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教师版:2011年高考一轮复习易错题集锦专题一 集合与简易逻辑、复数、推理证明(文科)

时间:2011-03-21


专题一

集合与简易逻辑,复数、推理证明(文科)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法中正确的是( )

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等

价 C. a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” “
2 2 2 2

D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 【答案】D 【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性 【易错点点拨】语句“则 a , b 全为 0 ”的否定易变为“ a , b 全不为 0 ” ,从而导致选错解 C. 2. 已知集合 A ? x x ? 1 , B ? A. 0 个 B. 1 个

?

?

?? x, y ? y ? x ? 1? ,则 A ? B 中元素的个数为
C.2 个 D. 无数个





3. 设 z 是复数, ? ? z ? 表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位 i , ? ? i ? ?
n

A.2 【答案】B

B.4

C.6

D.8

【解析】满足 i ? 1 的最小整数为 4
n

【易错点点拨】不能理解题意致错. 4. 下列几种推理过程是演绎推理的是 ( )

A. 两 条 直 线 平 行 , 同 旁 内 角 互 补 , 如 果 ?A, ?B 是 两 条 平 行 直 线 的 同 旁 内 角 , 则

?A ? ?B ? 1800

B.某校高三(1)班 55 人, (2)班 54 人, (3)班 52 人,由此得高三所有班人数超过 50 人 C.由平面三角形性质,推测空间四面体的性质 D.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 【答案】A 【解析】A 答案为演绎推理中的三段论推理,大前提为:两条直线平行,同旁内角互补;小 前提为: ?A, ?B 是两条平行直线的同旁内角;结论: ?A ? ?B ? 180 ,本题中大小前提
0

1? 1 ? ? an?1 ? ? ? n ? 2 ? ,由此归纳出 ?an ? 的通项公式 2? an?1 ?

结论都正确. 【易错点点拨】混淆几种推理的定义,尤其不明白演绎推理的定义出错.
2 5. 已知集合 A ? ?3,2m ?1, m ? 2? , B ? 3, m ,且 B ? A ,则 m 的值为

?

?





[来源:

学科网 ZXXK]

A. ?1 【答案】C

B.2

C. ?1

D.1

2 2 【解析】∵ B ? A ,∴ m ? 2m ? 1 或 m ? m ? 2 ,∴ m ? ?1 或 m ? 2

当 m ? 1 时, 2m ? 1 ? m ? 2 ? 3 ,当 m ? 2 时, 2m ? 1 ? 3 ,所以 m ? ?1 。 【易错点点拨】本题易忽略验证集合是否满足元素的互异性,从而导致求得 m ? ?1 或

m?2.
6. 已知 全集 U ? R ,集合 A ? ? x 值为 A. ( B.

?

2x ?1 ? ? 0? , B ? x x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 ,则 CU A ? B 的 ? ?x ? 4 ?

?

?



? 4,5?
?

? 4,5?

C.

? 4,5?

D.

? 4,5?

【答案】B 【解析】∵ A ? ? x

2x ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 0? ? ? x ? ? x ? 4? ,∴ CU A ? B ? ? x x ? ? 或x ? 4? 2 2 ? ?x ? 4 ? ? ? ? ?

2 而 B ? x x ? 6 x ? 5 ? 0 ? x 1 ? x ? 5 ,∴ CU A ? B ? x 4 ? x ? 5

?

? ?

?

?

?

A 【易错点点拨】本题在求解 CU 时,简单的将“ ? ”转化为“ ? ” ,忽视了分式不等式中分母

不能为 0 对补集求解的影响 7.(2010.5 山东潍坊三模)下列类比推理命题(R 为实数集,C 为复数集) :

①“若 a,b∈R,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b∈C,则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ②“若 a,b∈R,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a, b ? C ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ③“若 a,b∈R,则(a+b)(a-b)= a -b ”类比推出“若 a,b∈C,则(a+b)(a-b)= a -b ” ; ④“若 a,b∈R,则 a ? b ?a ??b ”类比推出“若 a,b∈C,则 a ? b ?a ??b ” .其 中类比结论正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
2 2 2 2

8. 式子 ? A.1

? 1? i ? ? 的化简结果是 ? 1? i ?
5

( C. ?i

) D.无意义

B. i

【答案】C

? 1 ? i ? ? 1 ? i ? ? 1 ? i ? ? ?2i ? 2 1 ? ? ? ?i 【解析】 ? ? ?? ? ? ?? 2 ? 1 ? i ? ? 1 ? i ? ? 1 ? i ? ? 2i ? 2i i
5 4 2
4 4 ? 1 ? i ? ?? 1 ? i ? ? 【易错点点拨】本题易通过 ? ? ? ?? ? ? 计算出错解 1. ? 1 ? i ? ?? 1 ? i ? ? ? ? 5 5

