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湖南省益阳市箴言中学2015-2016学年高二数学上学期12月月考试题 理


益阳市箴言中学 2015—2016 学年高二 12 月月考 理科数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:12×5’共 60’ 1.已知集合 M={x|x <4 } ,N={x|x -2x-3<0 } ,则集合 M∩N=( (A){x|x<-2 }
2 2



(B){x|x>3} (C){x|-1

<x<2 } (D){x|2<x<3 }

2.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3.已知 a,b,c,d 成等比数列, 且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) , 则 ad 等于 ( A.3 B.-2 C.1
x ?0



D.2

4.函数 f(x)在 x=1 处的导数为 1,则 lim A.-3 B.3 1 C. 3 D.-

f (1 ? x) ? f (1) 的值( 3x

)

1 3
条件.

5.p:|x-4|>2;q:x>1,则“┐p”是“q”的 A 充分不必要 B.充分必要 6.曲线 y= A. 7.设 F1,F2 分别是双曲线 x 则 PF1 ? PF2 ? ( A. 10
2

C.必要不充分 D.既不充分也不必要[来

x 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) x+2 A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2

???? ???? ? y2 ? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 PF1 ? PF2 ? 0 , 9

???? ???? ?

) B. 2 10 C. 5 D. 2 5

8.已知 a=(cosα , 1, sinα ), b=(sinα , 1, cosα ), 则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( ) A.90° B.60° C.30° D.0° 9.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( ) A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m )

x2 2 10.已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 +y =1 的离心率为( m
A.

30 30 5 B. 7 C. 或 7 D. 或 7 6 6 6 11.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,
1

△ABC 的面积为 A. 1 ? 3
2

3 ,那么 b=( 2


3

B. 1 ? 3

C. 2 ?
2

D. 2 ? 3

12.下列四个命题: ?“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题; ②“若 m>2,则不等式 x?-2x+m>0 的解集为 R”; ?若 F1、F2 是定点,|F1F2|=7,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=7,则 M 的轨迹是椭圆; ④若{a,b,c}为空间的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一组基底; 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:4×5’共 20’

? x ? y ? 2, ? 13.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 2, 则 z=2x-y 的取值范围是 ? ?0 ? y ? 3,
14.A、 B、 C 是不过原点 O 直线上的三点, OC ? a1 OA ? a100 OB,{an }为等差数列,则 S100 ? 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y 2 sin A ? sin C ? ? ? 1 上,则 sin B 25 9
16.已知空间四边形 OABC,如图所示,其对角线为 OB、AC,M、N 分别为 OA、BC 的中点,点 → → → → → → → → → G 在线段 MN 上,且MG=3GN,现用基向量OA、OB、OC表示向量OG,并设OG=x·OA+y·OB+ → z·OC,则 x、y、z 的和为__________.

三、解答题:10+12+12+12+12+12 共 70’ 2 2 2 17.(10 分)设命题 p:? x0∈R,x0+2ax0-a=0.命题 q:? x∈R,ax +4x+a≥-2x +1. 如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

2

18.(12 分)在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值;

5 3 , cos B ? . 13 5 (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

19.(12 分)设 ?a n ?为等差数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 ,

S15 ? 75 , Tn 为数列 ?

?Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn 。 ?n?

20. (12 分)以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 12 3

l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴
最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程

︵ 21.(12 分)如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,C 是AB的中点,D 为 AC
的中点. (1)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B?PA?C 的余弦值.

3

2 2 22.(12 分)已知椭圆的中心在原点,焦点为 F1(0,-2 2),F2(0,2 2),且离心率 e= . 3 (1)求椭圆的方程; 1 (2)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中点的横坐标为- , 2 求直线 l 斜率的取值范围.

