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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):8.9圆锥曲线的综合问题


课时跟踪检测(五十七) 圆锥曲线的综合问题

y2 1.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 3

???? ???? PA1 · 2 的最小值为( PF
A.-2 C.1
2

) 81 B.- 16 D.0

2.过抛物线 y

=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 2,则这样的直线( A.有且只有一条 C.有且只有三条
2 2

) B.有且只有两条 D.有且只有四条

x y y2 x2 3. (2012· 瑞安模拟)已知双曲线 2- 2=1 与双曲线 2- 2=1, 设连接它们的顶点构成的 a b b a S1 四边形的面积为 S1,连接它们的焦点构成的四边形的面积为 S2,则 的最大值为( S2 A.2 1 C. 2 B.1 1 D. 4 )

x2 y2 4.(2012· 潍坊模拟)椭圆 + =1 的离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+y2-4x-4y+4=0 4 3 的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是( A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 ) B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0

x2 y2 5.已知椭圆 + =1 的焦点是 F1,F2,如果椭圆上一点 P 满足 PF1⊥PF2,则下面结 25 16 论正确的是( ) B.P 点有四个 D.P 点一定不存在 )

A.P 点有两个 C.P 点不一定存在

y2 x· |x| 6.直线 l:y=x+3 与曲线 - =1 交点的个数为( 9 4 A.0 C.2
2

B.1 D.3

x x2 0 7. 已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1, 2, P(x0, 0)满足 +y2≤1, F 点 y 则|PF1|+|PF2| 0 2 2 的取值范围为________. x2 y2 8.(2012· 绵阳模拟) + =1 上有两个动点 P、Q,E(3,0),EP⊥EQ,则 EP― QP― →· → 36 9

的最小值为________. 9.已知点 P 在直线 x+y+5=0 上,点 Q 在抛物线 y2=2x 上,则|PQ|的最小值等于 ________. x2 y2 2 10.(2012· 黄冈质检)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆上任意一点到右 a b 2 焦点 F 的距离的最大值为 2+1. (1)求椭圆的方程; (2)已知点 C(m,0)是线段 OF 上一个动点(O 为坐标原点),是否存在过点 F 且与 x 轴不垂 直的直线 l 与椭圆交于 A,B 点,使得|AC|=|BC|?并说明理由.

x2 y2 11.(2012· 江西模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),直线 y=x+ 6与以原点为圆心, a b 以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切,F1,F2 为其左,右焦点,P 为椭圆 C 上任一点,△ F1PF2 的重心为 G,内心为 I,且 IG∥F1F2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的垂直平分线 1 过定点 C?6,0?,求实数 k 的取值范围. ? ?

1 12.(2012· 郑州模拟)已知圆 C 的圆心为 C(m,0),m<3,半径为 5,圆 C 与离心率 e> 2 x2 y2 的椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的其中一个公共点为 A(3,1), 1, 2 分别是椭圆的左、 F F 右焦点. a b (1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究直线 PF1 与圆 C 能否相切?若能,求出直线 PF1 的方 程;若不能,请说明理由.

y2 1. 双曲线 x2- =1 上的两点 A, 关于直线 y=-x+1 对称, B 则直线 AB 的方程为( 3 A.y=x C.y=x-1 B.y=x+1 1 D.y=x+ 2

)

2.(2012· 滨州模拟)若抛物线 y2=8x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点 F,M(3,3)且与 l 相切的圆共有( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.4 个

3.(2012· 长春模拟)已知点 A(-1,0),B(1,0),动点 M 的轨迹曲线 C 满足∠AMB=2θ,

???? ???? ? ? | AM |·BM |cos2θ=3,过点 B 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点. | ???? ? ???? ? (1)求| AM |+| BM |的值,并写出曲线 C 的方程;
(2)求△APQ 的面积的最大值.





课时跟踪检测(五十七) A级 1.选 A 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),由双曲线方程得 y2=

PF 3(x2-1).PA1 · 2 =(-1-x, -y)· (2-x, -y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+y2-x-2=x2+3(x2
1 81 -1)-x-2=4x2-x-5=4?x-8?2- ,其中 x≥1. ? ? 16

???? ????

