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高考数学解答题专题攻略——数列


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高考数学解答题专题攻略----数列
一、高考真题精典回顾: 1.设函数 f ( x ) ? x ? x ln x .数列 ? a n ? 满足 0 ? a 1 ? 1 , a n ? 1 ? f ( a n ) .
1) (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 ( 0, 是增函数;


(Ⅱ)证明: a n ? a n ? 1 ? 1 ;
1) (Ⅲ)设 b ? ( a1, ,整数 k ≥
a1 ? b a 1 ln b

.证明: a k ? 1 ? b .

n 2.设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n .已知 a 1 ? a , a n ? 1 ? S n ? 3 , n ? N .
*

(Ⅰ)设 b n ? S n ? 3 ,求数列 ? b n ? 的通项公式;
n

(Ⅱ)若 a n ? 1 ≥ a n , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

3.设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 b a n ? 2 ? ? b ? 1 ? S n
n

(Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, ? a n ? n ? 2 n ? 1 ? 是等比数列; (Ⅱ)求 ? a n ? 的通项公式

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学大教育科技(北京)有限公司 教学设计方案 二、高考数列分析与预测: 数列是高中数学的重要内容之一,也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现,所以我们在复习时 应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想 方法,而且有效地考查了学生的各种能力。解答题大多以考查数列内容为主,并涉及到函数、方程、不等式知识的 综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目. 有关数列题的命题趋势 (1)有关数列的基本问题,这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题,难度不大,考生应 注意基本方法的训练,灵活运用相关性质。 (2)数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合求解题是对基础和能力的双重 检验,而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 (3)数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力,近两年在数列题中也加强 了推理能力的考查。 (4)与导数、平面向量、概率等新知识相结合也不可忽视。 复习关键点: (1)理解数列的概念,特别注意递推数列,熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸,应用性质解 题,往往可以回避求首项和公差或公比,使问题得到整体解决,能够减少运算量,应引起考生重视。 (2)解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等。注重数列与函数、方程、不等式、解析几何 等其他知识的综合。 (3)重视递推数列和数列推理题的复习。 (4)数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等,首先要分析题意,建立数列模型,再利用数 列知识加以解决。 不管数列与哪一部分知识内容交汇,数列自身的内容仍是考生重点掌握的。对数列自身来讲,主要有以下体型: 一、求数列的通项公式,主要方法有: (1)利用 a n 与 S n 的关系 a n ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2 ) (2)利用递推关系包括累加法,累乘法,构造数列 二、求数列的前 n 项和,主要方法有: (1)倒序相加法(2)错位相减法(3)裂项法(4)分组法 三、判断一个数列是等比或等差数列,完全依据等差、等比数列的定义进行证明。 这是解决好数列问题的重中之重. 三、高考热点新题: 1.设 S n 是正项数列 ? a n ? 的前 n 项和,且 S n ? (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)是否存在等比数列 ? b n ? ,使 a 1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? ? 2 n ? 1 ? ? 2 的结论. (3)设
n ?1

1 4

an ?
2

1 2

an ?

3 4



? 2 对一切正整数都成立?并证明你
1 6

cn ?

1 1 ? an

? n ? N ? ,且数列 ? c ? 的前 n 项和为 T
*
n

n

,试比较 T n 与

的大小.

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学大教育科技(北京)有限公司 教学设计方案 2.已知数列 { a n } ,{ b n } 满足关系:
a1 ? 2 a , a n ?1 ? 1 2 (an ? a
2

),

an

bn ?

an ? a an ? a

( n ? N , a ? 0 ).
*

(1)求证:数列 { lg b n } 是等比数列; (2)证明:
an ? a a n ?1 ? a ?3
2
n ?1

?1;

(3)设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和,当 n ? 2 时, S n 与 ( n ? 请说明理由。

4 3

) a 是否有确定的大小关系?若有,加以证明;若没有,

3.已知正项数列 ?a n ? 满足对一切 n ? N ,有 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? S n ,其中 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n .
?

3

3

3

2

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式;
* (Ⅱ) 求证: 当 n ? N 时, a n ln( 1 ?

1 an

) ? ln 3 .

4.某企业 2008 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预 测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除 技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+
1 2
n

)万元(n 为正整数).

(1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万 元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利 润?

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学大教育科技(北京)有限公司 教学设计方案 5.已知数列 ? a n ? 满足: a 1 ?
5 2

,且 a n ?

4 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 2

(n ? 2, n ? N )

?

(1)设 b n ?

1 an ? 1

,证明数列 ? b n ? 是等差数列;

(2)求数列 ? b n ? 、 ? a n ? 的通项公式; (3)设 c n ? a n ? a n ? 1 , S n 为数列 ? c n ? 的前 n 项和,证明 S n ? n ? 6 (1 ? ln n ) .

6.设等差数列 { a n } , {b n } 前 n 项和 S n , T n 满足
c n ? g ( c n ? 1 )( n ? N , n ? 1), c1 ? 1.

Sn Tn

?

An ? 1 2n ? 7

,且

a3 b4 ? b6

?

a7 b 2 ? b8

?

2 5

,S2=6;函数 g ( x ) ?

1 2

? x ? 1? ,且

(1)求 A; (2)求数列 { a n } 及 { c n } 的通项公式; (3)若 d n ? ?
? a n ( n 为奇数 ) ? c n ( n 为偶数 ) , 试求 d 1 ? d 2 ? ? ? d n .

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