9. 若 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

, 则

A. a, b, c 全大于 0 C. a, b, c 中确有一个大于 0 【答案】D

B. a, b, c 全小于 0 D. a, b, c 中至少有一个大于 0

【解析】 a ? b ? c ? ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? ? z ? 1? ? ? ? 3 ? 0 ,故 a, b, c 中至少有一个大于
2 2 2

0. 【易错点点拨】孤立看待 a, b, c 的取值,没有从总体着手推理. 10. 已知命题 p : 函数 y ? log0.5 ( x 2 ? 2x ? a) 的值域为 R ,命题 q : 函数 y ? ?(5 ? 2a) x 是 减函数.若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 1 【答案】C 【解析】由题知: p : a ? 1 ; q : a ? 2 ,由 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题知:命题 p, q B. a ? 2 C. 1 ? a ? 2 D. 1 ? a ? 3 ( )

一真一假,所以有 ?

?a ? 1 ?a ? 1 或? ,所以 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . ?a ? 2 ?a ? 2

【易错点点拨】 “命题 q : 函数 y ? ?(5 ? 2a) x 是减函数”求解参数范围时,极易出现令

y ? (5 ? 2a) x 为增函数,即 5 ? 2a ? 1 ,即 a ? 3 ,从而得出错解 D 选项.
11. 计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制, 采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计数 符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:

十六进制 十进制

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

A 10

B 11 (

C 12 )

D 13

E 14

F 15

例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 A×B= A.6E 【答案】A B.72 C.5F

D.B0

【解析】E+D 用十进制表示为 27,用十六进制表示应逢 16 进 1,所以 E+D=1B;类比上式,A ×B 用十进制表示为 110=6×16+14,结合逢 16 进 1 ,所以 A×B=6E 【易错点点拨】信息不能准确类比迁移出错. 12. 若二次函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 ??1,1 内至少存在一数值 ?
2 2

c ,使 f (c) ? 0 ,则实数 p 的取值范围是(
A. ?3 ? p ?

) B. p ? ?3

3 2

C. ?

1 ? P ?1 2

D. ?3 ? P ? ?

1 3 或1 ? p ? 2 2

【答案】A 【解析】假设 ??1,1? 内任一值 c 都使 f ? c ? ? 0 ,即对 x?? ?1,1? ,恒有 f ? x ? ? 0 ,

? f ? ?1? ? 0 ?2 p 2 ? p ? 1 ? 0 3 ? ? ∴? ,即 ? 2 ,解得: p ? ?3 或 p ? ,所以满足题意的实数 p 2 ?2 p ? 3 p ? 9 ? 0 ? f ?1? ? 0 ? ?
的取值范围是 ?3 ? p ?

3 . 2

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

【易错点点拨】不能理解“至少”所代表含义,导致求解出错或问题不能解答. 二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13. 已知集合 A ? x 2 x ? 8 ? 3 x ? 2 ,集合 B ? t t ? 5 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

14. 设复数 z 满足 【答案】 1 ? 2i

1 ? 2i ? i ,则 z ? _______________ z

【解析】由已知 zi ? 1 ? 2i ,所以 z ? 1 ? 2i 【易错点点拨】在

1 ? 2i ? i 两边同乘以 i ,误为 z ? ?2 ? i . z

15. 图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含 l 个、5 个、l3 个、25 个第十九届北京奥运会吉祥物 “福娃迎迎” 按同样的方式构造图形, , 设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎”, f (n) ? 则

【答案】 2n ? 2n ? 1
2

【解析】第 n 个图形包含“福娃迎迎”

f ? n? ? 1? 3 ? 5 ??? ? 2n ?1? ? ? 2n ? 3? ? ?? 3 ?1
? n ? 2n ? 1 ? 1? ? n ? 1?? 2n ? 3 ? 1? ? ? 2n 2 ? 2n ? 1 2 2

【易错点点拨】不能根据图形信息作出合理迁移致错. 16. 定义: 若对定义域D上的任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 , 则称函数 f ( x ) 为D上的零函数. 根 据以上定义, f ( x ) 是D上的零函数或 g ( x) 是D上的零函数”为“ f ( x ) 与 g ( x) 的积函数 “ 是D上的零函数”的 【答案】充分不必要 【解析】若 f ( x ) 是D上的零函数或 g ( x) 是D上的零函数,则易得出 f ( x ) 与 g ( x) 的积函 数是D上的零函数,故充分条件成立;反之,必要条件不成立,如当 条件.