PF 因此,当 x=1 时, PA1 · 2 取得最小值-2.
p p 2.选 B 设该抛物线焦点为 F,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+ +xB+ =xA+xB+1=3>2p 2 2 =2.所以符合条件的直线有且仅有两条. 3.选 C 因为双曲线是标准方程,所以两个四边形的对角线都在坐标轴上,所以有: 1 1 S1 ab ab ab 1 S1= ×2a×2b=2ab,S2= ×2c×2c=2c2, = 2 = 2 = . 2≤ 2 2 S2 c a +b 2ab 2 1 2- 2 1? 1 4. B 依题意得 e= , 选 圆心坐标为(2,2), 圆心(2,2)与点?1,2?的连线的斜率为 = ? 2 2-1 3 2 1 2 ,所求直线的斜率等于- ,所以所求直线方程是 y- =- (x-1).即 4x+6y-7=0. 2 3 2 3 5.选 D 设椭圆的基本量为 a,b,c,则 a=5,b=4,c=3.以 F1F2 为直径构造圆,可 知圆的半径 r=c=3<4=b,即圆与椭圆不可能有交点. y2 x2 y2 x2 6.选 D 当 x≥0 时,曲线为 - =1;当 x≤0 时,曲线为 + = 9 4 9 4

???? ????

y2 x2 1,如图所示,直线 l:y=x+3 过(0,3),与双曲线 - =1(x≥0)有 2 个交点,显然 l 与半椭 9 4 y2 x2 圆 + =1(x≤0)有 2 个交点((0,3)为公共点),所以共 3 个交点. 9 4 7.解析:当 P 在原点处时,|PF1|+|PF2|取得最小值 2;当 P 在椭圆上时,|PF1|+|PF2| 取得最大值 2 2,故|PF1|+|PF2|的取值范围为[2,2 2 ]. 答案:[2,2 2 ]

QP 8.解析:设 P(x0,y0), EP · = EP ·EP - EQ )=| EP |2=(x0-3)2+y2=(x0-3)2 ( 0
1 2 3 3 +9- x0= x2-6x0+18= [(x0-4)2-16]+18≥6,当 x0=4 时等号成立. 4 4 0 4 答案:6 9.解析:设 l′平行于直线 x+y+5=0,且与抛物线相切,
? 2 ?y =2x, 设 l′:y=-x+m,由? 得 y2+2y-2m=0, ?y=-x+m ?

? ??? ??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

1 由 Δ=0,得 m=- ,两直线距离 2

d=

?5-1? ? 2? 9 2
2 = 4

.即|PQ|min=

9 2 . 4

9 2 答案: 4

?e=c= 2, ? ?a= 2, 10.解:(1)∵? a 2 ∴? ?c=1, ?a+c= 2+1, ?
∴b=1, x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)由(1)得 F(1,0),∴0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线 l, x2 设 l 的方程为 y=k(x-1),代入 +y2=1 中,得 2 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k2-2 4k2 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 2k +1 2k +1 -2k ∴y1+y2=k(x1+x2-2)= 2 . 2k +1 设 AB 的中点为 M,

2k2 k 则 M?2k2+1,-2k2+1?. ? ? ∵|AC|=|BC|,∴CM⊥AB, 即 kCM·AB=-1, k k 2k +1 ∴ · k=-1, 2k2 m- 2 2k +1
2

即(1-2m)k2=m. 1 ∴当 0≤m< 时,k=± 2 m ,即存在满足题意的直线 l; 1-2m

1 当 ≤m≤1 时,k 不存在,即不存在满足题意的直线 l. 2 x0 y0 11.解:(1)设 P(x0,y0),x0≠± a,则 G? 3 , 3 ?. ? ? 又设 I(xI,yI),∵IG∥F1F2, y0 ∴yI= , 3 ∵|F1F2|=2c, 1 ∴S△F1PF2= · 1F2|· 0| |F |y 2 1 ?y0 = (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)· 3 ?, ? ? 2 ∴2c· 3=2a+2c, c 1 | 6| ∴e= = ,又由题意知 b= , a 2 1+1 ∴b= 3,∴a=2, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3

?x +y =1, ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 4 3 消去 y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ?y=kx+m, ?
8km 由题意知 Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即 m2<4k2+3,又 x1+x2=- ,则 3+4k2 6m y1+y2= , 3+4k2 4km 3m ∴线段 AB 的中点 P 的坐标为?-3+4k2,3+4k2?.

2

2

?

?

1 1 又线段 AB 的垂直平分线 l′的方程为 y=- ?x-6?, ? k?

