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2017届徐汇区高三数学一模(含答案)


上海市徐汇区 2017 届高三一模数学试卷
2016.12.21

一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. lim
n ??

2n ? 5 ? n ?1

2. 已知抛物线 C 的顶点在平面直角坐标系原点,焦点在 x 轴上,若 C 经过点

M (1,3) ,则 其焦点到准线的距离为 3. 若线性方程组的增广矩阵为 ?

? a 0 2? ?x ? 2 ,解为 ,则 a ? b ? ? ? ?0 1 b? ?y ?1

4. 若复数 z 满足: i ? z ? 3 ? i ( i 是虚数单位) ,则 | z | ? 5. 在 ( x ?

2 6 ) 的二项展开式中第四项的系数是 x2

(结果用数值表示)

AB ? BC ? 1 , AA 6. 在长方体 ABCD ? A 1 与 CC1 1B 1C1D 1 中,若 1 ? 2 ,则异面直线 BD
所成角的大小为
x ? ?2 , x ? 0 的值域为 (??,1] ,则实数 m 的取值范围是 2 ? x ? m , x ? 0 ? ? ??? ? 1 ???? 8. 如图,在△ ABC 中,若 AB ? AC ? 3 , cos ?BAC ? , DC ? 2BD ,则 2 ???? ??? ? AD ? BC ?

7. 若函数 f ( x) ? ?

9. 定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? lg( x 2 ? 3x ? 3) ,则 f ( x ) 在 R 上 的零点个数为 个

10. 将 6 辆不同的小汽车和 2 辆不同的卡车驶入如图所示的 10 个车位中的某 8 个内,其中 2 辆卡车必须停在 A 与 B 的位置,那么不同的停车位置安排共有 表示) 11. 已知数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 m 的等差数列,前 n 项和为 Sn ,设 bn ? 种(结果用数值

Sn n ? 2n

(n ? N * ) ,若数列 {bn } 是递减数列,则实数 m 的取值范围是
12. 若使集合 A ? {x | (kx ? k ? 6)( x ? 4) ? 0, x ? Z} 中的元素个数最少,则实数 k 的取值
2

范围是

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. “ x ? k? ?

?
4

(k ? Z ) ”是“ tan x ? 1 ”的(
B. 必要不充分

)条件 D. 既不充分也不必要 )

A. 充分不必要

C. 充分必要
2

14. 若 1 ? 2i ( i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则( A. b ? 2 , c ? 3 C. b ? ?2 , c ? ?1 15. 已知函数 函数 B. b ? 2 , c ? ?1 D. b ? ?2 , c ? 3

f ( x ) 为 R 上的单调函数, f -1 ( x ) 是它的反函数,点 A(-1,3) 和点 B(1,1) 均在
) D. (1,log2 3)

f ( x ) 的图像上,则不等式 | f ?1 (2x ) | ? 1 的解集为(
B. (1,3)
2 2

A. (?1,1)

C. (0,log2 3)

2 y y x2 x ? ? 1 、 ? ? 1 内部重叠区域的边界记为曲线 C , P 是曲线 16. 如图,两个椭圆 25 9 25 9 C 上的任意一点,给出下列三个判断:

(1) P 到 F1 (?4,0) 、 F2 (4,0) 、 E1 (0, ?4) 、

E2 (0, 4) 四点的距离之和为定值
(2)曲线 C 关于直线 y ? x 、 y ? ? x 均对称 (3)曲线 C 所围区域面积必小于 36 上述判断中正确命题的个数为( A. 0 个 B. 1 个 ) C. 2 个 D. 3 个

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分)
? 17. 已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 2 , ?CBA ? 30 , D 是 AB 的中点;

(1)求 PD 与平面 PAC 所成角的大小; (结果用反三角函数值表示) (2)求△ PDB 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积; (结果保留 ? )

18. 已知函数 f ( x) ? (1)当 x ? [0,

3 cos 2 x ? sin x ; cos x 1

?
2

] 时,求 f ( x) 的值域; A 2

(2)已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 3 ,a ? 4 ,b ? c ? 5 , 求△ ABC 的面积;

19. 某创业团队拟生产 A 、 B 两种产品,根据市场预测, A 产品的利润与投资额成正比 (如图 1) , B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图 2) ; (注:利润与投资额的单位均为万元) (1)分别将 A 、 B 两种产品的利润

f ( x ) 、 g( x ) 表示为投资额 x 的函数;

(2)该团队已筹集到 10 万元资金,并打算全部投入 A 、 B 两种产品生产,问:当 B 产品 的投资额为多少万元时,生产 A 、 B 两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点 F1 、 F2 ,过 F2 作直线 l 交 y 轴于点 Q ; 20. 如图,双曲线 ? : 3 l (1)当直线 l 平行于 ? 的一条渐近线时,求点 F 1 到直线 的距离; ???? ???? (2)当直线 l 的斜率为 1 时,在 ? 的右支上是否存在点 P ,满足 F ? 0 ?,若存在, 1P ? FQ 1
求点 P 的坐标,若不存在,说明理由; (3)若直线 l 与 ? 交于不同两点 A 、 B ,且 ? 上存在一点 M ,满足 OA ? OB ? 4OM ? 0 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程;

??? ? ??? ?

???? ?

?

? 21. 正数数列 {an } 、 {bn } 满足: a1 ? b1 ,且对一切 k ? 2 , k ? N , ak 是 ak ?1 与 bk ?1 的等

差中项, bk 是 ak ?1 与 bk ?1 的等比中项; (1)若 a2 ? 2 , b2 ? 1,求 a1 、 b1 的值; (2)求证: {an } 是等差数列的充要条件是 an 为常数数列; (3)记 cn ? | an ? bn | ,当 n ? 2 , n ? N ,指出 c2 ? ? ? cn 与 c1 的大小关系并说明理由;
?

参考答案
一. 填空题 1. 2 8. ? 2.

9 2
9. 4

3. 2

4. 2

5. 160 11. [0,1)

6.

? 4

7. 0 ? m ? 1

3 2

10. 40320

12. [?3, ?2]

二. 选择题 13. C 14. D 15. C 16. C

三. 解答题 17.(1) arctan 18.(1) [0,

3? 3 ; (2 ) ; 2 4

3?2 3 3 (2) ; ]; 2 4 1 5 x; 19.(1) f ( x ) ? x , g ( x ) ? 4 4
(2)对 A 投资 3.75 万元,对 B 投资 6.25 万元,可获得最大利润 20.(1) 2 ; (2)不存在; (3) x ? ? 2 y ? 2 ; 21.(1) a1 ? 2 ? 3 , b1 ? 2 ? 3 ; (2)略; (3) c2 ? ? ? cn ? c1 ;

65 万元; 16


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