理科数学参考答案 1-4CBDC 5-8AABA 9-12BCBB 13.[-5,7 ] 5 7 14.50 15. 16. 4 8
2 2

17.解:当命题 p 为真时,Δ =4a +4a≥0 得 a≥0 或 a≤-1,当命题 q 为真时,(a+2)x +4x+a-1≥0 恒成立, ∴a+2>0 且 16-4(a+2)(a-1)≤0,即 a≥2.(6 分) 由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假. 当命题 p 为真,命题 q 为假时,得 a≤-1; 当命题 p 为假,命题 q 为真时,得 a∈?; ∴实数 a 的取值范围为(-∞,-1].(10 分)

5 12 3 4 ,得 sin A ? ,由 cos B ? ,得 sin B ? . 13 13 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . 65 4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? . 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 2 3 65 3
18.解:(Ⅰ)由 cos A ? ? 19.解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n?n ? 1?d ∵

1 2

S 7 ? 7 , S15 ? 75 ,

∴ ?

?7a1 ? 21d ? 7 , ?15a1 ? 105d ? 75 ,
a1 ? ?2 , d ? 1 。

即 ?

?a1 ? 3d ? 1 , ?a1 ? 7d ? 5 ,

解得 ∴ ∵

Sn 1 1 ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2 ? ?n ? 1? , n 2 2 Sn?1 Sn 1 ? ? , n ?1 n 2

4

∴ 数列 ? ∴ 20.

? Sn ? 1 ? 是等差数列,其首项为 ? 2 ,公差为 , 2 ?n?

1 9 Tn ? n 2 ? n 。 4 4

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 ?? 3, 解:如图所示,椭圆 0? , F2 ?3, 0? . 12 3
点 F1 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(-9, 6),直线 FF2 的方程为

?x ? 2 y ? 3 ? 0 解方程组 ? 得交点 M 的坐标为 (-5, 4) . 此时 MF x ? 2y ?3 ? 0 . 1 ? MF 2 ?x ? y ? 9 ? 0
最小. 所求椭圆的长轴 2a ? MF 1 ? MF2 ? FF 2 ?6 5,
2 2 2 ∴ a ? 3 5 ,又 c ? 3 ,∴ b ? a ? c ? 3 5

? ? ?3
2

2

? 36 .

因此,所求椭圆的方程为 21.

x2 y2 ? ? 1. 45 36

解: (1)证明:如图所示,以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0, 2), ? 1 1 ? D?- , ,0?. ? 2 2 ? → → 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 POD 的一个法向量,则由 n1·OD=0,n1·OP=0, 1 1 ? ?-2x1+2y1=0, 得? ? ? 2z1=0. ∴z1=0,x1=y1.取 y1=1,得 n1=(1,1,0).

5

→ → 设 n2=(x2,y2,z2)是平面 PAC 的一个法向量,则由 n2·PA=0,n2·PC=0,

?-x2- 2z2=0, 得? ?y2- 2z2=0.

∴x2=- 2z2,y2= 2z2,

取 z2=1,得 n2=(- 2, 2,1).∵n1·n2=(1,1,0)·(- 2, 2,1)=0, ∴n1⊥n2.从而平面 POD⊥平面 PAC.(8 分) (2)∵y 轴⊥平面 PAB. ∴平面 PAB 的一个法向量为 n3=(0,1,0).由(1)知,平面 PAC 的一个法向量为 n2=(- 2, 2,1). 设向量 n2 和 n3 的夹角为θ , n2·n3 2 10 则 cosθ = = = . |n2|·|n3| 5 5 由图可知,二面角 B?PA?C 的平面角与θ 相等,∴二面角 B?PA?C 的余弦值为 分) 10 .(12 5

y x c 2 2 22.解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),由已知 c=2 2,又 = ,解得 a=3,所 a b a 3 以 b=1,
故所求方程为 +x =1.(6 分) 9 2 2 2 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+t(k≠0)代入椭圆方程整理得(k +9)x +2ktx+t -9= 0, Δ =?2kt? -4?k +9??t -9?>0, ? ? 由题意得? 2kt - 2 =-1, ? ? k +9 解得 k> 3或 k<- 3.(12 分)
2 2 2

2

2

y2

2

6


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