点 P 在直线 l′上, ∴ 4km 1? 3m 1? 2- , 2=- - k? 3+4k 6? 3+4k

?4k2+3?2 1 3 ∴4k2+6km+3=0,∴m=- (4k2+3),∴ <4k2+3,∴k2> , 6k 36k2 32 解得 k> 6 6 或 k<- , 8 8

∴k 的取值范围是?-∞,-

?

6? ? 6 ? ∪ ,+∞ . 8? ?8 ?

12.解:(1)由已知可设圆 C 的方程为(x-m)2+y2=5(m<3), 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程中,得(3-m)2+1=5, 即(3-m)2=4,解得 m=1,或 m=5. ∴m<3,∴m=1. ∴圆 C 的标准方程为(x-1)2+y2=5. (2)直线 PF1 能与圆 C 相切, 依题意设直线 PF1 的斜率为 k,则直线 PF1 的方程为 y=k(x-4)+4, 即 kx-y-4k+4=0, |k-0-4k+4| 若直线 PF1 与圆 C 相切,则 = 5. k2+1 11 1 ∴4k2-24k+11=0,解得 k= 或 k= . 2 2 11 36 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点的横坐标为 ,不合题意,舍去; 2 11 1 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点的横坐标为-4, 2 ∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0). ∴由椭圆的定义得: 2a=|AF1|+|AF2|= ?3+4?2+12+ ?3-4?2+12=5 2+ 2=6 2. ∴a=3 2,即 a2=18, 4 2 2 1 ∴e= = > ,满足题意. 3 2 3 2 故直线 PF1 能与圆 C 相切.此时直线 PF1 的方程为 x-2y+4=0. B级 1.选 D 由题意可设 AB 的方程为 y=x+m,代入双曲线方程得 2x2-2mx-m2-3=0. m 3m 1 则 AB 的中点 P 的坐标为? 2 , 2 ?,由 P 在直线 y=-x+1 上可得 m= . ? ? 2 2.选 B 由题意得 F(2,0),l:x=-2,线段 MF 的垂直平分线方程为

3-2? 5? 3 x- , y- =- 2 3-0? 2? 即 x+3y-7=0, 设圆的圆心坐标为(a,b), 则圆心在 x+3y-7=0 上, 故 a+3b-7=0,a=7-3b, 由题意得|a-(-2)|= ?a-2?2+b2, 即 b2=8a=8(7-3b), 即 b2+24b-56=0,又 b>0, 故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个. 3.解:(1)设 M(x,y),在△MAB 中,| AB |=2,∠AMB=2θ,根据余弦定理得| AM |2 +| BM |2-2| AM |·BM |cos 2θ=| AB |2=4, | 即| AM |+| BM |)2-2| AM |·BM |· | (1+cos 2θ)=4, 所以(| AM |+| BM |)2-4| AM |·BM |· 2θ=4. | cos 因为| AM |·BM |cos2θ=3, | 所以| AM |+| BM |)2-4×3=4, 所以| AM |+| BM |=4. 又| AM |+| BM |=4>2=| AB |, 因此点 M 的轨迹是以 A, 为焦点的椭圆(点 M 在 x 轴上也符合题意), B 设椭圆的方程为 x y2 + =1(a>b>0), a2 b2 则 a=2,c=1,所以 b2=a2-c2=3. x2 y2 所以曲线 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 PQ 的方程为 x=my+1.
2

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?x=my+1 ? 由?x2 y2 ,消去 x, ? ? 4 + 3 =1
整理得(3m2+4)y2+6my-9=0.① 显然方程①的判别式 Δ=36m2+36(3m2+4)>0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 1 则△APQ 的面积 S△APQ= ×2×|y1-y2|=|y1-y2|. 2 6m 9 由根与系数的关系得 y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 , 3m +4 3m +4

3m2+3 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=48× . ?3m2+4?2 令 t=3m2+3,则 t≥3, 48 (y1-y2)2= , 1 t+ +2 t 1 由于函数 φ(t)=t+ 在[3,+∞)上是增函数, t 1 10 所以 t+ ≥ ,当且仅当 t=3m2+3=3,即 m=0 时取等号, t 3 48 所以(y1-y2)2≤ =9,即|y1-y2|的最大值为 3, 10 +2 3 所以△APQ 的面积的最大值为 3,此时直线 PQ 的方程为 x=1.


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