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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题


2015 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高一年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准 . 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格 按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题

(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1.已知数列 {an } 是等差数列, a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2015 项的 2 ① f (2) ? 1 ;②当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;③ f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . x y (1)试判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f (t ) ? f (t ? 3) ? 2 ,试求 t 的取值范围. 解 (1) 设 0 ? x1 ? x2 , 则 在 (0,??) 上是单调增函数. x2 x 故 f ( 2 ) ? 0, 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 故 f ( x) ? 1, x1 x1 ………………………………………(5 分) 和为 1209 . 3 2 .已知 a , b 是常数,函数 f ( x ) ? ax ? b ln(x ? (2)因为 f (2) ? f ( ) ? f (4) ? f (2) ,所以 f (4) ? 2 f (2) ? 2 ,从而 4 2 x 2 ? 1) ? 3 在 (??,0) 上的最大值为 10, 则 f ( x) 在 f (t ) ? f (t ? 3) ? f (4) . 即 f (t ) ? f ( ………………………………………(10 分) (0,??) 上的最小值为 -4 . 4 ) ,于是 t ?3 3.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 1 3 . 4.设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N*), S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } ,则集合 S 中的元素的个 数为 504 . ? ?t ? 0, ? ?t ? 3 ? 0, 4 ? t? . ? ? t ?3 解得 3 ? t ? 4 .故 t 的取值范围是 (3,4] . 12.已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,求 (1 ? 解 设 a ? c ? sin ? , b ? c ? cos? , ? ? (0, 2 2 2 ………………………………………(15 分) A?C B ? sin 的值为 5.△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 a ? c ? a sin C ,则 sin 2 2 1 . 6.设多项式 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 1) ? ?2x 2 ? 2x ? 3 ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (9) ? -186 . 7 .已知点 P 在 Rt △ ABC 所在平面内, ?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角, | AP |? 2 , AP ? AC ? 2 , ………………………………………(20 分) ?

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题

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