≤1}, u = g (x) 的定义域 E={x | ??< x < +? }, 复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义域为

?x | ?

2?x? 2

?

36

例3. 函数 (赛.1991.苏) 解: 当 解得 当 解得 所以所求反函数为 即 时, 时,

(其中

)的反函数为?

37


第三章基本初等函数 (1)

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