? ? x ? 1,? x ? 0 ? ? ?0,? x ? 0 ? f ? x? ? ? , g ? x? ? ? 2 时不满足必要条件. ?0, ? x ? 0 ? ? x , ? x ? 0? ? ?
【易错点点拨】本题极易由数乘的知识迁移为 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ? f ? x ? ? 0 或 g ? x ? ? 0 , 从而导致判读为充分条件. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 x 满足 x ? ? x ? 2? i ? 2i ,求 x 的值.
2

【解析】解:当 x 为实数时,根据复数相等的条件可得: ?

? x 2 ? 0, ?x ? 2 ? 2
2

,解得 x ? 0 ;

当 x 为 虚 数 时 , 设 x ? m ? ni m n , n 0 , 则 ? m ? ni ? ? ? m ? 2 ? ni ? i ? 2i , 即 ? , ? R ??

?m 2 ? n 2 ? n ? 0, ? m2 ? n2 ? n ? ? 2mn ? m ? 2? i ? 2i ,根据复数相等的条件得: ?2mn ? m ? 2 ? 2 , ?n ? 0 ?
解得: ?

?m ? 0, ,所以此时 x ? ?i , ?n ? ?1

综上可得, x ? ?i 或 x ? 0 【易错点点拨】本题易忽视对 x 为复数时情况的讨论. 18.(本小题满分 12 分)
2 2 设 M ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , P ? x x ? mx ? 2 ? 0 ,且 M ? P ? P ,求 m 的取值集合。

?

?

?

?

19.(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c? ? 0,1? ,求证: ?1 ? a ? b, ?1 ? b ? c, ?1 ? c ? a 不能都大于 【解析】证明:假设 ?1 ? a ? b, ?1 ? b ? c, ?1 ? c ? a 都大于 ∵ a, b, c? ? 0,1? ,∴ 1 ? a,1 ? b,1 ? c 都是正数,

1 . 4

1 , 4



?1 ? a ? ? b ?
2

?1 ? a ? b ?

1 1 ? , 4 2

同理可得:

?1 ? b ? ? c ? 1 , ?1 ? c ? ? a ? 1 ,
2 2 2 2

三式相加得:

?1 ? a ? ? b ? ?1 ? b ? ? c ? ?1 ? c ? ? a ? 3 ,即 3 ? 3 ,矛盾,
2 2 2 2
2 2

所以 ?1 ? a ? b, ?1 ? b ? c, ?1 ? c ? a 不能都大于

1 . 4

【易错点点拨】在证明否定性命题时,一般采用反证法,但是在在反设时容易出错,注意反 设时对关键语句的否定. 20.(本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,设命题 p : 函数 y ? log2 ? x ?1? 在 x? ? 0, ??? 内单调递减,命题 q : 曲
2 线 y ? x ? ? 2a ? 3? x ? 1与 x 轴交于不同的两点,若命题 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,

试求实数 a 的取值范围。

【解析】∵命题 p : 函数 y ? log2 ? x ?1? 在 x? ? 0, ??? 内单调递减, ∴ p : 0 ? a ? 1, ∵命题 q : 曲线 y ? x2 ? ? 2a ? 3? x ? 1与 x 轴交于不同的两点, ∴ q : ? 2a ? 3? ? 4 ? 0 ,即 q : 0 ? a ?
2

1 5 或a ? , 2 2

由题设 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题可知, 命题 p 、 q 一真一假,即 p 假 q 真或 p 真 q 假,根据 a ? 0 且 a ? 1 可知:

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, 1 5 ? ? ?1 5 或? 1 5 ,∴ ? a ? 1 或 a ? 2 2 ? 2 ? a ? 2 ?0 ? a ? 2 或a ? 2 ? ?
【易错点点拨】本题的出错点有两个:①复合命题真假的判断掌握不牢;②在利用 p 假求 参数范围时可能出错. 21.(本小题满分 12 分) 已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ; q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 若 ? p 是 ? q 的必要非充分条件,求实 3

数 m 的取值范围。

22.(本小题满分 14 分)

? x2 ? x ? 1? ? x ? 2? 的值域为 B, x ?5 已知函数 f ? x ? ? lg 的定义域为 A,函数 g ? x ? ? x 2 ? 3x ? 2 12 ? x
设集合 C ? ? A ? B ? ? N ,其中 N 为自然数集,求集合 C 的真子集的个数.


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